Sesi n 2 Programaci n Din mica Probabil stica

1. Sesi�n 2 � Programaci�n Din�mica Probabil�stica Ing. en Sistemas Computacionales Modelos Probabil�sticos Paul Ram�rez De la Cruz 01 feb 2007

2. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 2 Contenido Introducci�n Un juego de azar Referencias

3. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 3 Introducci�n La programaci�n din�mica probabil�stica (PDP) difiere de la programaci�n din�mica determin�stica (PDD) en que Las condiciones y resultados en cada etapa no son fijos, sino que tienen un componente de aleatoriedad Se hace uso de conceptos de probabilidad en la obtenci�n de su soluci�n Presentaremos la PDP mediante algunos problemas prototipo

4. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 4 Un juego de azar Una variante del juego de ruleta requiere que se gire una rueda marcada con los n�meros de 1 a n La probabilidad de que la rueda se detenga en un n�mero i despu�s de hacerla girar es pi Un jugador paga $x para tener derecho a girar la rueda hasta m veces El jugador obtiene como ganancia el doble del n�mero que obtiene cuando gira por �ltima vez Suponiendo que el juego se repite un n�mero grande de veces, queremos dise�ar una estrategia �ptima para el jugador

5. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 5 Planteamiento general Para poner el problema en t�rminos de PD, consideremos lo siguiente: La etapa i corresponde a la i-�sima vuelta de la rueda, i = 1, 2, �, m En cada etapa hay dos alternativas: se gira la rueda una vez m�s o se termina el juego El estado j del sistema en la etapa i es el n�mero que se obtuvo la �ltima vez que se gir� la rueda, el cual est� entre 1 y n

6. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 6 Planteamiento general Sea fi(j) = Ganancia m�xima esperada dado que el juego est� en la etapa i y que el resultado de la �ltima vuelta fue j, entonces

7. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 7 Planteamiento general La ecuaci�n recursiva es entonces

8. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 8 Planteamiento general Los c�lculos comienzan con fm+1 y terminan con f1, de modo que hay m+1 etapas f1(0) representa el rendimiento esperado de las m vueltas, as� que el rendimiento esperado neto, Rn, es

9. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 9 Ejemplo Supongamos que la ruleta est� marcada con los n�meros 1 a 5 y que las probabilidades de que se detenga en cada n�mero son p1 = 0.30, p2 = 0.25, p3 = 0.20, p4 = 0.15, p5 = 0.10 El jugador paga $5 por un m�ximo de cuatro vueltas Determine la estrategia �ptima para cada una de las cuatro vueltas y encuentre el rendimiento esperado neto asociado

10. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 10 Ejemplo



13. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 13 Ejemplo En la etapa 1 debe girar. Su ganancia esperada es de 7.31


15. 01 feb 2007 Programaci�n Din�mica Probabil�stica P�gina 15 Referencias Taha, Hamdy A. Investigaci�n de operaciones. Una introducci�n. Pearson Educaci�n. 6� edici�n. M�xico, 1997

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