Introdução a Computação e Cálculo Numérico

1. Introdução a Computação e Cálculo Numérico Rodrigo Cristiano Silva rodrigo@facens.br

2. Agenda • Interpolação • Forma de Lagrange • Introdução à Integração Numérica • Regra dos Trapézios • Regra dos Trapézios Repetida • Exercícios Introdução a Computação e Cálculo Numérico

3. Interpolação “Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).” Introdução a Computação e Cálculo Numérico

4. Casos de uso • Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado; • Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

5. Interpolação Polinomial • Através dos pontos: • (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos) • Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que: • f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n • Onde: • pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn Introdução a Computação e Cálculo Numérico

6. Interpolação Polinomial Podemos concluir que a interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)} Introdução a Computação e Cálculo Numérico

7. Interpolação Polinomial • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)} • Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido • A função f(x) não é conhecida Introdução a Computação e Cálculo Numérico

8. Interpolação Polinomial Introdução a Computação e Cálculo Numérico

9. Qual método foi escolhido? “É possível escolhermos funções da forma polinomial, trigonométrica, exponencial, logarítmica ou racional para interpolar a função desconhecida, porém, estudamos apenas um dos métodos de interpolação polinomial: Lagrange.” Introdução a Computação e Cálculo Numérico

10. Forma de Lagrange • Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)} • Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn Introdução a Computação e Cálculo Numérico

11. Forma de Lagrange • Podemos representar pn(x) como: • Onde os polinômios Lk(x) são de grau n • Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita Introdução a Computação e Cálculo Numérico

12. Forma de Lagrange • Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

13. Forma de Lagrange • Portanto, vamos provar a condição imposta: e Introdução a Computação e Cálculo Numérico

14. Forma de Lagrange A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é: onde Li(x) é igual a: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

15. Forma de LagrangeExemplo • Ajustar uma reta aos seguintes pontos: • Passo 1 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

16. Forma de LagrangeExemplo • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0 • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1 • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

17. Forma de LagrangeExemplo • Passo 3 (continuação)... Introdução a Computação e Cálculo Numérico

18. Forma de LagrangeExemplo • Passo 4 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

19. Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) • Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro: • Erro absoluto: • En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, xn] • Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x) Introdução a Computação e Cálculo Numérico

20. Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2) • Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n+1 pontos) • Seja f(x) com derivadas até a ordem n+1 para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn] • Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn • Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

21. Limitante para o Erro • A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n+1)(x) e o ponto xnunca é conhecido; • Agora estudaremos 2 corolários do estudo do erro na Interpolação, que relacionam o erro com um limitante de f(n+1)(x). Introdução a Computação e Cálculo Numérico

22. Limitante para o ErroCorolário 1 • Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

23. Limitante para o ErroCorolário 2 • Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja: x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h, • Então: • Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn] Introdução a Computação e Cálculo Numérico

24. Forma de LagrangeExercícios • 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange Introdução a Computação e Cálculo Numérico

25. Forma de LagrangeExercícios • A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo. • Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3 Introdução a Computação e Cálculo Numérico

26. Forma de LagrangeExercícios • Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

27. Integração Numérica • A determinação da integral de uma função f(x) nem sempre é uma tarefa fácil, ou possível analiticamente; • Em muitas situações práticas nem sempre temos a forma analítica da função a ser integrada; • A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente em um intervalo [a, b]. Assim o problema é resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

28. Regra dos Trapézios Graficamente Introdução a Computação e Cálculo Numérico

29. Regra dos Trapézios • Usando a forma de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos: Assim temos: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

30. Erro na Regra dos Trapézios • Da interpolação polinomial sabemos que • Portanto, o erro na integração pela regra dos trapézios é dado por • Utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais temos Introdução a Computação e Cálculo Numérico

31. Regra dos Trapézios Repetida Graficamente Introdução a Computação e Cálculo Numérico

32. Regra dos Trapézios Repetida • Como podemos ver, tanto graficamente quanto pela expressão do erro, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos trapézios nos fornece resultados que pouco têm a ver com o valor da integral exata. • O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo de integração e aplicar a regra dos trapézios repetidas vezes. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

33. Regra dos Trapézios Repetida • Chamando xi os pontos de subdivisão de [a, b], tais que xi+1 – xi = h, i = 0, 1, ..., m-1 teremos: • Desenvolvendo a somatória chegamos a seguinte expressão: Introdução a Computação e Cálculo Numérico

34. Erro na Regra dos Trapézios Repetida • O erro na Regra dos Trapézios Repetida será a somatória dos erros em cada trapézio: • Utilizando novamente o Teorema do Valor Médio temos: • Sendo f’’(x) contínua em [a, b] então existe M2 = máx |f’’(x)|. Assim Introdução a Computação e Cálculo Numérico

35. Regra dos Trapézios RepetidaExemplo • Seja • Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

36. Exercícios • Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de [a, b]. Introdução a Computação e Cálculo Numérico

37. Exercícios • Usando as integrais do exercício anterior, quantas divisões do intervalo serão necessárias para obter erros menores que 10-5? Introdução a Computação e Cálculo Numérico