slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Struktura rezerv neživotního pojišt?ní Helga Krafferová U NIQA pojiš?ovna, a.s. 16.11.2007 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Struktura rezerv neživotního pojišt?ní Helga Krafferová U NIQA pojiš?ovna, a.s. 16.11.2007

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 39

Struktura rezerv neživotního pojišt?ní Helga Krafferová U NIQA pojiš?ovna, a.s. 16.11.2007 - PowerPoint PPT Presentation


  • 125 Views
  • Uploaded on

Struktura rezerv neživotního pojištění Helga Krafferová U NIQA pojišťovna, a.s. 16.11.2007. Téma. Odhad chyby v odhadech IBNR metodou CL Měření opatrnosti v odhadech IBNR Testování předpokladů metody CL Iterační odhad parametrů v metodě BF Výpočtové programy. Značení.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Struktura rezerv neživotního pojišt?ní Helga Krafferová U NIQA pojiš?ovna, a.s. 16.11.2007' - wyman


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Struktura rezerv neživotního pojištění

Helga Krafferová

UNIQA pojišťovna, a.s.

16.11.2007

slide2
Téma
  • Odhad chyby v odhadech IBNR metodou CL
  • Měření opatrnosti v odhadech IBNR
  • Testování předpokladů metody CL
  • Iterační odhad parametrů v metodě BF
  • Výpočtové programy
zna en
Značení

Cik - kumulované škody nastalé v roce i

tak jak jsou známy ve vývojovém roce k

Qik - nekumulované škody

Ri - rezerva roku i, Ri = CiI – Ci,I+1-i

p edpoklady
Předpoklady
  • E(Ci,k+1| Ci,1, …, Ci,k)= fkCi,k, k = 1,…, I-1
  • {Ci1, …, CiI}, {Cj1, …, CjI} pro nezávislé

Odhady

slide5
Tvrzení

D = {Ci,k|}

E(Ci,I| D)=Ci,I+1-i fI+1-i . … . fI-1

Důkaz užitím 1) a 2)

E(Ci,I| Ci,1,…, Ci,I+1-i)= E{E(Ci,I| Ci,1,…, Ci,I+1-i)| …}

= E(Ci,I-1.fI-1| Ci,1,…, Ci,I+1-i) =

= fI-1 E(Ci,I-1| Ci,1,…, Ci,I+1-i) = …

má shodný tvar s E(Ci,I| D) , což je nejlepší odhad Ci,Izaložený na D

slide6
Tvrzení

Odhady f jsou nestranné a nekorelované

Nekorelovanost je překvapující vzhledem

k závislosti na shodných datech.

slide7
Máme

Tedy i

je nestranný odhad E(Ci,I| D)

a je nestranný odhad Ri

st edn kvadratick chyba mean squared error
Střední kvadratická chyba (mean squared error)

způsobená budoucí náhodou

neuvažuje se nepodmíněná

slide9
obecně

Zápis

poukazuje na 2 složky – rozptyl n.v. CiI

a chyba odhadu.

Proto je třeba učinit předpoklad o rozptylu.

jsou Cik– váženým průměrem

individuálních vývojových faktorů

Tedy uvažujeme

proporcionální k Cik

slide10
Předpoklad

3)

kde neznámý parametr

Odhad

je nestranným odhadem

slide11
odhad posledního parametru

když

jinak extrapolovat řadu

jednoduše např. když

slide12
Tvrzení

Za předpokladů 1), 2) a 3) lze

odhadnout

Pro existuje obdobná formule.

slide14
Nebyly učiněny předpoklady o rozděleníCiI,

za předpokladu normálního rozdělení

lze stanovit hodnoty pro tzv. 90/10 rezervu

(resp. 75/25)

Technická bezpečnostní přirážka

slide16
se skládá z rozptylu C a chyby

odhadu

neobsahuje chybu způsobenou chybným

modelem nebo změnou chování v budoucnu

Proto nutné testování předpokladů CL

slide17
E(Ci,k+1| Ci,1, …, Ci,k)= fkCi,k
  • Zde fk nezávisí na roku vzniku i
  • Může být konstanta tak, že E(Ci,k+1| Ci,1, …, Ci,k)= a + fkCi,k
  • Místo na Cik může být závislost na CiI

2){Ci1, …, CiI}, {Cj1, …, CjI} pro nezávislé

  • Narušení silným diagonálním efektem, např. rozpuštěny/navýšenyrezervy RBNS všech let
  • Inflace

3)

  • Nezávisí na roku vzniku i
  • Např. potom za je lepší vzít aritmetický průměr individuálních vývojových faktorů
  • Jestliže pak
1 signifikantnost f k
1) Signifikantnost fk

Pro testování vhodnější přírůstkový faktor

  • Testujeme rozdílnost od nuly.
  • Je-li možnost statistického programu - regresní analýzy

s odhadem parametru získáme i odhad jeho směrodatné

odchylky.

  • Lze formálně statisticky testovat normalitu rozložení

vývojových faktorů.

  • Je-li faktor větší než dvojnásobek směrodatné odchylky, lze mít za to, že je signifikantně >0; stačí 1,65 násobek
2 alternativn vzorce
2) Alternativní vzorce
  • S lineární konstantou závislou na vývojovém roce
  • S parametrem závislým na roku vzniku
  • S vlivem kalendářního roku

Parametry odhadovány MNČ (někdy vyžaduje iter. postup)

Pro testování vhodnosti modelu lze použít charakteristiku

SSE (sum of sq. error)

Třeba vzít v úvahu počet parametrů - není obecně přijímaná

metoda jak

slide20
n počet pozorování

p počet parametrů

Akaike Information Criterion

dovoluje přeparametrizaci

Bayesian Information Criterion

CL má 1 parametr pro 1 vývojový rok, což dává výhodu

a konstanta
a) Konstanta

Často vhodné přidat pouze do prvního vývojového roku,

kde může být významnější než vývojový faktor.

Pro znormovaný trojúhelník expozicí (pojistko-roky),

případně pojistným je často vhodnější metoda čistě

konstanty než metoda čistě vývojového faktoru.

Zde pro porovnání metod lze sledovat pouze významnost

konstanty a faktorů, neboť CL pouze zvláštním případem.

b parametr z visl na roku vzniku
b) Parametr závislý na roku vzniku

V původní metodě Bornhuetter-Ferguson h(i) je odhad

celkových škod na jiném základě než na datech z trojúhelníku.

Modifikace BF – data trojúhelníku použita i pro odhad h(i).

h(i) je pouze proporcionální k celkovým škodám roku i, tato

proporcionalita opravena faktory

Parametr pro každý rok vzniku i vývoje. Je-li m let,m + m – 1.

Je-li h(i) přímo odhad , tak tedy 2m-2

parametrů.

Nelze brát v úvahu statistickou významnost parametrů, ale

slide23
To, že Qi,k+1 nezávisí na Cik lze interpretovat tak, že Cik

obsahují náhodnou složku, která neovlivní budoucí vývoj.

Zatímco CL by aplikovaly vývojové faktory na tyto chyby a

tím celkovou chybu zvyšovaly.

Simulace škod

slide24
CL i BF nemá problém se změnou objemu z roku na rok,

jestliže vývojový model zůstane stejný

BF má nevýhodu velkého počtu parametrů, je dobré zkusit

zredukovat, např. h(i) seskupit do skupin nebo zavést

lineární trend h(i) = a + b.i

speci ln p pad bf cape cod
Speciální případ BF - Cape Cod

h(i) ~ h

oproti CL pouze tento parametr navíc, ale změníme-li h,

lze tuto změnu vyrovnat změnou všech f, tedy stejný počet

parametrů

trojúhelník musí mít stabilní úroveň škodní kvóty i expozice

v jednotlivých letech

expozici a inflaci lze „opravit“

slide26
CC předpokládá, že roky, kde jsou dosud nízké nebo vysoké

škody budou mít stejný budoucí vývoj Qik, takže dobrý a

špatný rok se od sebe liší jen v některých vývojových letech

a ve všech ostatních obdobích mají srovnatelný výskyt

objemu škod

CL a obecný BF naopak předpokládá, že špatný rok bude mít

vyšší výskyt škod Qik ve valné většině období

3 linearita modelu
3) Linearita modelu

lineární aproximace křivky – rezidua kladná, záporná, kladná

zda odchylky nevykazují podobný tvar

4 stabilita v vojov ho faktoru
4) Stabilita vývojového faktoru

uvažujeme individuální vývojové faktory

slide29
je-li patrný trend lze užít váženého průměru s vyšší váhou

posledních let

nebo vyrovnat pomocí klouzavých průměrů

nestabilita trojúhelníku může být způsobena změnou ve

vyřizování škod, např. mění-li se procento uzavřenosti škod

v jednotlivých letech

je-li pouze jednotlivá příčina (např. velká škoda, povodně,

vichřice) lze vyloučit z dat

5 nekorelovan sloupce nekumulativn ho troj heln ku
5) Nekorelované sloupce nekumulativního trojúhelníku

mimo pozorování v rámci jednoho roku jsou Qik a Qjl

nezávislé

je-li vývojový rok s vysokou škodou zpravidla následován

rokem s nízkou škodou, je třeba toto vzít v úvahu

lze spočítat výběrový korelační koeficient r pro všechny

dvojice sloupců v trojúhelníku individuálních faktorů

slide31
nyní zda je korelace významná (H0: r = 0) např. na

10% hladině pomocí veličiny

mající t-rozdělení o n-2 stupních volnosti

(Prof. Anděl Statistické metody)

jestliže máme 1 korelaci na hladině 10% nemusí to ještě

znamenat korelovaný trojúhelník

slide32
problém může znamenat více korelovaných sloupců,

co znamená „více“?

n počet všech dvojic sloupců v trojúhelníku

počet signifikantních korelací ~ binomické rozdělení (n,10%)

směrodatná odchylka

pokud počet signifikantních korelací >

je třeba uvažovat korelovaný trojúhelník

opravit vývojové faktory pomocí vztahu

6 ne zvl vysok n zk diagon ly
6) Ne zvlášť vysoké /nízkédiagonály

zda počet vysokých/nízkých individuálních faktorů na

diagonále není vysoký

v trojúhelníku výplat se může na diagonále objevovat

vlivinflace

diagonální efekt může být multiplikativní, aditivní

iterativn metoda odhadu parametr bf
Iterativní metoda odhadu parametrů BF

je třeba minimalizovat

třeba počáteční hodnota parametrů nebo h

použijeme jakoukoli „rozumnou“ hodnotu, např.

nebo

začneme s těmito hodnotami a nalezneme MNČ

hodnoty h

slide35
MNČ

pro každé i jedna regrese, tím nalezeny nejlepší h(i) pro daná

potom

slide36
takto se pokračuje dokud se neobjeví konvergence

může nastat konvergence k lokálnímu minimu, proto je

třeba vyzkoušet více počátečních hodnot

cca 10 iterací

pozor h(i) nejsou odhady přímo celkové škody roku i,

ale odhadují ji společně s parametry

v po tov programy
Výpočtové programy
  • MS Excel
  • 1 „profesionální“ od zajišťovny
  • 1 Axa Francie, 2 UNIQA Vídeň
prameny
Prameny

Thomas Mack: Distribution-free Calculation of the Standard Error of Chain Ladder Reserve Estimates, 1993

Gary G. Venter: Testing the Assumption of Age-to-age Factors