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Introdução a Computação e Cálculo Numérico

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Introdução a Computação e Cálculo Numérico - PowerPoint PPT Presentation


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Introdução a Computação e Cálculo Numérico. Rodrigo Cristiano Silva rodrigo@facens.br. Agenda. Interpolação Forma de Lagrange Introdução à Integração Numérica Regra dos Trapézios Regra dos Trapézios Repetida Exercícios. Interpolação.

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introdu o a computa o e c lculo num rico

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

Rodrigo Cristiano Silva

rodrigo@facens.br

agenda
Agenda
  • Interpolação
  • Forma de Lagrange
  • Introdução à Integração Numérica
  • Regra dos Trapézios
  • Regra dos Trapézios Repetida
  • Exercícios

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

interpola o
Interpolação

“Consiste em determinar, de forma aproximada, uma função que descreve o comportamento de outra função que não se conhece, mas que tem valores tabelados do tipo (x, f(x)).”

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

casos de uso
Casos de uso
  • Quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado;
  • Quando a função em estudo tem uma expressão tal que operações como a diferenciação e a integração são difíceis (ou mesmo impossíveis) de serem realizadas.

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

interpola o polinomial
Interpolação Polinomial
  • Através dos pontos:
    • (x0, f(x0)), (x1, f(x1)), ..., (xn, f(xn)) (n+1 pontos)
  • Deseja-se aproximar f(x) por um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n, tal que:
    • f(xi) = pn(xi) i = 0, 1, 2, ..., n
  • Onde:
    • pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

interpola o polinomial6
Interpolação Polinomial

Podemos concluir que a interpolação polinomial consiste em obter um polinômio p(x) que passe por todos os pontos do conjunto n+1 de dados {xi,f(xi)}

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

interpola o polinomial7
Interpolação Polinomial
  • Considere o conjunto de dados {xi,f(xi)}
  • Como obter o valor de f(x) para um determinado valor de x que não foi medido
  • A função f(x) não é conhecida

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

interpola o polinomial8
Interpolação Polinomial

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

qual m todo foi escolhido
Qual método foi escolhido?

“É possível escolhermos funções da forma polinomial, trigonométrica, exponencial, logarítmica ou racional para interpolar a função desconhecida, porém, estudamos apenas um dos métodos de interpolação polinomial: Lagrange.”

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange
Forma de Lagrange
  • Considere o conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}
  • Deseja-se obter o polinômio pn(x) de grau menor ou igual a n, que interpola f(x) em x0, x1, x2, ..., xn

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange11
Forma de Lagrange
  • Podemos representar pn(x) como:
  • Onde os polinômios Lk(x) são de grau n
  • Para cada i a condição pn(xi) = f(xi) deve ser satisfeita

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange12
Forma de Lagrange
  • Para satisfazer a condição imposta, devemos considerar:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange13
Forma de Lagrange
  • Portanto, vamos provar a condição imposta:

e

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange14
Forma de Lagrange

A forma de Lagrange para o polinômio interpolador é:

onde Li(x) é igual a:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exemplo
Forma de LagrangeExemplo
  • Ajustar uma reta aos seguintes pontos:
  • Passo 1

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exemplo16
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 2 – Li(x) devem satisfazer as condições
    • L0(x0) = 1 L1(x0) = 0
    • L0(x1) = 0 L1(x1) = 1
  • Passo 3 – Montar os Li(x), conforme:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exemplo17
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 3 (continuação)...

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exemplo18
Forma de LagrangeExemplo
  • Passo 4

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

estudo do erro na interpola o teorema 2
Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2)
  • Ao se aproximar uma função f(x) por um polinômio interpolador de grau ≤ n, comete-se um erro:
  • Erro absoluto:
    • En(x) = f(x) – pn(x), para todo x no intervalo [x0, xn]
  • Estudar o erro é importante para sabermos quão próximo f(x) está de pn(x)

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

estudo do erro na interpola o teorema 220
Estudo do Erro na Interpolação (Teorema 2)
  • Sejam x0 < x1 < x2 < ... < xn (n+1 pontos)
  • Seja f(x) com derivadas até a ordem n+1 para todo x pertencente ao intervalo [x0, xn]
  • Seja pn(x) o polinômio interpolador de f(x) nos pontos x0, x1, ..., xn
  • Então, em qualquer ponto x pertencente ao intervalo [x0, xn], o erro é dado por:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

limitante para o erro
Limitante para o Erro
  • A fórmula para o erro mostrada anteriormente tem seu uso limitado na prática, pois são raras as situações que conhecemos f(n+1)(x) e o ponto xnunca é conhecido;
  • Agora estudaremos 2 corolários do estudo do erro na Interpolação, que relacionam o erro com um limitante de f(n+1)(x).

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

limitante para o erro corol rio 1
Limitante para o ErroCorolário 1
  • Baseados no que foi dito anteriormente, se f(n)(x) for contínua em I=[x0,xn], podemos escrever a relação:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

limitante para o erro corol rio 2
Limitante para o ErroCorolário 2
  • Se além das hipóteses anteriores os pontos forem igualmente espaçados, ou seja:

x1 - x0 = x2 – x1 = ... = xn – xn-1 = h,

  • Então:
  • Observe que o majorante acima independe do ponto x considerando, x  [x0, xn]

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exerc cios
Forma de LagrangeExercícios
  • 1. Interpolar o ponto x = 1,5 na tabela abaixo, empregando o polinômio interpolador de Lagrange

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exerc cios25
Forma de LagrangeExercícios
  • A tabela seguinte relaciona a velocidade de queda de um pára-quedista em função do tempo.
    • Determine a velocidade de queda do pára-quedista ao fim de 10s usando polinômio interpolador de Lagrange de grau menor igual a 3

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

forma de lagrange exerc cios26
Forma de LagrangeExercícios
  • Dada a tabela da função f(x) = ln(x), calcule uma aproximação para o valor f(12,3), usando a interpolação parabólica baseada no método de Lagrange.

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

integra o num rica
Integração Numérica
  • A determinação da integral de uma função f(x) nem sempre é uma tarefa fácil, ou possível analiticamente;
  • Em muitas situações práticas nem sempre temos a forma analítica da função a ser integrada;
  • A idéia básica da integração numérica é a substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente em um intervalo [a, b]. Assim o problema é resolvido pela integração de polinômios, o que é trivial de se fazer.

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios
Regra dos Trapézios

Graficamente

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios29
Regra dos Trapézios
  • Usando a forma de Lagrange para expressar o polinômio p1(x) que interpola f(x) em x0 e x1 temos:

Assim temos:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

erro na regra dos trap zios
Erro na Regra dos Trapézios
  • Da interpolação polinomial sabemos que
  • Portanto, o erro na integração pela regra dos trapézios é dado por
  • Utilizando o Teorema do Valor Médio para Integrais temos

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios repetida
Regra dos Trapézios Repetida

Graficamente

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios repetida32
Regra dos Trapézios Repetida
  • Como podemos ver, tanto graficamente quanto pela expressão do erro, se o intervalo de integração é grande, a fórmula dos trapézios nos fornece resultados que pouco têm a ver com o valor da integral exata.
  • O que podemos fazer neste caso é uma subdivisão do intervalo de integração e aplicar a regra dos trapézios repetidas vezes.

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios repetida33
Regra dos Trapézios Repetida
  • Chamando xi os pontos de subdivisão de [a, b], tais que xi+1 – xi = h, i = 0, 1, ..., m-1 teremos:
  • Desenvolvendo a somatória chegamos a seguinte expressão:

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

erro na regra dos trap zios repetida
Erro na Regra dos Trapézios Repetida
  • O erro na Regra dos Trapézios Repetida será a somatória dos erros em cada trapézio:
  • Utilizando novamente o Teorema do Valor Médio temos:
  • Sendo f’’(x) contínua em [a, b] então existe M2 = máx |f’’(x)|. Assim

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

regra dos trap zios repetida exemplo
Regra dos Trapézios RepetidaExemplo
  • Seja
  • Calcule uma aproximação para I usando 10 subintervalos e a Regra dos Trapézios Repetida.

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

exerc cios
Exercícios
  • Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios usando quatro e seis divisões de [a, b].

Introdução a Computação e Cálculo Numérico

exerc cios37
Exercícios
  • Usando as integrais do exercício anterior, quantas divisões do intervalo serão necessárias para obter erros menores que 10-5?

Introdução a Computação e Cálculo Numérico