3D 模型半規則四角網格化之研究

1. 3D模型半規則四角網格化之研究 報告者:丁琨桓

2. 研究動機 • 現今使用的3D網格模型大多是由三角片所組成 • 流體力學模擬、工業原件設計等應用，四角網格模型較三角網格模型有更好的效果

3. 研究目標 • 將原本由三角片構成的3D模型網格轉換為半規則特性的四角網格結構 原始的三角網格 新產生的四角網格

4. 何謂半規則四角網格 • 3D模型若具有四角網格表示模型表面是由四角片組成 • 半規則(Semi-regular) 表示該網格結構是透過細分(Subdivision)技術產生

5. 網格細分技術 • N邊形可以用Catmull-Clark技術細切成多個四邊形 • 細切方法是連接N邊形的中心點和每一個邊的中心點 • 使用Catmull-Clark Subdivision技術可以讓細分模型產生平滑的表面

6. 傳統3D模型四角網格化 • 直接作Catmull-Clark, 兩個三角形合併 • 受限於三角形分布狀況 直接作Catmull-Clark 兩兩三角形作合併後細切

7. 半規則四角網格的製作流程 原始模型 透過Lp distance及法向量差異度表面分群法 基底模型 透過Catmull-Clark網格細分法 細分模型 透過幾何投影法 半規則四角網格模型

8. 建立基底模型 • 基底模型的網格必須盡可能由四邊形組成 • 細切方法產生的四角網格才會比較接近長方形或正四邊形 • 使用表面分群法建立基底模型 • 靈感來自於 • Variational Shape Approximation • Parameterization of Triangle Meshes over Quadrilateral Domains • Lp Centroidal Voronoi Tessellation and its Applications • 表面分群法會把原始模型表面分割成多個區塊 • 每個區塊由多個三角片組成

9. 建立基底模型 • 演算步驟 • 決定要分割的區塊數量(k) • 參考 High quality surface remeshing with equilateral triangle grid [2008] • 透過六面分群法來決定分群數量

10. 六面分群法 • E(t,P) = A(t)||N(t) – N(P)|| , A(t)和N(t) 分別代表三角片t 的面積和單位法向量, N(P)代表虛擬平面P的單位法向量 Bounding Box上的六面法向量 分成六個表面區域結果 初始表面分群結果

11. 六面分群法 找出和N(P)差異度最小的 三角片為新的種子三角片 再一次分群結果 最終六面法分群結果

12. 六面分群法 • 以最終分群結果決定適當的分群數量 分群數= 89 分群數= 89

13. 建立基底模型 • 演算步驟 • 決定要分割的區塊數量(k) • 在原始模型任選k個三角片作為起始點 • 由這k個起始三角片往外擴張出k個區塊 • 擴張的方法 • 將「尚未歸屬」的三角片依照「特定規則」歸屬給某一個區塊

14. 1 2 4 3 5 建立基底模型 • 歸屬的方法 • 假設起始三角片的代號為{tis}i=1,…,k，每個區塊的代號為{Ri}i=1,…,k，E(t,Ri)代表三角片t和區塊Ri的相似性 1 3 3 2 5 4 6 7 t1s 6 依照相似性大小建立的Priority Queue(愈大愈早pop) t2s 7 • 計算每個起始三角片tis的所有相鄰三角片與區塊的相似性(t1s的相鄰三角片是t1,t2,t3會和R1計算相似性) • 把相鄰三角片放入Queue中 • 依序從Queue中pop出相似性最大的三角片，並把它歸屬給對應的區塊 • 把pop三角片的「尚未歸屬」相鄰三角片放入Queue中

15. 建立基底模型 • 相似性E(t,Ri)的計算 • 使用Lp norm 三角片的質心 區塊的中心

16. 建立基底模型 • 表面分群結果之比較 • 相較於使用Euclidean distance產生的分群結果，使用Lp distance產生的分群區塊外形較接近方形 209群，p = 100 (使用Lp distance) 209群，p = 2(傳統的Euclidean distance)

17. 建立基底模型 • 在分群時將平坦度相近的三角片歸為一群 • 增加投影時的準確度

18. 建立基底模型 • 參考Variational Shape Approximation[2004] • L2,1( Ti ,Pi ) = || ni – Ni||2 • 計算三角片Ti法向量ni和區塊中心法向量Ni的差異度 • E( Ti, Ri ) + α*L2,1( Ti , Pi ) Lp-norm 法向量差異度

19. 建立基底模型 • 加入法向量權重比較 原始模型 法向量權重α值為0 法向量權重α值為0.3

20. 建立基底模型-利用表面分群結果建立基底模型建立基底模型-利用表面分群結果建立基底模型 • 針對每一個表面區塊 • 找出區塊邊界上的Corner點 • Corner點：相鄰三角片屬於3個以上的不同區塊 • 依序連接區塊Corner點形成一個多邊形

21. 利用表面分群結果建立基底模型 原始三角網格模型 • 使用Lp分群法建立基底模型 • 分群數=89 • 使用Lp distance，p = 100

22. 利用表面分群結果建立基底模型 • 使用Lp分群法建立基底模型 • 分群數=89 • 使用Lp distance，p = 100 利用表面分群結果建立基底模型

23. 建立細分模型 • Catmull-Clark網格細分法可以處理由任意多邊形建構的網格模型，經處理的網格模型會全由四角片所組成

24. 建立細分模型 • 使用Catmull-Clark建立細分模型 • 網格細分次數 = 3 • 細分法會讓模型表面平滑化，出現外形內縮的效果 基底模型

25. 建立半規則四角網格模型 • 把細分模型上的頂點「投影」回原始模型表面上 • 投影方法 • 對齊細分模型和原始模型 • 計算投影頂點的法向量 • 利用法向量方向和頂點位置產生一條射線

26. 建立半規則四角網格模型 • 射線與原始模型上三角片的交點就是投影位置 • 交點可能不只一個，使用最近的投影點

27. 建立半規則四角網格模型 使用Catmull-Clark技術建立的網格細分模型 透過幾何投影法可將網格細分法產生的取様點會投影回原始模型表面，進而建立最終的半規則四角網格模型

28. Remeshing前後的網格比較 原始的三角網格 新產生的四角網格

29. 實驗結果 在分群時加入法向量考量，將平坦度相近的三角片歸為一群，增加投影時的準確度 原始模型 α值為0 α值為0.3

30. 實驗結果 • 矩形相似度:四角片的四個角和90度的相似度 • 方形相似度:計算每個四角片最長邊與最短邊比例，表示與正四邊形的相似程度 直接作Catmull-Clark Lp分群法及法向量差異度

31. 實驗結果 • 矩形相似度:四角片的四個角和90度的相似度 • 方形相似度:計算每個四角片最長邊與最短邊比例，表示與正四邊形的相似程度 Lp分群法及法向量差異度 三角片合併後細切

32. 實驗結果 Lp分群法及法向量差異度 直接作Catmull-Clark 三角片合併後細切

33. 總結 • 本篇論文的特點及貢獻如下： • 利用Lp distance表面分群法及法向量差異度自動擷取出原始模型外形特徵 • 透過Catmull-Clark網格細分法提升整體四角網格規則度 • 利用幾何投影法降低外形誤差

34. THE END