F II F EI - 09 Obvody stejnosměrných a střídavých proudů

FIIFEI-09Obvody stejnosměrných a střídavých proudů http://stein.upce.cz/msfei13.html http://stein.upce.cz/fei/fIIfei_09.ppt Doc. Miloš Steinhart, UAFM UPCE EA 06 036, tel. 466 036 029 (026)

Hlavní body • Jednoduché obvody • Vznik a popis střídavých proudů • Střední, efektivní hodnoty a výkon • Komplexní symbolika • Vlastnosti jednoduchých obvodů RLC • Měření základních elektrických veličin: • napětí, proudu, odporu, impedance, výkonu, frekvence… • Výpočet předřadných odporů a bočníků.

Úvod do střídavých proudů I • Střídavé proudy jsou obecněproudy, které se mění v čase aobčas mění svůj směr. V průběhu času tedy náboj teče oběma směry (EKG). • Střídavými proudy (AC alternating currents) se často myslí důležitá podskupina: proudy periodické a harmonické. Ovšem i proudy jiných průběhů např. obdélníkový nebotrojúhelníkový (pilový) mají velký praktický význam.

Úvod do střídavých proudů II • Nejprve budeme definovat určité středníhodnoty, které umožní jednoduše popsat důležité vlastnosti střídavých proudů. • Později se soustředíme na periodické proudy harmonického průběhu, protože: • se hojně vyrábějí a užívají. • každou funkci lze vyjádřit jako řadu nebo integrálharmonických funkcí a proto dědí jejich některé vlastnosti.

Střední hodnota I • Střední hodnota <f>časově závisléfunkcef(t)je konstantní hodnota, která má zaurčitý čas stejnýintegráljako funkce f(t). • Například středníproudje konstantní proud, který by za určitou dobu přenesl stejnýnábojjako střídavý proud, o jehož střední hodnotu se jedná.

Efektivní hodnota I • Při práci se střídavými veličinami je užitečný jestě další druh střední hodnoty – hodnota efektivní. • Teče-li střídavý proud rezistorem, jsou tepelné ztráty v něm úměrné druhé mocnině proudu. Ztráty tedy nezávisí na směru, kterým je přenášen náboj.

Efektivní hodnota II • Efektivní hodnota fef časově závislé funkce f(t)jekonstantní hodnota, která má za nějaký čas stejnéteplotníúčinky jako časově závislá funkce. • Budeme například napájet žárovku časově proměnným proudem I(t). Kdybychom ji nápajeli konstantním stejnosměrným proudem o velikosti Ief, svítila by sestejným jasem. • Efektivní hodnota se často nazývá hodnotastředníkvadratická a značí frms z angl. rootmeansquare.

Harmonické AC I • Z praktických i teoretických důvodů hrají velmi důležitou roli střídavé proudy harmonickéhoprůběhu. Jsou to veličiny, jejichž závislost na čase lze vyjádřit jako harmonickou nebo-li goniometrickou funkci [sin(), cos(), exp(i)] času, např.: U(t)=U0sin(t + ) I(t)=I0sin(t + )

Harmonické AC II • ParametryU0 a I0se nazývají amplitudy nebo špičkovéhodnoty a z vlastností goniometrických funkcí je jasné, že U(t) a I(t)se mění sinusověmezi hodnotami –U0 a U0, respektive mezi –I0 a I0. • Zde budeme dále střídavými napětími a proudy rozumět napětí a proudy průběhu harmonického.

Harmonické AC III • Harmonická napětí mohou být generovánanapříklad využitímelektromagnetickéindukce, když cívkas plochouS sNzávityrovnoměrně rotujevhomogennímmagnetickém poli o indukciB. V tomto případě se mění pouze úhel mezi osou cívky a směrem siločar. Předpokládejme závislost: (t) = t • kde  = 2f jeúhlová frekvence a f jefrekvencerotace.

Harmonické AC IV • Magnetický tok cívkou lze popsat: m = NSBcos(t) • A elektromotorické napětí z Faradayova z. : Vemf(t) = -dm/dt = NSBsin(t) • To odpovídá harmonickému napětí s amplitudouU0 = NSB. Připojí-li se k cívce rezistor R, poteče jím střídavý proud s amplitudouI0 = NSB/R.

Harmonické AC V • Všimněme si důležitých skutečností: • m(t) and Vemf(t) jsou fázověposunuty o90°nebo-li /2. Když jem(t)nula, máVemf(t)maximální hodnotu. V tomto okamžiku je totiž změna m(t)největší. • Amplituda U0závisí na .

Harmonické AC VI • Harmonické napětí může být také výstupem z obvoduLC, je-li možné zanedbatztráty nebo je-li energie vyzářená jako teplo trvaledodávána. • Připojíme-li nabitý kondenzátor k cívce, bude v každém okamžiku platit druhý Kirchhoffův zákon: -L dI/dt + Uc = 0 • To vede na diferenciálnírovnici druhého řádu, jejímž řešením jsou harmonickéoscilace.

Střední hodnota II • Je možné snadnoukázat, že středníhodnotaharmonickéhonapětí nebo proudu je nulová, zatímco u usměrněného napětí není. • Znamená to, že náboj senepřenáší, ale pouze osciluje aenergie, která přenášena je, je skryta právě v oscilacích.

Efektivní hodnota III • Lze také snadnoukázat, že efektivní hodnoty harmonických napětí nebo proudů nulovénejsou. • Říkáme-li například, že střídavé napětí v zásuvce je 240 V, mluvíme hodnotě efektivníUef = 240 V. Takže žárovka připojená do zásuvky by zářila se stejným jasem, jako kdyby byla připojená ke konstantnímu stejnosměrnému napětí 240 V. Špičková hodnota napětí v zásuvce ale jeU0338V.

Fázový posun • Napájíme-li obvody střídavým napětím, může v jeho větvích docházet k fázovému posunu mezi napětím a proudem. Tyto veličiny tedy nedosahují nulové nebomaximální hodnoty ve stejný okamžik. • Střídavý zdroj tedy generujenapětí s určitou časovou závislostí a vlastnostispotřebičeurčují, jaký poteče proud a tedy, jak bude odebírán náboj.Fázový posum popisujeme pomocí fáze: • U(t) = U0sin(t) a I(t) = I0sin(t + )

Výkon střídavého proudu • Výkon v každém okamžiku je součin proudu a napětí: P(t) = U(t) I(t) = U0sin(t)I0sin(t + ) • Středníhodnota výkonu závisí na fázovém posunu mezi napětím a proudem: <P> = UefIefcos • Výraz cos se nazýváúčiník.

Obvody střídavého proudu sR • Protéká-li proudI(t) = I0sintohmickým odporem R, platí Ohmův zákon v každém okamžiku a napětí na odporu je s proudem ve fázi,  = 0 : U(t) = RI0sint = U0sint U0 = RI0 <P> = UefIefcos = RIef2 = Uef2/R • Definujemeimpedancirezistoru : XR = R

Obvody střídavého proudu sL I • Protéká-li proudI(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, indukčností L, platí v každém okamžiku druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – LdI(t)/dt =0 • Napětí na indukčnosti tedy je: U(t) = LI0cost = U0sin(t+/2) U0 =  LI0

Obvody střídavého proudu sL II • Mezi proudem a napětím na indukčnosti je tedy fázový posun. Napětí předchází proud nebo proud jeopožděnza napětím o úhel  = /2 . • Střednívýkon bude nynínulový: <P> = UefIefcos = 0 • Definujeme impedanciindukčnosti - induktanci: XL = L  U0 = I0 XL

Obvody střídavého proudu sL III • Protože impedance, tomto případě, induktance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotaminapětí ku proudu, můžeme ji považovat za zobecnění rezistance. • Všimněme si závisloti na! Čím vyšší je frekvence, tím vyšší je impedance.

Obvody střídavého proudu sC I • Protéká-li proudI(t) = I0sint, dodávaný jistým střídavým zdrojem, kapacitou C, platí v každém okamžiku opět druhý Kirchhoffův zákon: U(t) – Q(t)/C =0 • To odpovídáintegrálnírovnici pro napětí: U(t) = –I0/Ccost = U0sin(t – /2) U0 = I0/C

Obvody střídavého proudu sC II • Mezi proudem a napětím na kondenzátoru je opět fázový posun. Tentokrát se proud předbíháo úhel  = /2 před napětím. • Střední výkon bude opětnulový: <P> = VefIefcos = 0 • Definujmeimpedancikondenzátoru - kapacitanci: XC = 1/C  U0 = I0 XC

Obvody střídavého proudu sC III • Protože impedance, tomto případě, kapacitance, je poměr mezi amplitudami nebo efektivními hodnotaminapětí ku proudu, můžeme ji opět považovat za zobecnění rezistance. • Všimněme si opět závislosti na! Čím vyšší je frekvence, tím je nyní impedancenižší.

Výhybka u reprobeden • Rozdílnéfrekvenční chování impedancí indukčnosti a kondenzátoruse využívá například při konstrukci výhybek u reprobeden. • výškový reproduktor je připojen dosériepřeskondenzátor. • hloubkový reproduktor je připojen dosériepřesindukčnost.

Obecné střídavé obvody I • Je-li v obvodu více elementůR, C, L, je možné vždy principiálně sestavit odpovídající integrální a diferenciální rovnice. Problémem je komplikovanost příslušných rovnic i ve velmi jednoduchých případech. • Naštěstí existuje několik způsobů, jak problém elegantně zjednodušit.

Obecné střídavé obvody II • Řešení střídavých obvodů, napájených jedním zdrojem nebo více zdroji se stejnou frekvencí, je dvojrozměrnýproblém. • Napájíme-li obvod napětím U0sint, budou napětí a proudy záviset na čase také jako t. • Je tedy nutné a postačujícípopsat každou veličinu v každé větvi dvěmaparametry, velikostí a fází.

Obecné střídavé obvody III • Používá jeden z matematických nástrojů: • Dvojrozměrné vektory. • Komplexní číslav Gaussově rovině. Tento popis je výhodnější, protože pro komplexní čísla je definovánovíce operací (např. dělení, mocniny a odmocniny). • Souřadná soustava nebo Gaussova rovina rotuje st, takže zobrazujeme jen velikost a fázi veličin a hovoříme tedy o fázorech.

Obecné střídavé obvody IV • Popis oběma způsoby je podobný. Velikost příslušné veličiny (napětí nebo proudu) je popsánavelikostí fázoru neboabsolutní hodnotou komplexního čísla afáze je popsána úhlem, který svírají skladnou částí osy x nebo reálné osy.

Obecné střídavé obvodyV • Aparát komplexních čísel: • NapětíU, proudyI, impedanceZ a admitanceY = 1/Zse popisují pomocí komplexních čísel. • Platí zobecněný komlexní Ohmův zákon: U = ZInebo I=YU • Pro sériovou kombinaci: Zs = Z1 + Z2 + … • Pro paralelní kombinaci:Yp = Y1 + Y2 + …

Obecné střídavé obvodyVI • Tabulka komplexníchimpedancí a admitancí. jje imaginárníjednotkaj2 = -1: • R: ZR = R YR = 1/R • L: ZL = jL YL = -j/L • C: ZC = -j/C YC = jC • Dále se postupuje obdobně jako u obvodů stejnosměrných a lze používat i účinnější metody např. metodu obvodových proudů. Zpracovávané veličiny jsou ale komplexní.

RC v sérii • Ilustrujme použití aparátu na sériové kombinaciRC : • ProudI, společný pro obaR a C, budeme považovat zareálný. Z = ZR + ZC = R – j/C |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 1/2 C2)1/2 tg = –1/RC < 0 … kapacitní zátěž

RL v sérii • Nyní mějmeR a L, zapojené do serie: • ProudI, společný pro obaR a L, bude opětreálný. Z = ZR + ZL = R + jL |Z| = (ZZ*)1/2 = (R2 + 2L2)1/2 tg = L/R > 0 … induktívní zátěž

RC paralelně • Nyní mějmeR a Lzapojené paralelně: • NapětíU, společné pro oba RiC, bude nyníreálné. Y = YR + YC = 1/R + jC |Y| = (YY*)1/2 = (1/R2 + 2C2)1/2 tg = –[C/R] < 0 … opět kapacitní zátěž

RLC v sérii I • Nyní mějmeR, L a C zapojené do série: • Opět proud Ije společný pro všechny R , L, iCa bude reálný. Z = ZR + ZC + ZL = R + j(L - 1/C) |Z| = (R2 + (L - 1/C)2)1/2 • Nyní může být celková zátěž buď induktivní pro: L > 1/C …  > 0 • nebo kapacitní pro: L < 1/C …  < 0

RLC v sérii II • Objevuje se nový jevrezonance, když : L = 1/C  2 = 1/LC • imaginární složky se vykompenzují a celý obvod se chová jako čistá rezistance. • Z aUmají minimum, zatímcoI má maximum • lze ji dosáhnout nezávisle změnouL, Cnebof !

RLC paralelně I • MějmeR, L a C zapojené paralelně: • Nyní je napětíUspolečné všem R , L, C a bude tedy reálné. Y = YR + YC + YL = 1/R + j(C - 1/L) |Y| = (1/R2 + (C - 1/L)2)1/2 • Celková zátěž bude buď induktivní pro: L > 1/C …  > 0 • nebo kapacitní: L < 1/C …  < 0

RLC paralelně II • Opět se objevuje rezonance, je-li splněno: L = 1/C  2 = 1/LC • Opět se imaginární složky vyruší a celý obvod se chová jako čistárezistance(nebočistávodivost): • Y, Imají minimum, Z,Umají maximum • lze ji dosáhnout nezávisle změnouL, Cnebof !

Rezonance • Obecná definicerezonance: • Potřebujeme-li dodat energii do systému, který je schopen kmitat s určitou vlastní frekvencí 0, nejefektivněji to lze učinit, pokud ji dodáváme s frekvencí odpovídající 0 a kmity jsou vefázi. • Vhodným příkladem z mechaniky jehoupačka. • Rezonance se užívá například v ladících obvodech přijímačů.

Impedanční přizpůsobení. • Ze stejnosměrných obvodů již víme, že potřebujeme-li přenést maximálnívýkon mezi dvěma obvody, musí se výstupníodpor prvního rovnatvstupnímuodporu následujícího. • Ve střídavých obvodech se musí obdobně rovnatkomplexníimpedance. • Nevyrovnaná fáze vede k odrazu!

Vícefázové proudy • Při rozvodu elektrické energie se používá vícefázových soustav. • Zcela běžný je rozvod třífázový v některých zařízeních se používá soustavy pětifázové. • Výhodou jsou hlavně • úsporamateriálu vodičů na přenesení jednotky středního výkonu • přenosotáčivéinformace – točivého pole

Třífázový proud I • Umístěme tři cívky v rovině, aby jejich osy navzájem svíraly 120° a otáčejme magnetem kolem osy procházející kolmo průsečíkem těchto os. Napětí indukovaná v jednotlivých cívkách budou navzájem fázově posunuta:

Třífázový proud II • Součet těchto napětí je v každém okamžiku rovennule: • Díky tomu lze odpovídající konce cívek spojit a vést napětí jen z druhých konců (trojúhelník) popřípadě také ze společného bodu, ale stačí vodič dimenzovaný na menší proud, který teče jen při nerovnoměrném zatížení fází (hvězda).

Třífázový proud III • Přivedeme-li každou fázi k jedné cívce a uspořádáme-li je stejně, jako bylo napětí generováno bude průmět napětí do os x a y: • To je takzvané točivémagneticképole. Umístíme-li mezi cívky magnet nebo dokonce jen smyčku z vodiče, bude se otáčet s úhlovou rychlostí. To je základ asynchronních motorů z kotvounakrátko.

Třífázový proud IV • Střední celkový výkon(rovnoměrně zatížené soustavy) je trojnásobek výkonu v jedné fázi: • Důležité ovšem je, že tento výkon se přenáší efektivněji, méně vodiči.

Voltmetry a ampérmetry I • Měření napětí a proudů je důležité nejen ve fyzice a elektrotechnice, ale v mnoha jiných oblastech vědy a technologie, protože většina veličin se převádí na veličinyelektrické(například teplota, tlak ...). • Je to proto, že elektrické veličiny se snadno přenáší i měří.

Konstrukce V- a A- metrů I • Základem ručkových přístrojů je galvanometr. Je to velice citlivý voltmetr i ampérmetr. Je obvykle charakterizován, proudem při plnévýchylce a vnitřnímodporem. • Obdobné parametry, maximální proud nebo napětí a vnitřní odpor má i centrální jednotka přístrojů digitálních. • Měřený obvod vnímá měřící přístroj právě jako odpor. • Měřící přístroj můžeme tedy chápat jako inteligentníodpor, který ukazuje, jaký jím teče proud nebo jaké je na něm napětí.

Konstrukce V- a A- metrůII • Mějme galvanometr s proudem při plné výchylce If = 50 A a vnitřním odporem Rg= 30 . • Z ohmova zákona je napětí při plnévýchylce Uf = If Rg= 1.5 mV • Chceme-li měřit většíproudy, musíme galvanometr přemostit tzv. bočníkem, který odvedepřebytečnýproud mimo.

Konstrukce V- a A- metrů III • Například chceme měřit proud I0 = 10 mA. Jedná o paralelní zapojení, je Uf = 1.5 mV a bočníkem musí procházet proud I = 9.950 mA, takže jeho odpor je Rp = 0.1508  a celkový vnitřní odpor přístroje je R = 0.15. • Je tedy blížeideálnímuampérmetru, než vlastní galvanometr. • Bočníky mají zpravidla malýodpor, ale musí být přesný a vydržet velképroudy.

Konstrukce V- a A- metrů IV • Chceme-li měřit většínapětí, musíme zase použít předřadný odpor, který je zapojen do série s galvanometrem a je na něm přebytečnénapětí. • Například chceme měřit napětí do U0 = 10 V. Při If = 50 Amusí na předřadném odporu být U = 9.9985 V. Tedy Rs= 199970  a celkový vnitřní odpor R = 0.2 M • Opět má blížeideálnímu voltmetru než vlastní galvanometr. • Předřadné odpory jsou zpravidla velké a přesné . Proud, který jimi teče je malý.

F II F EI - 09 Obvody stejnosměrných a střídavých proudů