Matematyka i system dwójkowy

1. Matematyka i system dwójkowy

2. Informacje • Najprostszym układem pozycyjnym jest dwójkowy układ numeracji zwany też systemem binarnym. Podstawę jego stanowi liczba 2, wszystkie więc liczby można pisać dwiema tylko cyframi: 0 i 1, a więc dowolna liczba dwójkowa zawiera same zera i jedynki. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa.

3. Dodawanie i mnożenie liczb biarnych • Zapis liczby całkowitej w systemie dwójkowym ma postać:ai-1ai-2 ... a2 a1 a0   =   ai-1 · 2i-1 + ai-2 · 2i-2 + ... + a2 · 22 + a1 · 21 + a0 · 20 • Konwersja liczby dwójkowej na zapis w systemie o innej podstawie. Liczba dwójkowa:     Podstawa:      • Dodawanie liczb binarnych • Do wykonywania dodawania niezbędna jest znajomość tabliczki dodawania, czyli wyników sumowania każdej cyfry z każdą inną. W systemie dwójkowym mamy tylko dwie cyfry 0 i 1, zatem tabliczka dodawania jest prosta i składa się tylko z czterech pozycji: • 0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 10 • Dodając dwie liczby binarne podpisujemy je jadna pod drugą tak, aby w kolejnych kolumnach znalazły się cyfry stojące na pozycjach o tych samych wagach. Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym, gdzie dodawanie rozpoczynamy od ostatniej kolumny. Sumujemy cyfry w kolumnie zgodnie z podaną wyżej tabelką zapisując wynik pod kreską. Jeśli w słupku musimy dodać dwie jedynki, to jest to sytuacja analogiczna do tej, jaka występuje w systemie dziesiętnym, gdy musimy dodać dwie piątki. A więc 1 i 1 to 0 i 1 w pamięci. Pod kreską zapisujemy tylko ostatnią cyfrę 0, a 1 przechodzi do następnej kolumny, gdzie dodajemy ją do wyniku sumowania cyfr w tej kolumnie. Jeśli w krótszej liczbie zabrakło cyfr, to dopisujemy zera. • 1 1 110100 + 10101 1001001 • Mnożenie liczb binarnych • Mnożenie liczb w układzie dwójkowym jest szczególnie proste, gdyż cała tabliczka mnożenia przedstawia się następująco:0 ∙ 0 = 00 ∙ 1 = 01 ∙ 0 = 01 ∙ 1 = 1 • Odejmowanie można zastąpić dodawaniem, jeżeli utworzy się dopełnienie odejmowanej liczby. Dzielenie w układzie dwójkowym to wielokrotne odejmowanie.

4. System binarny • Już nasi praprzodkowie musieli zwrócić uwagę na liczbę dwa: mamy dwie ręce, dwie nogi, dwoje oczu - to mogło być podstawą systemu dwójkowego zwanym też binarnym. Postęp binarny (kolejne potęgi liczby dwa: 1, 2, 4, 8, 16, ...) znany był w Egipcie, a Egipcjanie wiedzieli, że dwa znaki wystarczą do zapisu dowolnej liczby. • Elementami zbioru znaków systemu binarnego jest para cyfr: 0 i 1. Znak dwójkowy (0 lub 1) nazywany jest bitem. Liczby naturalne w systemie dwójkowym zapisujemy analogicznie jak w systemie dziesiętnym - jedynie zamiast kolejnych potęg liczby dziesięć, stosujemy kolejne potęgi liczby dwa. Na n bitach można zapisać w naturalnym kodzie binarnym liczby z przedziału: (0, 2n - 1).

5. Zmiany systemu • Zamianę z systemu dwójkowego na inny można wykonać poprzez zapisanie liczby jako sumy potęg liczby 2 pomnożonych przez wartość cyfry w systemie, na który przekształcamy. Przykładowo przy zamianie liczby na system dziesiętny: • Cyfra 1 podobnie jak w systemie dziesiętnym ma wartość zależną od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. • Ponieważ   oraz   aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie. • Zamiana liczby w systemie dziesiętnym na liczbę w systemie dwójkowym może przebiegać według wyżej opisanej zasady, czyli: • Rozbicie na sumę potęg liczby 2 na przykład • Bądź też przez wyznaczanie reszt w wyniku kolejnych dzieleń liczby przez 2: • 30 ÷ 2 = 15 reszty 0 - 0 to cyfra jedności, • 15 ÷ 2 = 7 reszty 1 - 1 to cyfra drugiego rzędu, • 7 ÷ 2 = 3 reszty 1 • 3 ÷ 2 = 1 reszty 1 • 1 ÷ 2 = 0 reszty 1 • Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca cyfry reszt. Tak więc  .

6. Przykłady 1. • Obliczyć wartość liczby dwójkowej 11100101(2). • 11100101(2) = 1 × 27 + 1 × 26 + 1 × 25 + 0 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 2011100101(2) = 1 × 128 + 1 × 64 + 1 × 32 + 0 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 0 × 2 + 1 × 111100101(2) = 128 + 64 + 32 + 4 + 111100101(2) = 229(10)

7. Przykłady 2.

8. Zakres liczby dwójkowej • Określmy, jaką największą liczbę dwójkową możemy zapisać za pomocą n bitów (czyli cyfr binarnych). Największa liczba musi posiadać same cyfry 1, czyli w wartości liczby muszą uczestniczyć wszystkie wagi pozycji. Zatem: • dla 1b mamy 1(2) = 1(10)dla 2b mamy 11(2) = 2 + 1 = 3(10)dla 3b mamy111(2) = 4 + 2 + 1 = 7(10)dla 4b mamy1111(2) = 8 + 4 + 2 + 1 = 15(10)...    • Otrzymujemy kolejne liczby: • dla 1b mamy dla 2b mamydla 3b mamydla 4b mamy...13715 • Liczby te tworzą prosty ciąg potęgowy: • dla 1b mamy 1 = 21 - 1dla 2b mamy3 = 22 - 1dla 3b mamy7 = 23 - 1dla 4b mamy15 = 24 - 1...  

9. Dziękuję za uwagę!  Michał Filipek kl. Va