福建师范大学数学与计算机科学学院陈清华 Email ： cqhmath@fjnu 网址： math.fjnu

福建师范大学数学与计算机科学学院 陈清华 Email：cqhmath@fjnu.edu.cn 网址：http://math.fjnu.edu.cn

一、矩阵代数（从代数的角度看变换） 1、定义 2、低阶矩阵 3、零矩阵、单位矩阵与纯量矩阵（数量阵）

一、矩阵代数（从代数的角度看变换） 4、矩阵运算（1）加法（减法）（2）乘法（除法？未必都有意义？何时有意义？类似整数除法）注：矩阵乘法的几何意义：变换的合成！（3）数乘“。”（这不同于数与行列式的乘法）（4）转置（共轭转置）

一、矩阵代数（从代数的角度看变换） 5、数域F的n*n阶矩阵（即n阶方阵，关于以上定义的加法、乘法、数乘构成数域F上的一个n2维非交换，有零因子的代数，即运算律！） 6、可逆矩阵与矩阵求逆（1）定义：（2）可逆阵的判定: （3）基本性质

一、矩阵代数（从代数的角度看变换） （4）可逆阵求逆法（i）初等变换法（ii）公式法（iii）根据变换的几何意义求逆矩阵（iv）特别地n=2时 7、矩阵的特征值、特征向量与特征多项式

二、线性变换（从几何角度看变换） 1、向量空间（线性空间）定义回顾 2、低维向量空间 3、基与维数 4、线性变换的定义 5、线性变换与矩阵的一一对应关系

二、线性变换（从几何角度看变换） 6、可逆线性变换的性质（1）将直线变成直线（2）将线段变成线段（3）将平行四边形变成平行四边形

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵 1、旋转变换设平面上建立了直角坐标系，所有的点绕原点沿着逆时间方向旋转同一个角度α，则这个变换是线性变换，求这个线性变换及对应的矩阵 2、关于原点的中心对称变换是特殊的旋转变换 3、恒等变换是特殊的旋转变换

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵 4、反射变换证明关于直线Ax+By=0的反射变换是线性变换，试求出该变换对应的矩阵，它是可逆矩阵吗？

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵 例：平面上建立了直角坐标系，直线l1,l2绕原点O，倾斜角分别是α，β，设A,B分别是表示直线l1,l2的反射变换，求（1） A,B复合变换BA的矩阵（2） BA的复合AB的矩阵（3）根据矩阵说明BA,AB是什么变换？这两个变换是否相同。

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵 5、位似变换 6、伸压变换 7、投影变换注：平面上的变换T有逆变换，必须满足两个条件：（1）平面上不同的点被T变到不同的点（2） T将平面变到整个平面。（由此可知：投影变换不是可逆变换？平面变到一条直线）

三、初等数学中常见的线性变换及对应的矩阵 8、根据变换的几何意义求矩阵的逆思考：保持长度不变（内积不变，距离不变）的线性变换是什么变换？

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用 1、定理 2、推论 3、定理　例1：求下面图形的面积（1）平行四边形OABC，其中A(1,1),B(-2,1) （2）三角形OAB，其中A(1,1),B(-2,1) （3）平面四边形ABCD，其中A(1,1),B(2,0),C(3,2)

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用（4）已知矩形OBCD的顶点A(t,0),B(0,k)，矩阵 T＝代表的变换个将矩形OABC变到图形OA’B’C’ ，求变换后的图形OA’B’C’与变换前的图形OABC的面积比。　　　　

四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用四、矩阵（变换）思想在有关面积求解中的应用 4、定理：线性变量将平面上所有的图形的面积放大同一个倍数，这个倍数就是变换行列式的绝对值。例2、求椭圆x2/a2+ y2/b2 =1（其中a>b>0）的内接菱形的面积的最大值，以及何时取得最大值。例3、利用伸缩变换将某个圆变成椭圆x2/a2+ y2/b2 =1 ，利用圆面积公式得出椭圆面积公式

谢谢！

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