2. 関係

1. 2. 関係 五島 正裕

2. 関係 関係: いくつかのものごとの間に成り立つか否かを云々 対象とするものごとの集合の直積集合の部分集合として定義

3. 二項関係(binary relation) • 集合 X, Y の要素 x, y について，関係 R ⊂ X × Y が成り立つ • x R y ⇔ (x, y) ∈ R • 例) • X = {0, 1, 2, 3, 4} • Y = {2, 3, 5, 7, 11} • x R y = 「x は y より 2 小さい」 • R = {(0, 2), (1, 3), (3, 5)} • X = Y の場合, R を「X の上の関係」という

4. 多項間の関係 • 集合 X1, X2, ...,Xnについて，x1, x2, ... , xnの間に 関係 R ⊂ X1× X2× ... × Xnが成り立つ • R(x1, x2, ... ,xn) ⇔ (x1, x2, ... ,xn) ∈ R

5. 同値関係

6. 同値関係 (equivalence relation) • 反射的 (reflexive) xRx • 対称的 (symmetric) xRy ⇒ yRx • 推移的 (transitive) xRy and yRz ⇒ xRz • 例) • x = y • 複素数の実部が同じ, 虚部が同じ, 原点からの距離が同じ, ... • 同じ国の国民 (二重国籍がなければ)

7. 同値関係の写像 • Xから Yへの写像 f : X → Yがあるとき • x R y ⇔ f (x) = f (y) • と定義すると，Rは同値関係になる. • 例） • f (x) = xmod 7

8. 同値類 (equivalence class) • R[x] = { y | xRy } ⊂X • x: 代表元 (representative) • xRy⇒ R[x] = R[y] • ⇒ 同値類は代表元の選び方によらない • 異なる同値類は共通要素を持たない • 例） • 偶数 • 奇数 • 7 で割った余りが同じ

9. 類別 と 商集合 • 類別 (classification)：元の集合 X をその同値類の直和に分割すること • X1 ∪ X2 ∪ … ∪ Xn = X • i ≠ jならばXi ∩ Xj = φ • 商集合 (quotient set)：類別の結果得られる部分集合の集合 • X/R = {X1, X2, … , Xn}

10. 同値関係の強弱 • Xの上のふたつの同値関係 R1, R2について • R1は R2より強い ⇔ R1⊂R2 (より細かく類別) • R1は R2より弱い ⇔ R1⊃R2 (より粗く類別) • 例） modulo 21 の類別は, modulo 7 の類別より細かい

11. 順序関係

12. 順序関係 (order relation) • 反射的x Rx • 反対称的xRy and yRx ⇒ x = y • 推移的xRyandyRz⇒xRz • 例) • 数の大小関係 • 集合の包含関係 • ≦ で表すこともある

13. 全順序 • 全順序 (total order), 線型順序 (linear order) • すべての x, y∈Xについて x ≦yまたは y≦x • 例) • 数の大小関係

14. 半順序 • 半順序 (partial order) • 全順序ではない一般の順序 • 半順序集合 (partially ordered set, po-set) • 例） • 集合 A = {a, b, c} の巾集合 2Aの要素の包含関係 {a,b, c} {a, b} {c, a} {b, c} {a} {b} {c} {}

15. 擬順序 (pseudo-order) • 反射的, 推移的だが反対称的でないもの • xRyかつ y R xかつ x≠ yなる x, yが存在 • 例） • x – y平面上の点の原点からの距離

16. a ｂ c e d f g X k j i h m l n p o ハッセ (線) 図(Hasse’s diagram) • DAG (Directed Acyclic Graph) • 推移律からわかる余分なarcの除去 • 平面グラフとは限らない ― 例: 3次元立方体

17. 極大元，極小元 上　界，下　界 最大元，最小元 上　限，下　限

18. 極大元／極小元 極大元 (maximal element)／極小元 (minimal element) x∈Xに対し, x≦yかつ x≠yという y∈Xが存在しないとき， xを Xの極大元という

19. 上界／下界 • 上界 (upper bound)／下界 (lower bound) • 半順序 ≦ が定義されている集合 Sの部分集合 Xで、 任意の x∈Xに対し x≦aであるような a∈Sがあるとき • Xは上に有界 • aを Xの上界という • 例） • { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } の部分集合 {1, 2, 4}の上界は 4, 5, 6 • (π, ∞) は下に有界, 上に有界でない

20. 最大元／最小元 • 最大元 (maximum)／最小元 (minimum) • 上界／下界 aが Xに属するとき，aを最大限／最小限という • max(X)／min(X) • 例) • [0,π] の最大元は π • (0, π) にはπは属さないので，最大元はない • 集合全体の最大元／最小元 (あれば) • T: トップ ／⊥: ボトム

21. 上限／下限 • 上限（supremum, minimum upper bound ：最小上界） • 下限（infimum, maximum lower bound ：最大下界） • 部分集合 Xの上界／下界の集合の最小元／最大元を，上限／下限という • sup(X), inf(X) • 例） • (0, π) の上限は π • 上限, 下限は存在するとは限らない

22. 実数 極小元 極大元 最小元 最大元 下限 上限 [0, 1] 下界 上界 下限 上限 (0, 1) 下界 上界

23. a ｂ c e d f g X k j i h m l n p o 例題 • 部分集合 Xの • 極大元、極小元 • 上　界、下　界 • 最大元、最小元 • 上　限、下　限 をすべて挙げよ

24. a ｂ c e d f g X k j i h m l n p o 答え • 極大元：d, g；極小元：i, j • 上界：b；下界：m, o, p • Xのどの要素 xについても x≦ b • Xのどの要素 xについても m≦ x, o≦ x,p≦ x • 最大元 ：なし；最小元：なし • 上界，下界はいずれも Xの元ではない • 上限：b；下限：m • 上界の集合 {b}の最小限は b • 下界の集合 {m, o, p} の最大元は m

25. a ｂ c e d f g X k j i h m l n p o 例題 2 • 部分集合 X の • 極大元、極小元 • 上　界、下　界 • 最大元、最小元 • 上　限、下　限 をすべて挙げよ