VI. ESTIMASI PARAMETER

1. VI. ESTIMASI PARAMETER Estimasi Parameter :Metodestatistika yang berfungsiuntukmengestimasi/menduga/memperkirakannilaikarakteristikdaripopulasiatau parameter populasiberdasarkannilaikarakteristiksampelataustatistiksampel. Syarat : sampelharusdapatmewakilipopulasi sampling dilakukan secaraacak. Contoh : Hasilpemiludihitungsecaracepat (Quickcount) dengansampeluntuktiapwilayahpemilihan, valid jikapengambilansampeldilakukansecaraacak. Cara estimasi : EstimasiTitik Parameter populasidiestimasidengankarakteristiksampel (Statistik) Mean populasi =  = Variansipopulasi = 2 = s2 standardeviasi =  = s

2. 2. Estimasi Interval Nilai parameter populasidiestimasipadakisarantertentu. Misal X1,X2,X3,…Xnadalahsampelacakdarisuatupopulasidengan adalah parameter populasimakaestimasi interval untuk  adalah : P(B≤  ≤A)=1- Disebutdengan Interval konfidensi/kepercayaanuntuk  dari B sampai A yang dihitungpadaprobabilitas 1-. Bila parameter yang diestimasiadalah H dandistribusipopulasi yang digunakan  (misaldistribusi Z, t-student, chi-kuadrat, atau F), galat (error)=  danstatistikdari data sampeladalah k, makakisaran parameter H padasuatu interval kepercayaan (1-) dapatdiestimasidenganpersamaanprobabilitas: P(h-  ≤ H ≤ h  )= 1- …….(1) Dengan : h-  = titik minimum (limit kepercayaanbawah) h   = titikmaksimum (limit kepercayaanatas) 1- = koefisienkepercayaan (1-) 100% = interval kepercayaan  = tingkatkesalahan yang masihditolerirataupersentasenilai yang tidakdapatdiestimasi.

3. Parameter yang umumdiestimasi: Ukuranpemusatan : mean=, Selisih mean = 1 - 2 =  Estimasi mean danselisih mean dapatdilakukandengan : Distribusi Z : Jikasampel yang diamatiberasaldaripopulasi yang variansinya (2) danstandardeviasinya () diketahui. Jikasampel yang berasaldaripopulasi yang variansinya (2) danstandardeviasinya () tidakdiketahuiukuransampelbesar (n30). Distribusi t-student (Distribusi t) Jikasampelberasaldaripopulasi yang tidakdiketahuivariansinya (2) danstandardeviasinya () ukuransampelkecil (n30). 2. Ukuranpenyebaran : Variansi = 2, Rasiovariansiduapopulasi = F Estimasinilaivariansidilakukandengandistribusi chi-kuadrat (X2), sedangkanestimasinilai ratio variansiduapopulasidengandistribusi Fisher (F).

4. A. Estimasi Mean Populasi Estimasi mean populasisampelbesardengandistribusi Z Misal x1,x2,x3….xnadalahsampelacakdarisuatupopulasidengan mean  tidakdiketahuidanvariasi 2, dan = mean sampelmaka : Mean ( )= Var (( )=2/n Menurutteorama limit pusatjika n besarvariabel random mendekatidistribusi normal Makarumus 1 akanberubahmenjadi : Jikanilai Z digantimenjadi : Biasanya 2 tidakdiketahui, tetapikarena n besarmaka 2 dapatdiasumsikansamadengan s2.

5. Sehingga: Contoh : Suatusampelprodukikandalamkalengsebanyak 400 buahmempunyai rata-rata umursimpan 23,4 bulandanstandardeviasi s=6,2 bulan. Berapakahkisaranumursimpanprodukikandalamkalengtersebutpada interval kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui : n besarmakadigunakandistribusi Z dengan=s =23,4 bulandan s=6,2 1-=95%=0,95  = 0,05 /2 = 0,025 Z0,025 = 1,96. Maka: Kesimpulan: padatingkatkepercayaan 95% makaumursimpasprodukikandalamkalengadalahantara 22,79 – 24,01 bulan.

6. 2. Estimasi mean populasi dengan sampel kecil. Digunakan untuk data sampel dengan variansinya (2) dan standar deviasinya () tidak diketahui dan ukuran sampel kecil (n<30). Jika adalah transformasi t dari sampel x1X1,X2,X3,…Xn. Jika sampel diambil dari populasi berdistribusi t dengan derajat bebas (n-1) ditulis t(n-1). Distribusi ini tidak tergantung pada µ dan  populasi. Grafik distribusi t lebih memencar dibanding distribusi Z jika n semakin besar semakin mendekati distribusi Z. P(-tα/2(v) ≤T ≤ t α/2(v))=1-α Jika nilai t diganti menjadi :

7. B. Estimasi interval proporsi p suatu populasi Jika X adalah variabel random binomial (n;p) maka variabel random X/n mempunyai mean = p dan variasi untuk n besar harga Mendekati distribusi normal. Pada interval konfidensi 1-α untuk p adalah: Untuk estimasi proporsi jumlah sampel harus besar. C. Estimasi Variansi populasi normal Transformasi S2 dihitung dari suatu sampel random x1X1,X2,X3,…Xn yang diambil dari populasi berdistribusi normal dengan variansi 2 berdistribusi X2 dengan derajat bebas = n-1.

8. Tabel V : harga X2(k;α) sehingga P(X2 >X2(k;α) =α Untuk 0<α<1 maka : Untuk estimasi standar deviasi  digunakan :

9. Contoh : Ingin diteliti interval variansi (2) dan standar deviasinya () dari panjang buncis yang akan dikalengkan. Sampel acak sebanyak 20 buah dan diperoleh S2=0,01 inch dan S = 0,1 inch. Hitunglah interval variansi (2) dan standar deviasinya () yang sebenarnya dari buncis tersebut pada tingkat kepercayaan 95%. Jawab : Diketahui n=20 1-α=95% s2=0,01 α=5% s=0,1 α/2=0,025 Dari tabel V diperoleh : X2(19;0,025)=32,85 dan X2(19;0,975) =8,91 maka : P(0,0058≤2≤0,0213)=95% Atau P(0,076≤≤0,146)=95% Kesimpulan : Pada tingkat kepercayaan 95% variansi panjang buncis adalah 0,0058 sampai dengan 0,0213 inch sedangkan standar deviasinya berkisar antara 0,076 sampai 0,146 inch.

10. B. Estimasi parameter dua populasi normal B.1. Estimasi selisih mean dua populasi normal Membandingkan nilai mean dua populasi. • Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasi kedua populasi diketahui. • Sampel besar : . Jika variansi dan standar deviasi kedua populasi tidak diketahui, tetapi n besar (n30) sehingga  didekati dengan s

11. c. Sampel besar : Jika variansi dan standar deviasi tidak diketahui dan diasumsikan sama sehingga dihitung variansi gabungan = Sp2

12. Contoh : Seorang peneliti ingin membandingkan daya simpan dodol durian yang dibuat menggunakan cara lama dan cara baru. Hasil penelitian dengan diperoleh data : Lakukan estimasi selisih mean umur simpan dodol pada interval kepercayaan 95%. Apakah dapat disimpulkan bahwa produk yang dibuat dengan cara baru meningkatkan daya simpan dodol ?

13. B.2. Estimasi selisih mean dua populasi norma untuk sampel kecil. Distribusi t student dengan k = n1 + n2 - 2 • Jika variansi kedua populasi sama • Jika variansi kedua populasi tidak sama

14. Dengan derajat bebas didekati dengan perhitungan, jika k tidak bulat dibulatkan ke atas.

15. Contoh : Ketebalan hasil cetakan nugget dua buah mesin pencetak akan diteliti. Dari pengambilan sampel secara random dari kedua mesin tersebut diperoleh data : Lakukan estimasi selisih mean ketebalan nugget pada interval kepercayaan 95%. Apakah dapat disimpul- kan bahwa produk yang dibuat dengan mesin yang berbeda mempunyai ketebalan yang sama ?

16. C. Estimasi Selisih proposi dua populasi normal Distribusi Z Contoh : Hasil survei menunjukkan bahwa pada tahun 2002 di Kecamatan Sedayu dari 400 KK terdapat 164 petani sedangkan hasil survei saat ini diketahui dari 200 KK yang hanya 128 KK yang bekerja sebagai petani. Lakukan estimasi selisih proporsi KK yang pekerjaannya sebagai petani dari tahun 2002 dan pada saat ini pada tingkat kepercayaan 90%. Apakah dapat disimpulkan bahwa proporsi KK petani mulai menurun?

17. D. Estimasi Ratio variansi dua populasi normal Distribusi F  Uji Homogenitas • Variansi • Standar Deviasi

18. Contoh : Sebuah perusahaan ingin membeli alat pengukur kelembaban udara. Sebuah suplier menawarkan dua merk yang berbeda, untuk menentukan pilihan dilakukan percobaan pengukuran kelembaban udara disuatu ruang yang sama dan diperoleh data sebagai berikut : Lakukan estimasi ratio variansi kedua Alat tersebut pada tingkat kepercayaan 90%. Mana yang dipilih ?

19. Diketahui bahwa konsumsi ikan dapat mencegah penyakit jantung koroner. Berdasarkan hasil penelitian diketahui kadar kolesterol darah dari kelompok konsumen yang mengkonsumsi ikan setiap hari (A) dan dari konsumen yang tidak mengkonsumsi ikan setiap hari (B). Data : Lakukan estimasi selisish kadar kolesterol kedua kelompok konsumen tersebut pada tingkat kepercayaan 99%. Apakah dapat disimpulkan bahwa konsumsi ikan dapat menghambat peningkatan kadar kolesterol darah ?