Vehicle Scheduling Problem: Concepts, Objectives, and Representations

1. Problema de Programação de Veículos(Vehicle Scheduling Problem) Cássio Roberto de Araújo Elva Oliveira do Couto Ricarlo Martins dos Reis

2. Problema de Programação de Veículos Conceito • O Problema de Programação de Veículos (PPV) consiste em gerar uma programação para uma frota tendo como dados de entrada as viagens descritas por uma tabela de horários. O modelo pode ser visto como um Problema de Programação Inteira ou como um Problema de Fluxos em Redes.

3. Problema de Programação de Veículos Objetivos • determinar o número mínimo de veículos necessários para executar todas as viagens; • definir a seqüência de viagens a ser executada por cada veículo da frota mínima; • Minimizar o custo da operação, tal que cada viagem seja executada uma única vez por um único veículo.

4. Problema de Programação de Veículos Tipos • Uma única garagem e um único tipo de veículo (PPVUG ou simplesmente PPV); • Várias garagens; • Diferentes tipos de veículos (frota mista); • número limitado de veículos, tempo limitado de operação, dentre outros.

5. Problema de Programação de Veículos Representação básica do PPV Utiliza-se uma rede onde: • cada nó representa uma viagem; • os arcos são as ligações possíveis entre elas; • representa-se a garagem por dois nós: um para a partida e outro para o retorno à garagem.

6. Problema de Programação de Veículos PPV em termos de fluxos em redes • V = {1,2,3...,n} conjunto de n viagens; • bi o ponto inicial da viagem i; • ei o ponto final da viagem i; • di o horário de partida de bi; e, • ai o horário de chegada em ei.

7. Problema de Programação de Veículos PPV em termos de fluxos em redes • O arco (i,j) representa a ligação da viagem i com a viagem j; • tij representa o tempo de viagem de porta fechada de ei até bj; • A garagem é representada pelos nós r (partida da garagem) e s (retorno à garagem); • Um par de viagens (i, j) é compatível se: dj – aitij onde o custo deste arco é: cij = K1 tij + K2 (tempo de espera) • K1 e K2 são constantes associadas aos custos operacionais do veículo; • tempo de espera é dado por: dj - ai - tij. • O custo de cada arco (r,i) e o custo dos arcos (i,s): cij = K1 tij + Custo Fixo/2

8. Problema de Programação de Veículos

9. Problema de Programação de Veículos 3 1 {5} {5} r 2 s 4 5

10. Problema de Programação de Veículos PPV como Problema de Circulação 1’ 1’’ 2’ 2’’ r 3’ 3’’ s 4’ 4’’ 5’ 5’’

11. Problema de Programação de Veículos • formulação matemática: Min cij fij (i,j) A sujeito a fij - fji = 0 iNjN jN fij  {0,1} (i,j) A – (s,r) N = {r,s}  {i’, i” iV} A = {(i’, i”), (r,i’), (i”,s), iV}  {(i”, j’), (i,j) par de viagens compatíveis}  {(s,r)}.

12. Problema de Programação de Veículos Exemplo • Fazendo Custo Fixo = 100, K1 = 2, K2 = 1 e resolvendo o modelo no LINGO temos: 1’ 1’’ 2’ 2’’ r 3’ 3’’ s 4’ 4’’ 5’ 5’’

13. Problema de Programação de Veículos Conclusões • O PPV abordado é um problema da classe P; • PPV com várias garagens ou PPV com frota mista são problemas da classe NP-difícil; • Para casos reais, a tabela de horários contém muitas viagens. Nestes casos, a rede gerada pode conter milhares de nós e milhões de arcos e, portanto, devem ser aplicadas técnicas de otimização de sistemas de grande porte como a técnica de geração de colunas.