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Spezielle Relativitätstheorie

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Spezielle Relativitätstheorie. Vorlesung von Prof. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond in Zusammenarbeit mit Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke Institut für Theoretische Astrophysik Universität Heidelberg. Die ersten Gedankenexperimente: Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion.

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
spezielle relativit tstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Vorlesung von

Prof. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond

in Zusammenarbeit mit

Elena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke

Institut für Theoretische Astrophysik

Universität Heidelberg

slide2

Die ersten Gedankenexperimente:

Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion

einsteins gedanken experiment
Einsteins Gedanken-Experiment

Zug fährt mit einer Geschwindigkeit vzug in einen Bahnhof ein.

Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?

einsteins gedanken experiment5
Einsteins Gedanken-Experiment

y

Raum-Koordinaten

(vom Bahnhof aus gesehen)

L

vx=vzug

x

einsteins gedanken experiment6
Einsteins Gedanken-Experiment

vy

Geschwindigkeits-

Koordinaten

(vom Bahnhof aus gesehen)

vy=vball,0

vx

vx=vzug

einsteins gedanken experiment7
Einsteins Gedanken-Experiment

v‘y

Geschwindigkeits-

Koordinaten

(vom Zug aus gesehen)

v‘y=vball,0

v‘x

v‘x=0

einsteins gedanken experiment9
Einsteins Gedanken-Experiment

Jetzt mit einem

Lichtpuls

(vom Zug aus gesehen)

L

einsteins gedanken experiment10
Einsteins Gedanken-Experiment

Jetzt mit einem

Lichtpuls

(vom Bahnhofaus

gesehen)

L

einsteins gedanken experiment11
Einsteins Gedanken-Experiment

vy

Geschwindigkeits-

Koordinaten

(vom Bahnhof aus gesehen)

vy

vx

vx=vzug

einsteins gedanken experiment12
Einsteins Gedanken-Experiment

Jetzt mit einem

Lichtpuls

(vom Zug aus gesehen)

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?

L

einsteins gedanken experiment13
Einsteins Gedanken-Experiment

Jetzt mit einem

Lichtpuls

(vom Bahnhofaus

gesehen)

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?

L

Aufgabe: Berechne wie

viel länger es vom

Bahnhof aus gesehen

dauert.

zeit dilatation
Zeit-Dilatation

Jetzt mit einem

Lichtpuls

(vom Bahnhofaus

gesehen)

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?

Die Person im Zug ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t‘=L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer:

L

Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft??

Antwort: Ja; aber dazu später...

zeit dilatation1
Zeit-Dilatation

Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)

Zug

L

Bahnsteig

zeit dilatation2
Zeit-Dilatation

Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)

Zug

L

Bahnsteig

zeit dilatation3
Zeit-Dilatation

Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)

Zug

L

Bahnsteig

lorentzkontraktion
Lorentzkontraktion

Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab:

(vom Zug aus gesehen)

Die Dauer ist nun:

L

vom Zug aus

gesehen, und

vom Bahnhof aus gesehen

lorentzkontraktion1
Lorentzkontraktion

Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht:

(vom Zug aus gesehen)

Die Dauer ist nun:

L

vom Zug aus

gesehen, und

vom Bahnhof aus gesehen

lorentzkontraktion2
Lorentzkontraktion

Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich

ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz...

Aufgabe:

Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten Spiegel erreicht.

Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei der (bewegte) Kamera ist.

Zeige, dass dies um den Faktor zu lange dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.

lorentzkontraktion3
Lorentzkontraktion

Aber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich

ist?

Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t1 erreicht der Puls den Spiegel?

Und zu welchem Zeitpunkt t2 fällt der Puls in die Kamera?

lorentzkontraktion4
Lorentzkontraktion

Wir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments

ist, aber wir wissen, dass es eigentlich

sein muss... Was ist los?

Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich

Längen in Fahrtrichtung verkürzen!

lorentzkontraktion5
Lorentzkontraktion

Statt L müssen wir Lvbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!):

Und mit der Lorentzkontraktion

erhält man dann wieder die richtige Antwort:

leiter paradoxon der lorentzkontraktion
Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion

Leiter bewegt sich,

Garage steht still:

Garage bewegt sich,

Leiter steht still:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ladder_Paradox_GarageScenario.svg

relativit tsprinzip
Relativitätsprinzip
  • Galilei und Newton wussten schon, dass absolute Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz.
  • Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht.
  • Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus!
raum zeit diagramme
Raum-Zeit-Diagramme

Um einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegung

durch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal.

Beispiel: rennende Person

raum zeit diagramme4
Raum-Zeit-Diagramme

Supermarkt

Wohnung

Büro

Lunchroom

„Weltlinie“

raum zeit diagramme5
Raum-Zeit-Diagramme

„Ereignisse“

Die Geburt deines Kindes

Die Hochzeit eines Freundes

Deine Hochzeit

Deine Geburt

raum zeit diagramme 2 1d
Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D

t

Etwas schwieriger

um damit zu

arbeiten...

y

x

raum zeit diagramme 3 1d 4d
Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=„4D“)

Sorry, Powerpoint

kann leider noch

keine 4-D Grafen

erstellen...

Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder...

Noch schwieriger

um damit zu

arbeiten...

galilei invarianz
Galilei Invarianz

Bahnhof

Zug

Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus...

galilei invarianz1
Galilei Invarianz

Bahnhof

Zug

...oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg...

Wer hat recht?

galilei transformation
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Bahnhof und Zug

haben eigene

Zeitachsen

Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen

x‘=0

x=0

x=1

x‘=1

galilei transformation1
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Wir können durch

eine Koordinaten-

Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.

x=1

x=0

x‘=0

x‘=1

galilei transformation2
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Bahnhof und Zug

haben eigene

Zeitachsen

Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen

x‘=0

x=0

x=1

x‘=1

galilei transformation3
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Bahnhof und Zug

haben eigene

Zeitachsen

Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen

x‘=0

x=0

x=1

x‘=1

galilei transformation4
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Wir können durch

eine Koordinaten-

Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.

x=1

x=0

x‘=0

x‘=1

galilei transformation5
Galilei Transformation

Bahnhof

Zug

Wir können durch

eine Koordinaten-

Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.

x=1

x=0

x‘=0

x‘=1

inertialsystem inertiales bezugssystem
Inertialsystem (inertiales Bezugssystem)

Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als

geschrieben werden kann.

Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x‘,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch

(mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig.

slide49

Relativistische

Raum-Zeit-Diagramme

(„Minkowski-Diagramme“)

hermann minkowski
Hermann Minkowski

"Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“

(Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 21, 1908)

minkowski diagramme
Minkowski Diagramme

Für die Gedankenexperimente

ersetzen wir die t-Achse durch eine ct-Achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit).

Die Zeitache hat jetzt auch Dimension „meter“

lichtkegel
Lichtkegel

Jetzt bewegt

sich Licht entlang

diagonalen Linien mit

±45∘ Winkel

mehrere lichtkegel
Mehrere Lichtkegel

Zwei Lichtpulse,

unterschiedliche Orte

mehrere lichtkegel1
Mehrere Lichtkegel

Zwei Lichtpulse,

unterschiedliche

Ort und Zeit

raumzeit geschwindkigkeit spezrel
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Raumzeit-Geschwindigkeit für stillstehende Person

raumzeit geschwindkigkeit spezrel1
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Raumzeit-Geschwindigkeit für bewegende Person

t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

raumzeit geschwindkigkeit spezrel2
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor

liegt immer auf der gestrichelte Linie.

Grund: Zeitdilatation!

t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.

raumzeit geschwindkigkeit spezrel3
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Aufgabe:Zeige, dass dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht:

t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

raumzeit geschwindkigkeit spezrel4
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Aufgabe:Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum-Komponente Vct bzw Vx folgende Gleichung befolgen:

t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

raumzeit geschwindkigkeit spezrel5
Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct‘=1 Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation.

slide62

Was ist „gleichzeitig“?

Das Prinzip der Uhren-Synchronisation

und die Vermischung von

Raum und Zeit

wie synchronisiert man uhren
Wie synchronisiert man Uhren?

Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir über

Radio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob die

Uhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon „veraltet“.

Aufgabe:Überlegt euch eine Methode („protocoll“) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen.

von vorbeifliegendem raumschiff aus gesehen
Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehen

Erde

Mars

Für den Raumschiffpiloten bewegen sich Erde und Mars

Man sieht: Die „Linie der synchronen Ereignisse“ ist nun gekippt!

zug bahnhof symmetrie wiederhergestellt
Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt?

Aufgabe:Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b.

B

A

b

a

autobahnpolizei
Autobahnpolizei

Jeweils nur Auto „A“ messen:

A

A

Die Uhr „A“

geht langsamer

(Zeit-Dilatation)

B

Jeweils nur bei Blitzer „B“ messen:

Die Uhr gemessen

von Station „B“

geht schneller!

B

zur ck zum zug bahnhof beispiel
Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel

Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus:

Zug

a

b

c

d

e

f

g

Bahnsteig

A

B

C

D

E

F

G

Aufgabe:Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum ist Uhr „d“ hinterher im Vergleich zu „D“? (2) Warum ist Uhr „b“ weiter als „D“? (3) Warum ist Uhr „a“ weiter als Uhr „g“?

kippen der raum achse andere erkl rung
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung

Wenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus:

Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:

kippen der raum achse andere erkl rung1
Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung

Die Ente kann also „messen“ dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist.

Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?

slide77

Mit fast-Lichtgeschwindigkeit

durch Tübingen fahren...

slide78

Intermezzo:

Koordinatentransformationen,

Matrizen, Vektoren

zeit licht und raum vektoren
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren

ct

Zeit-Vektoren

Licht-Vektoren

Raum-Vektoren

x

zeit licht und raum vektoren1
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren

ct

Lorentz-Koordinaten-Transformation zum

Bezugssystem mit v>0.

Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren.

x

zeit licht und raum vektoren2
Zeit-, Licht- und Raum-Vektoren

ct

Lorentz-Vektor-Transformation (Beschleunigung)

in positive Richtung.

x

zwingendheit der form der lorentz transformation
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation

Eine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben:

Aufgabe:Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A.

Man erhält also:

zwingendheit der form der lorentz transformation1
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation

Wir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen:

Aufgabe:Wenn man Vb aus Vs erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet:

leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).

zwingendheit der form der lorentz transformation2
Zwingendheit der Form der Lorentz-Transformation

Die Lorentz-Transformation hat also die folgende Form:

wo der Lorentzfaktorγ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind:

Aufgabe:Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.

lorentz kontraktion im x ct diagramm1
Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm

Zug-Ende

Zug-Anfang

Zwar wird die x-Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer.

was geschieht zuerst
Was geschieht zuerst?

ct

ct

B

D

C

x

x

A

Aufgabe:Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?

raum versus zeit zukunft und vergangenheit
Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit

Meine

Zukunft

Ereignisse die

„räumlich getrennt“

von mir sind

Ereignisse die

„räumlich getrennt“

von mir sind

Meine

Vergangenheit

wenn man schneller als licht reisen k nnte
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...

Jetzt machen

wir eine Lorentz-

Transformation

wenn man schneller als licht reisen k nnte1
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...

Jetzt machen

wir eine Lorentz-

Transformation

wenn man schneller als licht reisen k nnte2
Wenn man schneller als Licht reisen könnte...

Und reisen wieder

mit über-Licht-

Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück.

Also reisen mit überlicht-Geschwindigkeit führt zu Absurditäten...

Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir?

lorentz transformationen an anderen stellen
Lorentz-Transformationen an anderen Stellen

Lorentz-Transformation

zentriert auf dem unteren

(roten) Ereignis:

lorentz transformationen an anderen stellen1
Lorentz-Transformationen an anderen Stellen

Lorentz-Transformation

zentriert auf dem oberen

(grünen) Ereignis:

weltlinie und eigenzeit
Weltlinie und Eigenzeit

ct

ct‘=6

ct‘=5

ct‘=4

ct‘=3

ct‘=2

ct‘=1

x

zwillingsparadoxon
Zwillingsparadoxon

ct

Aufgabe:Löse dieses Paradoxon.

x

energie impuls vektor1
Energie-Impuls-Vektor

Doppel so große Masse

energie impuls vektor2
Energie-Impuls-Vektor

Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ≈1) müsste etwas rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen, sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was wir aus dem täglichen Leben kennen.

Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie:

Die Raumkomponente von P (P1) wird für v<<c tatsächlich der Newtonsche Impuls.

energie impuls vektor3
Energie-Impuls-Vektor

Die Zeitkomponente von P (P0) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<<c:

Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der Lorentzfaktor γ schauen:

energie impuls vektor4
Energie-Impuls-Vektor

Man kann dies für v<<c annäheren mit:

Aufgabe:Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel, verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt:

energie impuls vektor5
Energie-Impuls-Vektor

Also kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c):

Offenbar gilt also:

Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse offenbar Energie entspricht, und zwar Emasse=mc2.

energie impuls vektor von licht
Energie-Impuls-Vektor von Licht

Energie des

Photons

Impuls des

Photons

umwandlung von ruhemasse in licht
Umwandlung von Ruhemasse in Licht

(Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)

umwandlung von ruhemasse in licht1
Umwandlung von Ruhemasse in Licht

(Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)

slide114

Beschleunigung einer Rakete...

...und die erste Hinweise wie

Gravitation funktionieren könnte!

rindler modell eines schwarzen lochs
Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“

Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.

Ereignis-Horizont

Ereignis-Horizont

rindler modell eines schwarzen lochs1
Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“

Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.

Ereignis-Horizont

Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den „normalen“ Raum.

Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept „Ereignis-Horizont“ wird mit dem Rindler-Modell gut beschrieben!

Ereignis-Horizont