قابلیت اطمینان در سیستم های مهندسی

1. قابلیت اطمینان در سیستم های مهندسی

2. فصل دوم (مفاهیم و مباحث احتمالات) اگر در یک فرآیند S مرتبه فرآیند درست اتفاق بیافتد و F مرتبه فرآیند موفق نباشد احتمال آن که در یک آزمایش این فرآیند موفقیت آمیز باشد و یا نباشد مطابق با فرمول زیر است: S: تعداد موفق بودن فرآیند F: تعداد موفق نبودن فرآیند • مثال: برای یک سکه احتمال شیر آمدن و یا خط آمدن چیست؟ 2= کل حالاتیک حالت شیر یک حالت خط احتمال شیر آمدن p=1/2 احتمال خط آمدنq=1/2

3. تمرین : مطلوب است احتمال اینکه عدد پرتاب یک تاس عدد فرد باشد؟ • تمرین : مطلوب است احتمال اینکه مجموع پرتاب دو تاس برابر 9 باشد ؟ معرفی ترتیب و ترکیب در احتمالات : ترتیب : permutation ترکیب : combination 1- ترتیب (permutation) به مسائلی مسئله ی ترتیب در احتمالات گفته می شود که بخواهیم از تعداد n عضو r عضو مختلف را کنار هم قرار دهیم. • نکته : شرایط ترتیب : • 1- کلیه ی عضوها با یکدیگر متفاوت باشند. • 2- عضوها تکراری نباشد. • 3- هیچ گونه محدودیتی در آرایش دهی وجود نداشته باشد. • جایگاه های انتخابی (ترتیب انتخاب) برای ما مهم نباشد.

4. مثال : اگر بخواهیم 4 عدد تک رقمی را در 4 مکان قرار دهیم تعداد کل حالات چگونه است؟ (بدون تکرار) همین مثال را به ازای 2 مکان در نظر بگیریم ؟ • مثال: مطلوب است آرایش و تعداد ترکیبات 3 کتاب از 7 کتاب را بیان کنید؟

5. مثال : مطلوب است چند عدد سه رقمی را می توان با ارقام 0 تا 19 ایجاد کرد ؟ • الف : در حالتی که هیچ یک از ارقام تکرار باشند؟ • ب : هر یک از ارقام قابل تکرار باشند؟ حل الف : در حالت الف محدودیت در ارقام داریم پس از حالت ترتیب نمی توانیم برویم

6. 2- ترکیب (combination) منظور از ترکیب انتخاب r عضو از n عضو کل می باشد با این تفاوت نسبت به ترتیب انتخاب ها مهم نباشد. همه ی اینها 1 حالت است در ترکیب عدد 1 و 2 و 3 در ترکیب 6 حالت وجود دارد چون ترکیب انتخاب مهم است.

7. مثال : مطلوب است انتخاب 3 کتاب از 7 کتاب مستقل از آرایش کتاب ها؟ • مثال : مطلوب است انتخاب یک هیئت 6 نفره از بین 6 مرد و 6 زن به نحوه ی که حداقل تعداد زنان در این هیئت سه نفره باشد؟ • مثال : مطلوب است تعداد حالاتی که در مثال قبل حداقل یکی از اعضای هیئت مرد باشد؟

8. دیاگرام ون : یک مفهوم و شکل شهودی جهت آشنایی با مفاهیم احتمال الف : احتمال A و B هیچ اشتراکی ندارد مستقل از هم هستند.

9. ب : حالتی که A و B اشتراک داشته باشند. کل حالات ( S فضای احتمال کل) B A

10. ج : حادثه ی A زیرمجموعه حادثهB B A قواعد تلفیق احتمالات: قاعده 1 حوادث مستقل (Independent events): حادثه ای را مستقل از هم گویند که احتمال وقوع یکی در دیگری هیچ تاثیری نداشته باشد (دو حادثه که به طور همزمان اتفاق نمی افتد و هیچ وجه مشترکی ندارد.) مثل پرتاب یک سکه و یک تاس

11. قاعده 2 حوادث ناسازگار (MutultyExclusiv Event) : حادثه ای دو به دو ناسازگار گویند که به طور همزمان اتفاق نمی افتد و هیچ وجه مشترکی ندارد. تنها تعداد حالات مثل بالایی است ولی فضای احتمالی آنها مثل هم است. قاعده 3 حوادث مکمل (Compelementary Event): این حوادث را به این علت مکمل یکدیگر گویند چون اگر یکی اتفاق نیافتد 10% دیگری اتفاق می افتد. فضای حالت A B دو فضای مکمل از نظر احتمالی ناسازگارند.

12. قاعده4 احتمال شرطی (حادثه ی شرطی)(Conditional Events): B A P(B) اتفاق افتاده باشد با چه احتمالی A اتفاق می افتد. A اتفاق افتاده باشد با چه احتمالی B اتفاق می افتد. Aظرف B ظرف • مثال : P(سفید│A)=1/3 P(سفید│B)=2/3 P(سفید)=3/6=1/2

13. قاعده 5 : (AND منطقی) وقوع همزمان حوادث (Simultaneous Events): B A نکته 1 : اگر دو حادثه مستقل از هم باشند حال برای n حالت اگر مستقل باشند (طبق استقرا)

14. نکته 2: حوادث وابسته • مثال: یک مجموعه ای از کارتها که ر چهار رنگ مختلف قرار دارد مطلوب است اگر تعداد کل کارتها 48 کارت باشد و بر روی 2 عدد از کارتها در هر رنگ ضربدر قرار داده شده باشد مطلوب است اگر حادثه A خروج کارت قرمز و حادثه B وجود ضربدر روی آن باشد احتمال وقوع همزمان A و B را محاسبه کنید؟

15. مثال: اگر در مثال بالا کارت قرمز در نیامده باشد با چه احتمالی ممکن است کارت درآمده سبز باشد؟ قاعده 6 (OR منطقی) : احتمال وقوع حوادثی که حداقل یکی از دو حادثه اتفاق بیافتد. B A الف : در حوادث مستقل ولی ناسازگار نیستند )

16. ب : دو حادثه ی دو به دو ناسازگار B A به طور تعمیم یافته برای n حادثه دو به دو ناسازگار ج : دو حادثه ی غیر مستقل

17. مثال : احتمال اینکه قطعه ی A و B سالم باشد چقدر است اگر احتمال سالم بودن قطعه ی A، 9/0 و احتمال سالم بودن قطعی B، 95/0 باشد. P(A)=0.9 احتمال سالم بودن P(B)=0.95 الف : احتمال اینکه A و B سالم باشند؟ مستقل و سازگار ب : احتمال اینکه حداقل یکی از قطعات سالم نباشد؟ ج : احتمال اینکه یکی از قطعات ناسالم باشد ؟

18. مثال: احتمال جمع دو عدد در هر بار ریختن دو تاس به طوری که جمع آنها برابر با 9 شود؟

19. مثال : در مسئله ی قبلی که 48 عدد کارت وجود داشت احتمال خروج کارت قرمز یا سبز و یا هر دو در یک انتخاب چقدر است؟ مستقل نیستند و سازگارند چون اشتراک دارند. A : قرمز بودن کارت B : سبز بودن کارت راه دوم:

20. کاربرد احتمال شرطی : نحوه ی بدست آوردن احتمال وقوع یک حادثه وقتی که یک حادثه به وقوع حوادثی ارتباط دارد از این حوادث دو به دو با هم ناسازگارند( هیچ اشتراکی ندارند)

21. مثال: اگر میزان محصول یعنی در بازار ناشی از تولیدات دو کارخانه باشد به نحوی که 70% این محصول از کارخانه 1 و 30% آن از کارخانه 2 باشد و میزان درصد سالم بودن محصولات کارخانه 1 ، 90% و میزان سالم بودن محصولات کارخانه 2، 80% باشد مطلوب است : • الف : میزان سالم بودن محصولات داخل بازار با چه احتمالی است ؟ • ب : احتمال اینکه محصول سالم محصول کارخانه 2 باشد ؟ فضای کل حالت = محصولات بازار 70% کارخانه 1 30% کارخانه 2

22. A:سالم بودن باشد B1:محصول کارخانه 1 B2: محصول کارخانه 2 الف : ب :

23. مثال: اگر در یک پست ترانسفورماتور قرار داشته باشد که این ترانسفورماتور در 30% مواقع به عنوان Backup (موازی یا پارالل) و 70% مواقع به عنوان ترانس اصلی استفاده شود اگر در موتقعی که به عنوان Backup استفاده می شود با احتمال 20% خطا برای آن رخ دهد و در مواقعی که در حالت استفاده است با احتمال 30% برای آن خطا رخ دهد مطلوب است محاسبه ی آن که این ترانسفورماتور با چه احتمالی امکان خطا برایش فراهم می شود؟ P(f) =? F: رخ داد خطا A1: در مدار بودن B: بودن Backup بصورت 20% 30% 30% 70%

24. توزیع های احتمال: برای تحلیل بهتر و آنالیز داده های آماری به منظور محاسبات احتمالی و محاسبه ی قابلیت اعتماد در سیستم های مهندسی باید این آمار توسط توابع احتمالی و توزیع احتمال بیان شود. • مثال: تعداد پروفیل های انتخابی به عنوان نمونه در یک کارخانه ی نورد که میله های آن به طور 6 متر ، 6متر برش می خورند به تعداد 20 عدد نمونه انتخاب شده است و طول آن ها اندازه گیری شده است نتایج به صورت زیر می باشد. 2×5.97/3×5.98/5×5.99/5×6/2×6.01/3×6.02

25. تابع توزیع فرآوانی به صورت زیر است جمع حالات تابع احتمالی همیشه 1 می شود

26. گروه بندی اطلاعات: (5.965 - 5.985)→ 5تا → گروه 1 (5.985 – 6.005) → 10تا → گروه 2 (6.005 – 6.025)→ 5تا → گروه 3

27. نمودار احتمال تجمعی (Commulative Probability): تابع احتمال تجمعی تابع احتمالی است که برای بدست آوردن آن باید متغیرها از کم به زیاد مرتب شوند و پس برای بدست آوردن مقدار تابع احتمال تجمعی باید مقادیر احتمال تمام حالت هایی که مقدار آن حالت از مقدار مورد نظر کمتر می باشد را با هم جمع کنیم این نمودار نموداری است که بیان می کند با چه احتمالی امکان رخ دادن یک حادثه کمتر از مقدار مورد نظر می تواند باشد. • مثال : تابع احتمال تجمعی = Fنمایش می هد

28. تابع چگالی احتمال و احتمال تجمعی در توابع پیوسته : تابع چگالی احتمال در توابع پیوسته به ماهیت آن رویداد می تواند شکل های مختلفی داشته باشد که غالبا به شکل زیر تابع چگالی احتمال آن کشیده می شود.

29. مساحت زیر نمودار هرچه جلوتر می رویم زیادتر می شود برای همین F(x) زیاد می شود ولی هرچه جلوتر می رویم شیب کم می شود.

30. نکته : برای توابع پیوسته برای اینکه بخواهیم محاسبه کنیم که باید احتمالی یک متغیر بین عدد a تا b قرار دارد می توان از فرمول زیر استفاده کنیم. • نکته : نحوه ی نشان دادن متغیرهای پیوسته و گسسته و توابع توزیع احتمال آنها 1- توابع دو جمله ای (توزیع دو جمله ای) گسسته 2- توزیع پواسون

31. امید ریاضی : اصطلاحا مقدار میانگین و یا میانگین جامعه نامیده می شوند. امید ریاضی در توابع گسسته یا ناپیوسته

32. محاسبه ی امید ریاضی در توابع پیوسته • مثال: در تکرار انداختن تاس به دفعات زیاد مقدار انتظاری نتایج چه عددی است ؟ • مثال : احتمال اینکه یک مرد 30 ساله برای طول مدت مشخصی زنده بماند می شود 0.995 در صورتیکه یک شرکت بیمه پرداخت بیمه ی عمری معادل 2000 دلار به ازای پرداخت 20 دلار پیشنهاد نماید این شرکت سود می برد یا ضرر و انتظار سود و یا ضرر این شرکت به اندازه ی یک قرارداد چقدر است؟

33. واریانس (Varianse) و انحراف استاندارد : فرمول کلی گسسته پیوسته انحراف استاندارد : • مثال: در مثال قبل مطلوب است واریانس و انحراف استاندارد حوادث را بدست آورید؟

34. فصل سوم توزیع دو جمله ای و کاربرد در مباحث احتمال : توزیع دو جمله ای به طور مستقیم با ترکیب های حالات مختلف یک فرآیند احتمالاتی ارتباط دارد. P(T)+P(H)=1 حالتی که سکه 1 بار پرتاب شود مشاهده می شود که توزیع دو جمله ای به خوبی نشان دهنده ی کلیه ی حالاتی است که در تکرار یک فرآیند که دو وضعیت دارد می باشد.

35. اگر P احتمال سالم بودن (موفقیت) و q احتمال خرابی (عدم موفقیت) باشد می توان تابع دو جمله ای را به طور کلی به صورت زیر بیان کرد. روش برای تعداد جملات محدود (مثلث پاسکال) توان 1 1 2 توان 1 1 1 3 توان 1 1 3 1 6 توان 1 4 1 1 4

36. شرایط استفاده از توزیع دو جمله ای : 1- تعداد تکرارها باید مشخص شده باشد. 2- در هر آزمایش فقط نتیجه ی حاصل باید مانند موفقیت و یا شکست باشد. (صفر و یک) 3- احتمال موفقیت یا شکست باید ثابت باقی بماند. 4- کلیه ی آزمایش ها مستقل باشد و نتایج آ نها بر دیگری تاثیر نداشته باشد. • مثال :مطلوب است در 5 بار پرتاب یک سکه ترسیم تابع چگالی احتمال و توزیع احتمال هریک از حالت ها را بیان کنید .

38. P(x) 10/32 5/32 1/32 تعداد بار پرتاب 1 2 3 4 5

39. P() 32/32=1 31/32 26/32 16/32 6/32 1/32 تعداد بار پرتاب 1 2 3 4 5

40. مثال: اگر احتمال موفقیت p(sue) برابر ¼ باشد و این آزمایش 4 بار تکرار شود مطلوب است. • الف: احتمال وقوع هریک از حالات و نمودار تجمعی آن را بکشید. q=3/4 P=1/4

41. f(x) x 0 1 2 3 4

42. F(x) 1 0.993 0.947 0.737 0.316 1 2 3 4 5 اشکال بر حسب درستی ها کشیده شده می توان بر حسب qها هم هر دو را کشید.

43. مقدار انتظاری و انحراف استاندار در دو جمله ای ها : از آنجایی که در پارامترهای توزیع مقدار انتظاری (میانگین) و انحراف استاندارد بهترین پارامترهای توزیع هستند لذا در این بخش به دنبال آن هستیم که مقدار امید ریاضی (E(x)) و انحراف استاندارد و((x)V) را برای دو جمله ای ها بدست آوریم. y=x-1 n-1=m

44. ⇒ واریانس :

45. مثال: مطلوب است محاسبه ی تعیین مقدار انتظاری و انحراف استاندارد ر تعداد محصولات معیوب در یک نمونه برداری 4 تایی مشروط بر آنکه احتمال سلامت محصول 90% باشد E(x)=n×q=4×0.1=0.4 انتظار معیوب بودن چون امید ریاضی معیوب بودن را می خواهد به جای p،q گذاشتیم. =0.36

46. مثال: اگر در یک کارخانه یک درصد از محصولات معیوب باشد و مصرف کننده ای 50 عدد از این محصولات را خریداری کرده باشد احتمال این که تعداد محصولات معیوب حداکثر 2تا باشد؟ • مثال: 4 المان با احتمال سالم بودن 90% و رابی 10% مورد استفاده قرار می گیرد احتمال حالت های مختلف خرابی را بدست آورید و احتمال تجمعی خرابی را محاسبه کنید. بررسی وجود المان های آزاد : (effect of redundancy) P=0.9 اگر المان مورد استفاده یکی باشد. R=0.9 Q=1-R=0.1

47. دو المان : P=0.9 یا P=0.9 می بینیم هرچه المان های موازی افزایش پیدا می کند قابلیت اطمینان افزایش پیدا می کند. نکته : R Q

48. سه المان : یا نکته : R Q

49. تمرین : اگر برای عملکرد این سیستم به حداقل عملکرد دوتا از این المان ها نیاز باشد قابلیت اطمینان (R) این سیستم را پیدا کنید. نکته : حالت کاهش یافته می شود در المان های موازی ( به خصوص در مواقعی که المان ها کاملا شبیه به هم می باشند) به ازای مجموع آن ها یک المان جدید گذاشت با قابلیت احتمال (قابلیت اعتماد)کل سیستم P ≡ P

50. مثال: اگر دو ترانس موازی در پست وجود داشته باشد به این نحو احتمال سالم بودن یکی 0/9 و احتمال سالم بودن دیگری 0/8 باشد و این ترانس ها به صورت موازی باشند احتمال تامین بار توسط این ترانس ها چه مقدار است؟ P’=0.8 R=p × p’+ q p ’+ q p’ =0.9=1-Q Q=q q’= 0.2×0.1 P=0.9 حال چون دو جمله شبیه به هم نیستند دیگر به توان 2 نمی رسد و ضرب دو جمله ای می شود. ( p + q )( p ’+ q ’)=p p’ +p q’ +p’ q + q q’