Ch6 Control Charts for Attributes

1. Ch6 Control Charts for Attributes • 本章介紹三種Attribute control charts • 1. Control chart for fraction nonconforming：P chart • 2. Control chart for nonconforming：c chart • 3. Control chart for nonconformities per unit：u chart

2. 基本假設：每一個成品的特性可視為一個隨機變數，且基本假設：每一個成品的特性可視為一個隨機變數，且 • 服從Bernoulli distribution，而成品與成品之間的特性 • 為獨立的，即 • 故令 • Sample fraction nonconforming： • 其中 的分佈可由上述之二項分佈求得， • 且 Control chart for fraction nonconforming：P chart

3. 使用3-sigma limit： 以此 取代上述 p chart中的 p值， 所得的control chart即稱為trial control limits based on m initial samples. • 當process的fraction nonconforming p為未知，可以下 • 法估計之：假設每次取n個樣本，共取m次，則

4. 1. 若所有用來建立此trial control chart的 均落在control limit之內，則表示用來建立此chart的process是in control， 故可用來作control process之用。 2. 但若一點或數點 落在trial control limit之外，則必須加 以了解這些點是否是由assignable cause所造成，若是，則 可將這些點去除，並重建control chart，並recheck是否所 有 仍在control limit之內。若無法找出assignable cause， 則可採取兩種處理方式： • 對此trial control chart必須加以測試： • 將該點除去，並重建且recheck。 • 保留該點，視之為由chance所造成，仍採用原來之trial control limit。 一般若有多點落在trial control limits之外，較佳的處理方式是找出這些點的patterns，通常在此情況下，pattern多會存在，即可較容易的找出其assignable cause。

5. 若p是已知或是給定，無需建立trial control limits。 • 通常process的true p值為未知，但工廠可能給定一個 • standard的p值，此時若有out of control的signal出現， • 則需注意是否process是out of control at the target p • but in control at some other value of p。

6. Example 1 Cardboard cans for frozen orange juice concentrate. Nonconforming的原因：e.g.從side seam或bottom joint漏出 Sample：n=50 cans，m=30 取樣時間為每天的三次交換班時間，歷時半小時，此時機器 仍在運轉。 • Data 見附表。 • Trial control chart如附圖。 • Sample 15及23 outside control limits. • 調查發現，於sample 15時，正好一批新的cardboard在此交換班的半小時中，加入生產過程，而造成此不規則的情況；而sample 23則由於臨時指定一位相當沒經驗的operator來操作此架機器。 故可將sample 15及23消去，重建control chart。

7. 重建之control chart limits與control chart如附圖。 • Sample 21 exceed新的control limit，然而我們對該點無法找出任何的assignable causes，故決定仍保留該點，並將此新的control chart用來作做future samples的控制，（我們並已檢定該control chart的maximum run=5，且無任何nonrandom的pattern），故目前之結論為：該process是in control at the level p=0.2150，且該control chart可用來monitor current procedure。 • 雖然此process目前是in control，但其p=0.2150則是偏高，但此已無法從workforce的層次來改進，而必須由management的階層來improve! • Management指示engineering staff進行分析該過程，由分析結果決定對機器進行數方面的調整。

8. 其中 = preliminary data的不良率 = 目前新data的不良率 • 調整後，仍如先前取樣法，n=50，再取24次。Data見附表，Control chart見附圖。  此process已在一個新的level上運作，點41 below control limit且找不出assignable cause。 • 我們可進行下列的假設檢定： 分析結果如附錄： • 故利用新的data重建C.C. ，見附圖。 • （當LCL<0時，我們取LCL=0） • The process is in control at this new level.

9. 然而 仍偏高，可利用statistically designed experiments來決定如何調整機器，及其調整量，以期達到defect-free的manufacturing。 12. 再持續取樣（如附表），其C.C. （如附圖） Process is in control.

10. Fraction nonconforming control chart 的設計 • 三個主要參數：1. Sample size（n） • 2. Frequency of sampling • 3. Width of the control limits（k） • （亦可加入economic的考量）

11. Sampling frequency：通常建立不良率的control chart是 • 採取100% inspection of all process output over some • convenient period of time。在此情況下，sample size（n） • 也會被同時決定，以下為兩個考量sampling frequency • 的因素。 • Production rate • Rational subgroup e.g.若一日有三班，若我們懷疑此三班已有shift發生， 則我們會取一個shift的output為subgroup，而不是以 整日的output為subgroup。

12. e.g.若p=0.01，n=8，則 則若 ， 有一個不良品即indicate out of control !! • Sample size：若 p 很小時，我們應該選 n 夠大，使得在 • 樣本中至少找到一個不良品的機率要夠高，否則將造成 • 所建的C.C.只要sample中有一個不良品即reject的不合理 • 現象。

13. e.g.可取r=0.95，則當p=0.01時， 或可用Poisson對Binomial的逼近，查Poisson的表。 （但此時必須要求 ， 故當p=0.01時，n≧300） 建議 I：若令D=不良品的個數，則可要求

14. e.g.p=0.01 shift 到p=0.05 ，檢測此shift的機率≧0.5， 即要求 可利用Normal Approximation to Binomial分佈 建議 II：Duncan（1974） n要取得夠大，當process shift為某一特定量時，我們能detect 此shift 的機率大約50%。 即選擇n 使其upper control limit等於out of control 時的不良率。

15. 若令 Continue上例， ， 取k=3，則

16. 若在in-control時的 p 很小，亦可選 n，使得C.C. • 的下界大於0，此有助於檢定一些不尋常偏低的 • 不良率（此現象通常是由 inspection error 所造 • 成，“ e.g. 無經驗的inspector ”，而非代表品質 • 的改進）。即

17. 在P chart中最常使用的是3-sigma limit。 注意：fraction nonconforming control chart僅適用於符合二項分佈假設的fraction nonconforming data。 i.e.1. P(nonconforming unit)=constant 2. Successive units of production are independent. 當nonconforming units是cluster在一起（即存在correlation）或是彼此間是相關的，上述之P chart則不再適用。

18. 亦可對不良品的個數建立np control chart. 在實用上，一些未經過統計訓練的人員，認為 np chart比 p chart更易解釋。 e.g.Fraction nonconforming orange juice concentration cans. 由於不良品的個數為整數，故取UCL=21，LCL=2， 故當樣本中的np值落在UCL及LCL的線上時，亦應視 為out of control。

19. 方法一：採用 為其control limits。 • 當sample size不是固定的時候： • 由於在製造fraction nonconforming的C.C.時，其取樣 • 的方法通常是在一固定時段中檢測100%的process • output，故由於每段時間中生產的總數未必都相同， • 所以必須考慮variable sample size的問題。 e.g.如附表的data，先求得 C.C.如附圖。

20. （在上例中） 方法二：採用Average sample size（此方法較適用於未來的 sample size不會與目前sample size有太大差異時。） 注意一：若當sample size有大改變或有點十分靠近control limit時，則應以exact的control limits來檢測該點 是否out of control。 e.g.如附圖。

21. e.g.假設 p=0.2 雖然 ，但 注意二：在variable sample size的C.C.上，runs或其他的 nonrandom patterns並無太大的意義。

22. （若p未知，則以 代之） 方法三：採用“standardized” C.C.。 將每個觀測點轉換成standard deviation的單位。 上例（continue），data如附表，C.C.如附圖。 當observation轉換成相同的單位來計算時， Tests for runs及pattern recognition的方法才有意義。

23. 但由於一般操作員較不易了解standardize control • chart的意義，故可採用variable control limits（如 • 方法一）給操作員使用，而同時提供standardize • C.C.給quality engineer’s use。 • 當length of the production run很短時，亦建議採 • 用standardize control chart。 • Fraction nonconforming的C.C.在非製造業有廣泛 • 的應用。 • e.g.1. 計算一個pay period中錯誤或遲到的員工薪 • 水袋總數。 • 2. 貨商沒有準時交貨的次數。

24. e.g.在一個會計年度中的check requests的總數不是 一個常數，其中 • 通常在非製造業fraction nonconforming C.C.常必 • 須面臨variable sample size的問題。 e.g.在上例中，資料來自於一個大的aerospace company的採購部門（每星期負責向公司的 原料廠商issues purchase order），其造成 purchase order錯誤的原因有多種， 如：incorrect part numbers, incorrect delivery dates, incorrect prices or terms, wrong supplier numbers。

25. O.C. curve即計算prob. of Type II error（當 為真，接受 的機率）。 • O.C. curve及ARL： （如附表及附圖） • 可由Binomial dist. 的c.d.f.計算。 • 當p小時（e.g. p<0.1），n大，可用Poisson approximation。 • 當p大時，n大，可用normal approximation。

26. 1 ARL = P(點落於上下界之外) 1. 若process in control：ARL = 2. 若process out of control：ARL = 在上例中，當process是in control時，即 由表得知 若process shift out of control to p=0.3 若7太大可以 1. 增加n（可減少 及ARL）。 2. 採用較頻繁的抽樣法，即減短抽 樣之間隔時間。

27. Nonconformities（Defects）的C.C. ： a. 一個nonconforming item可能擁有數個 nonconformities（defects）。 b. 具有數個nonconformities的item卻未必 被視為nonconforming item（必須視其 defect的嚴重情形，e.g. PC的外殼刮傷 部分）。 1. c chart：total number of nonconformities in a unit. 2. u chart：average number of nonconformities per unit. • 在下列例子中，c or u chart均較p chart更實際。 • e.g. 1. 在100公尺的油管中，焊接不好的總數。 • 2. 在機翼上卯釘斷掉的個數。

28. 基本假設：在一個constant size的sample中的nonconformities 的個數為一個Poisson分佈。 • c chart（control chart for nonconformities） 1. The number of opportunities or potential location for nonconformities are infinite large. 2. The probability of occurrence of a nonconformities at any location be small and constant. （見Poisson Postulates） 3. 對每一個sample皆有相同的inspection unit. ※ nonconformities可以是不同type，只要每一個class的nonconformities是滿足上述的條件。 （Rmk：∵independent的Poisson，其和亦為Poisson。）

29. （若LCL<0，則取LCL=0） 若c未知，則以 = observed average # of nonconformities in 估計之。 a preliminary sample of inspection units. Trial control limits • Inspection unit的定義取決於記錄或檢查時的方便性。 • e.g. single unit of product、5 units （or 10 units）of product. • 令 x=nonconformities 的個數~Poisson ( c )

30. Example 2 Inspection unit：100 printed circuit boards. 其取26 successive samples of 100 printed circuit boards. （data 見附表）。 （如附圖）

31. 1. Sample 6及20在limits之外， Sample 6  new inspector examined the board，不清楚可 能在board中有數種不同的nonconformities。 Sample 20 在焊接機器上，溫度控制的問題。 2. 故將此兩點除外，再造C.C. revised，並加入新的sample 20 筆（如附圖）。雖然process是in control，但每片board的 nonconformities的個數仍偏高。  必須採取management action才能improve此生產過程。

32. 一般而言，c chart較p chart更具資訊（因為通常 • nonconformities有數種型態）。 e.g. 上例中，for defect data 500 boards的data以 Pareto chart分析之，見附圖，可發現超過60% 的defect數目與焊接不完全及solder cold joints 相關，由此可見，若能isolate及eliminate wave soldering process的問題，則對process yield必 有很大的改進。

33. 1. 在此大部分的defects attributable to a few（在此為two）defect types，此現象我們稱該nonconformities follow a Pareto distribution。 • 2. 見附表，對printed circuit board的不同type • nonconformities的分析。 • 全部40個焊接不完全及20個solder cold joints均發生在part 0001285號上。 • 此種board在焊接上常會出狀況。 3. 以cause effect diagram分析：如附圖，在上述分析知主要問題來自solder process，可由此來協助選取designed experiment的variables以optimize wave soldering的過程。

34. is the observed mean number of nonconformities in the original inspection unit. • Sample size：n inspection units （e.g. n=2.5） 1. Revised chart

35. 每次抽樣中，inspection unit的個數。 represents the observed average number of nonconformities per unit in a preliminary set of data. 2. 用u chart If we find c total nonconformities in a sample of n inspection units, then the average number of nonconformities per inspection unit is Note that c is a Poisson random variable.

36. Example 3 • PC製造商 • 1個PC = 1個inspection unit • Sample size = 5個inspection units • 共有20個samples（如附表）。 • 雖無lack of statistical control，但u太過大（如附圖）。 • 結論：Management must take action to improve the • process.

37. Alternative Probability Models for Count Data （可用來描述Count data的其他機率模型） E.g. nonconformities是以cluster出現 參考文獻：Jackson（1972）, Leavenworth（1976）, Gardiner（1987）。

38. 2. Standardized（runs and pattern-recognition）： 1. Average sample size： • 100%檢驗（e.g. 布疋、紙捲）。 • c chart的中央線及C.L.均會改變，u chart只有C.L. • 隨n改變。 • 當樣本數是個變數  僅可用u chart，不可用c chart。 • 另兩種可行之control chart：

39. = 500/50 = 400/50 Example 4 • 紡織公司 • 檢驗染布 • inspection unit = 每50平方公尺 • Data如下表，control chart如附圖。

40. Demerit scheme • 基本假設： • 不同型式的defects。 • 將defects依其severity分類並給予weights。 Class A Defects—Very Serious 1. Completely unfit for service 2. Cannot be easily corrected in the field 3. Cause personal injury or property damage Class B Defects—Serious 1. Suffer a Class A operating failure 2. Will certainly have reduced life or increase maintenance cost

41. Class C Defects—Moderately Serious 1. Fail in service 2. Possibly have reduced life or increased maintenance costs 3. A major defect in finish appearance, or quality of work Class D Defects—Minor Minor defects in finish, appearance, or quality of work

42. 定義number of demerits in the inspection unit： weight The demerit weights of Class A-100, Class B-50, Class C-10, and Class D-1 are used fairly widely in practice.

43. A sample of n inspection units is used. Then the number of demerits per unit is （獨立Poisson r.v.’s 的線性組合） Control chart D is the total number of demerits in all n inspection units.

44. For the c chart, the OC curve plots the probability • of type II error against the true mean number of • defects c. The expression for is • where x is a Poisson random variable with • parameter c. • 其他可行的方法： • 1. Two-class系統 • 2. 對每一種defect class 採用各自的C.C.

45. OC curve We will generate the O.C. curve for the c chart in Example 2 Inspection unit：100 printed circuit boards. 共取26 successive samples of 100 printed circuit boards.

46. ≦nUCL的最大整數 ≧nlCL的最小整數 • For the u chart, we may generate the OC curve from 如附圖。

47. Dealing With Low-Defect levels（PPM range≦1000） • 此時，u及c chart均ineffective ! • 修正法：建立另一種C.C. • — the time between successive occurrences of defects • c、u chart在非製造業亦被廣泛的應用。

48. Choice Between Attributes and Variables Control Charts • Variable C.C. ： • Attribute C.C. ： • 當quality characteristic是無法測量時（如：color • of the item），則採用attribute C.C.。

49. Attribute C.C.的優點為，可將數個quality characteristic • 同時考慮為nonconforming的標準，較variable C.C.考慮 • multivariate C.C.簡單、經濟、省時。 • Variable C.C.則提供比Attribute C.C.更有用的訊息，較 • 易找出造成out of control的原因。 • 就process-capability分析而言，亦較傾向於採用variable • C.C.。

50. 如下圖，當process mean 是 時，很少的不良品會被製 • 造出，若process mean開始向上shift，則在其未到達 • 前， chart會出現strong nonrandom pattern，或數 • 個out of control的點，然而p chart則會等到mean已完全 • shift到 時，才會反應出來。 • chart較p chart更powerful！