Download
1 / 50
630 likes | 1.16k Views
به نام خدا. مشتق گيري عددي. دلايل استفاده از مشتق گيري عددي : – تابع مشخص نباشد. – تابع بسيار پيچيده باشد. تعریف: یک روش مشتق گیري را داراي دقت مرتبه p ام می نامیم هرگاه : بطوریکه c یک ثابت مستقل از h است. مشتق گيري عددي با استفاده از تعريف مشتق:. – طبق تعريف رياضي مشتق داريم:
E N D
به نام خدا مشتق گيري عددي دلايل استفاده از مشتق گيري عددي : – تابع مشخص نباشد. – تابع بسيار پيچيده باشد.
تعریف: یک روش مشتق گیري را داراي دقت مرتبهp ام می نامیم هرگاه : بطوریکهc یک ثابت مستقل از hاست.
مشتق گيري عددي با استفاده از تعريف مشتق: – طبق تعريف رياضي مشتق داريم: – بنابراين يك تقريب مشتق مي تواند به صورت زير باشد: این رابطه براي تابع خطی f(x)=ax+b به ازاي هرمقدار مخالف صفرh دقیق است . یعنی مقدار واقعی را نتیجه میدهد .ا
با استفاده از بسط تیلور خواهیم داشت: اگر این بسط را در نقاطه x+hوx-hرا بنویسیم ،داریم: دستورهاي مشتق گيري با استفاده از بسط تيلور: بنابراین با تفریق دو رابطه فوق
این نتیجه بهتري است زیرا جمله خطا شاملh2است. بطور مشابه برای مشتق مرتبه دوم نیز داریم: بطور کلی روشهاي مشتق گیري عددي را می توان به سه طریق زیر بدست آورد: 1-روشهایی که مبتنی بر درونیابی هستند . 2- روشهایی که مبتنی بر عملگرهاي تفاضلات متناهی هستند . 3-روشهایی که مبتنی بر تعیین ضرائب نامعین هستند .
1- روشهاي مبتنی بر درونیابی فرض کنیم{x0 ,x1,...,xn} ، n+1نقطه متمایزباشد کهمقادیر تابعf درآن نقاط داده شده باشد فرض می کنیم چندجمله اي درونیاب p (x) باشد ازآن مشتق می گیریم و آن را به عنوان تقریبی برای fدر نظر میگیریم. نقاط گره اي نامتساوي الفاصله : با استفاده از روش لاگرانژ چندجمله اي درونیاب زیر را خواهیم داشت: کهl (x) ها چندجمله ایهاي اساسی لاگرانژ هستند، که عبارتند از :
وخطاي تقریب در هرنقطه عبارتست از: بنابرینبا مشتق گیري از روابط فوق داریم: جمله خطاي تقریب مراتب بالاتررا می توان مشابه فوق یافت .
برای درک بهترمفاهیم فوق، فرمول خطی لاگرانژرا برای n=1,2بکار می بریم: خطاي این رابطه عبارتست از :
هم چنین مشابه فوق از فرمول درجه دوم لاگرانژ می توان استفاده کرد، نظیر :
با استفاده از روابط فوق داریم : مشتق مرتبه دوم چندجمله چنین خواهد بود:
خطاي آن را می توان بصورت زیر محاسبه نمود: نقاط گره اي متساوي الفاصله: چنانچه {x0 ,x1 ,...,xn }متساوی الفاصله باشند داریم: با استفاده از فرمول خطی درونیاب داریم :
با خطاي این جمله خطا با خطا در بسط تیلور در حالت اول برابر است. چنانچه مجدداً از فرمول درونیابی درجه دوم استفاده شود داریم :
با استفاده از بسط سري تیلور خطای آن برابر است با: مشتق مرتبه دوم f بصورت زیر خواهد بود: با خطای
مثال:مقادیر تابع ( f(x)=Ln (xبصورت جدولی زیر است. تقریبی براي مشتق اول و دوم تابع fدرنقطه 2 با استفاده از درونیابی خطی و سهمی بیابید . یک کران بالا براي خطاي قطع کردن را بدست آورید ؟ حل : با استفاده از فرمول : داریم :
حال مشتق مرتبه دوم با استفاده از فرمول بدست آمده بصورت: است. اما میدانیم که مقدار دقیق مشتق است.
خطاي مربوط به روشهاي فوق عبارتند از : و M1=0/5,M2=0/25,M3=0/25,M4=0/375بنابراین
2- روشهاي مشتق گیري مبتنی بر تفاضلات متناهی رابطه زیر را مدنظر قرار میدهیم : بطوریکه D اپراتور مشتق گیري است . بطور سمبلیک می توان از رابطه نتیجه گرفت که یا :
بنابراین: بنابراین می توان نوشت
از آنجا که می توان نوشت : لذا داریم:
رابطه اي که مشتق مراتب بالاتر را می دهد , بصورت زیر خواهد بود: پس برایr=1,2 خواهیم داشت:
و چنانچه تنها از جملات اول استفاده نمائیم روشهاي زیر را داریم :
برای مشتق دوم f داریم: که داراي دقت مرتبه اول ومرتبه دوم اند .
مقایسه دو روش ذکر شده همانگونه که ملاحظه کردید در روشی که مبتنی بر درونیاب است برای بدسب آوردن مشتق در نقطه x0تنها ازنقاط بعد از آن استفاده می شد اما در روش تفاضلات متناهی علاوه براین که تنها میتواند از نقاط بعد از آن استفاده کند همزمان میتواند ازنقاط قبل از آن نیز استفاده کند, پس در نقاط انتهایی تنها میتوان از روش دوم استفاده کرد و درنقاط ابتدایی ازهردو روش . همچنین واضح است که خطاهای دو روش مشابه همند، یعنی در روش تفاضلات پیشرو نیوتن ،خطاها یکسانند. اما درروش اول می توان مشتق تابع f را در نقاط غیر گرهی بدست آورد ،که در دیگر روشها نمیشود.
3- روشهاي مبتنی بر ضرائب نامعین فرض کنیم که نقاط جدولی متساوي الفاصله با گام h باشند .لذا براي نقاط جدولی مرتب شده بصورت متقارن داریم : یا براي نقاط جدولی نامتقارن داریم : خطاي قطع کردن موضعی
ضرائب بر اساس نیاز به دقت معین روشها، تعیین می شوند . با استفاده ازبسط تیلورضرائب مراتب مختلف مشتقات را در طرفین ،متحدهم قرار میدهیم وتعداد معادلات مورد نیاز جهت تعیین ضرائب را می یابیم .اولین جملات غیرصفر در خطاي تقریب را بدست میدهند .
بطور ویژه چنانچه در رابطه فوق r=1,p=2انتخاب شوند داریم :
با مقایسه طرفین معادله داریم: با حل سیستم فوق داریم :
بنابراین روش بصورت زیر خواهیم داشت : اولین جمله ناصفر خطاي برشی تقریب فوق را بدست میدهد . بنابراین روش داراي دقت مرتبه چهارم است . از مزایای این روش میتوان به شرکت دادن هر تعداد ازfiدرتقریب fk اشاره کرد.
مقایسه سه روش • همانگونه که ملاحظه کردید مشتق rام تابع f در نقطه xk ،ترکیب خطی از مقادیر تابع fدر دیگر نقاط xiها است ،که ضرایبی برای آنها بدست می آوردیم و آن را به عنوان تقریبی از تابع ارائه دادیم، این امر در روش ضرایب نا معین بوضوح دیده میشد، در حقیقت این روش بر این مبنا ارائه شده و دیگر روش ها حالت هایی خاص از این روشند .
4- انتخاب طول گام بهینه : – فرض كنيد f(x)=exp(x)وx=1با طول کام h=0/1باشدمقادیرDkرا برای مقادیر h=1,2,…,9بصورت زیر خواهد بود:
همانطور که درصفحه قبل مشاهده کردید از جایی به بعد نه تنها مقدار مشتق دقیقتر نمی شود بلکه از مقدار واقعی فاصله میگیرد ،علت آن را میتوان بصورت زیر استدلال کرد: فرض کنیم که خطای روند کردن f باشد. بررسی تأثیر خطاي روندکردن در روشهاي عددي مشتق گیري روش زیر را درنظر می گیریم : بنابراین
بطوریکه TE , RE به ترتیب خطاي روندکردن وبرشی هستند . واگر فرض کنیم باشد آنگاه داریم :
تعریف: گامh را گام بهینه Optimal می نامند هرگاه درهرکدام از روابط زیر صدق نماید: بنابراین:
همچنین اگر از رابطه مقابل مشتق بگیریم خواهیم داشت: حال مینیمم کل خطا عبارتست از :
نتیجه از آنجا که خطاي برشی یا موضعی یک روش عددي مشتق گیري متناسب با توانهایی از h است اما خطاي روندکردن متناسب با معکوس توانهایی از h است. مثال : طول گام بهینه را براي روش مشتق گیري ذیل بیابید : سپس با استفاده از مقادیر جدولی مشتق f را در 2 بدست اورید.
درصورتیکه خطاي روند کردن محاسبات0/000005 باشد. حل: پس داریم: |RE|=|TE|
پس داریم: و اگر از شرط |RE|+|TE|=minاستفاده کنیم داریم: حداقل خطاي کل عبارتست از :
حل قسمت دوم مثال : با استفاده از||RE|=|TE وM=1/4 داریم: با انتخاب h=0/06 از جدول داده شده داریم :
اما میدانیم که از این جا نتیجه می گیریم که با وجود انتخاب نتایج بدست آمده نه تنها بهبود می یابد بلکه خراب تر هم می شود . شبیه قاعده رامبرگ در انتگرال عددی روشی در مشتقگیری عددی وجود دارد به نام روش ریچارد سون،که در اینجا ارایه می کنیم:
(Extrapolation Methods) - 5 روشهاي برون یابی • فرض می کنیم g(h) تقریبی براي مقدار تابع g باشد وبا استفاده از یک روش داراي دقت مرتبه pام با طول گام h حاصل شده است .وهم چنین فرض می کنیم g(qh)تقریبی براي تابع gباشد که با استفاده از روش مرتبه pام وبا طول گام qh حاصل شده باشد .لذا داریم : • با خذف cاز دو رابطه فوق داریم :
بنابراین داریم : • این روش داراي دقت(p+1)است .این مهارت که با درهم آمیختن مقادیر محاسبه شده توسط یک روش معین با دو طول گام متفاوت حاصل میشود و براي کسب دقت مراتب بالاتر صورت می گیرد را روش برون یابی یا روش • درونیابی ریچاردسون نامیده میشود . • براي آسانی کار عموما p=1/2 انتخاب می کنیم .براي واضح تر نمودن روش زیر را درنظر میگیریم :
خطاي موضعی یا برشی مرتبط با روش فوق بصورت زیر بدست می آید. فرض می کنیم مقداري باشد که بایستی بدست بیاوریم لذا داریم :
از روابط فوق داریم: با حذفC2از روابط فوق داریم:
لذا نتایج داراي دقت مراتب بالاتر را می توان از فرمول زیر کسب نمود : این روند را برونیابی پیاپی براي مشتق گیري نیزمی نامند .
براي مقادیر متفاوتm می توان مانند جدول زیر محاسبه کرد .
با توجه به جدول فوق درمی یابیم که مقادیر جدولی یک ستون مشخص تقریبی بهتر از داده جدولی قبل از آن • می باشد .هم چنین در ستونهاي متوالی هر ستون نسبت به ستون قبلی آن تقریب بهتري بدست میدهد . بهترین • نتایج در قسمت پائینی قطر جدول است این روند زمانی متوقف می گردد که داشته باشیم : • معیار دقت حل مسئله می باشد .
داده هاي جدولی زیر مفروض اند ، از فرمول داده شده استفاده کنید وبا استفاده از روند برونیابی ریچاردسون مشتقfرا در x=3 بیابید. با استفاده از بسط سري تیلور داریم :
لذا جدول زیر را با استفاده از روند برونیابی خواهیم داشت : که دقیق است. ازآنجا که داده ها بیانگر هستند لذا ستون دوم بایستی جواب دقیق باشد زیرا نتایج جمله با خطاي هستند .
