Qualche esempio di tableaux

1. Qualche esempio di tableaux pp. 29-30

2. Esercizio n. 2 • Si parte dalla formula (x(U(x) M(x))  U(s))  M(s)

3. La si nega (cioè: si scrive la formula per intero tra due parentesi e davanti si pone la negazione): ¬((x(U(x) M(x))  U(s))  M(s))

4. È in fnn(forma normale negativa)? NO, perché contiene il simbolo dell’implicazione e Il simbolo di negazione non compare sempre “attaccato” ad un simbolo di predicato.

5. ALLORA Dobbiamo applicare le regole di riscrittura (di p. 25, cui è utile aggiungere, per snellire i conti, anche quella relativa alla negazione dell’implicazione – che riportiamo qua per prima)

6. Regole di riscrittura 1) ¬(CD) ~~> (C  ¬D) 2) (CD) ~~> (¬C  D) 3) ¬¬C ~~> C 4) ¬(C  D) ~~> (¬C  ¬D) 5) ¬(C  D) ~~> (¬C  ¬D) 6) ¬xC ~~> x ¬C 7) ¬xC ~~>  x ¬C

7. La nostra formula • è del tipo ¬(CD), dove • “C” è x(U(x) M(x))  U(s) e • “D” è M(s)

8. Dunque applichiamo la regola 1) • Ottenendo: • C¬D. cioè • (x(U(x) M(x))  U(s))¬M(s).

9. Ora applichiamo la regola 2) DENTRO la formula precedente: (x(U(x) M(x))  U(s))  ¬M(s) a U(x) M(x) E otteniamo ¬ C D Cioè (x(¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s).

10. (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s)è in fnn Dunque ora si può partire a costruire l’albero di refutazione (=il tableau) applicando le regole di espansione di p. 28

11. Regole di espansione

12. In quale ordine applicare le regole? Quello in cui sono state presentate: Congiunzione, disgiunzione, quantificatore esistenziale, quantificatore universale

13. ATTENZIONE • Quando si applicano le regole di riscrittura sé può (anzi, si deve) guardare dentro le parentesi (per scoprire qual è il connettivo principale e applicare le regola opportuna). • INVECE, quando si applicano le regole di espansione E’ ASSOLUTAMENTE VIETATO GUARDARE DENTRO LE PARENTESI per applicare le regole ai connettivi principali che vi stanno dentro.

14. Esempi • x(P(x)  Qx) è una formula del tipo: xB. Cioè occorre applicare ad essa la regole di espansione per il quantificatore universale e NON quella per la disgiunzione (che non siamo autorizzati a ‘vedere’ in quanto è chiusa tra parentesi) x(Px)  Q(x) è una formula del tipo:  xB. Cioè occorre applicare ad essa la regole di espansione per il quantificatore esistenziale e NON quella per la congiunzione (che non siamo autorizzati a ‘vedere’ in quanto è chiusa tra parentesi)

15. Che cosa significano le singole regole di espansione? • Nella riga più in alto viene espressa la situazione del tableau al momento in cui andiamo ad operare. La formula contenente il connettivo o il quantificatore su cui si vuole operare è isolata tramite una virgola dal resto dell’espressione, che viene simboleggiato con Γ.

16. Esempio • Per esempio, se troviamo scritto Γ, P  Q Significa che noi adesso stiamo per lavorare sulla formula P  Q, che ci compare eventualmente assieme ad altre formule Γ, separata da esse da una virgola.

17. Nella seconda riga, in basso, è segnato il funzionamento della regola, cioè quello che noi andremo effettivamente a scrivere applicando quella regola.

18. In particolare • Se abbiamo: Γ, P Q __________ • Γ, P , Q

19. significherà • che, se vogliamo lavorare su una congiunzione, • Semplicemente alla riga successiva scriveremo tutto il resto dell’espressione (cioè Γ) e poi i due congiunti separati da una virgola.

20. disgiunzione • Se abbiamo • Γ, P  Q • --------------- • Γ, P |Γ, Q

21. significa • che, se vogliamo lavorare su una disgiunzione, • alla riga successiva opereremo una biforcazione della nostra diramazione e su un ramo scriveremo tutto il resto dell’espressione (senza la disgiunzione,cioè Γ) con uno dei disgiunti (P, separato da una virgola); sull’altro ramo scriveremo di nuovo tutto il resto dell’espressione (senza la disgiunzione,cioè Γ) e poi l’altro disgiunto (Q, separato da una virgola).

22. Quantificatore esistenziale • Γ, xB • ---------- • Γ, B(c/x)

23. significa • che, se vogliamo lavorare su un quantificatore esistenziale, • alla riga successiva trascriveremo il resto dell’espressione (cioè Γ) e poi, separata da una virgola, l’esemplificazione del quantificatore, cioè non si scrive x, ma solo quanto viene dopo, sostituendo in esso la x con un simbolo di costante NUOVO

24. Per esempio • Γ, x(P(x)  Q(x)) • Diventa • Γ, P(c)  Q(c) • Purché c non sia mai stata usata prima

25. Quantificatore universale • Γ, xB • ---------- • Γ, xB ,B(t/x)

26. significa • che, se vogliamo lavorare su un quantificatore universale, • alla riga successiva trascriveremo tutta l’espressione (cioè sia Γ sia xB) e poi, separata da una virgola, IN AGGIUNTA, l’esemplificazione del quantificatore, cioè non si scrive (un’altra volta!)x, ma solo quanto viene dopo, sostituendo in esso la x con un simbolo di costante possibilmente VECCHIO.

27. Per esempio • Γ, x(P(x)  Q(x)) • diventa • Γ, x(P(x)  Q(x)), P(a)  Q(a) • Dove ‘a’ è una costante già presente nella dimostrazione (possibilmente, per ragioni di economicità, cioè per rendere più breve la dimostrazione).

28. Torniamo alla formula che stavamo considerando Cioè a (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s)

29. Applichiamo la regola per la congiunzione una prima volta Su (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) ottenendo:x (¬U(x)  M(x))  U(s) , ¬M(s)

30. Una precisazione sulle parentesi • Quando siamo passati da (x (¬U(x)  M(x))  U(s)) ¬M(s)ax (¬U(x)  M(x))  U(s) , ¬M(s) abbiamo tolto le parentesi qui segnate in verde, perché esse servivano solo a chiarire che l’espressione che contenevano formava un tutto unico (che si aggiungeva a ¬M(s) ) ed era una congiunzione di x (¬U(x)  M(x)) e U(s). Quando ¬M(s) compare preceduto da una virgola, non c’è più bisogno di precisare che è separato da ciò che sta prima di esso, che è un’unica formula (cioè x (¬U(x)  M(x))  U(s) ) per suo conto.

31. E una seconda • Su x (¬U(x)  M(x))  U(s), ¬M(s) • Ottenendo x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s)

32. Applichiamo la regola per il quantificatore universale E otteniamo: x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s)  M(s).

33. Applichiamo la regola per la disgiunzione • in x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s) M(s). e otteniamo la biforcazione: x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s) e x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), M(s)

34. In x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), ¬U(s) notiamo la contraddizione in rosso e, dunque, chiudiamo il ramo. In x (¬U(x)  M(x)), U(s), ¬M(s), M(s) notiamo la contraddizione in rosso e, dunque, chiudiamo il ramo.

35. ATTENZIONE • C’è contraddizione solo quando si hanno due formule di cui una sia atomica e l’altra la sua negazione SEPARATE DA UNA VIRGOLA.

36. Per esempio • C’è contraddizione se ho le due contraddittorie: • P(x), ¬ P(x) • Non c’è contraddizione se ho: • P(x), ¬ P(x)  Q(x) perché ¬ P(x) appare dentro una congiunzione, non è tra due virgole.

37. Osserviamo • Che entrambi i nodi finali dell’albero “chiudono”, cioè terminano con una contraddizione e, dunque, dichiariamo insoddisfacibile l’enunciato: (x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s) che costituiva la fnn di

38. ¬(x(U(x) M(x))  U(s))  M(s)) Se questo è insoddisfacibile, allora risulta essere logicamente valido l’enunciato di partenza: x (¬U(x)  M(x))  U(s))  ¬M(s)

39. Nuovo esempio di tableau3) Si parte da (x(P(x)Q(x)) (xP(x) xQ(x))

40. Lo si nega • Ottenendo: ¬((x(P(x)Q(x))) (xP(x) xQ(x))).

41. È in fnn(forma normale negativa)? NO, perché contiene il simbolo dell’implicazione e Il simbolo di negazione non compare sempre “attaccato” ad un simbolo di predicato.

42. ALLORA • Dobbiamo applicare le regole di riscrittura

43. La nostra formula È del tipo ¬(CD), dove “C” è x(P(x)Q(x)) e “D” è xP(x) xQ(x)

44. Dunque applichiamo la regola 1) e otteniamo: C¬D cioè x(P(x)Q(x))¬ (xP(x) xQ(x))

45. Applichiamo la regola 5) A x(P(x)Q(x)) ¬ (xP(x) xQ(x)) sul secondo membro della formula (evidenziato in blu), Ottenendo x(P(x)Q(x))  (¬xP(x)  ¬xQ(x)).

46. Applichiamo la regola 6) A x(P(x)Q(x))  (¬xP(x)  ¬xQ(x)). alle sottoformule evidenziate in blu ottenendo: x(P(x)Q(x))  (x¬P(x)x¬Q(x)).

47. x(P(x)Q(x))  (x¬P(x) x¬Q(x))è in fnn Dunque ora si può partire a costruire l’albero di refutazione (=il tableau) applicando le regole di espansione di p. 28

48. applichiamo la regola per la congiunzione Su x(P(x)Q(x))  (x¬P(x) x¬Q(x)) e otteniamo x(P(x)Q(x)),x¬P(x) x¬Q(x)

49. Poi applichiamo la regola per la disgiunzione a x¬P(x)x¬Q(x) Ottenendo la biforcazione: 1) x(P(x)Q(x)), x¬P(x) 2) x(P(x)Q(x)), x¬Q(x)

50. Cominciamo ad occuparci del ramo che contiene la 1)