Informática Teórica Engenharia da Computação

1. Informática Teórica Engenharia da Computação

2. COMPLEXIDADE DE TEMPO • A escolha do modelo não afeta o poder: todos são equivalentes: • MT de uma única fita • MT multifita • MT não-determinística • Mas afeta a complexidade de tempo • MT multifita O(t(n)) → MT única fita O(t2(n)) • MT não-determinísticaO(t(n)) → MT única fita 2O(t(n))

3. COMPLEXIDADE DE TEMPO • Diferenças polinomiais serão consideradas pequenas • MT multifita e MT com uma fita • Polinomialmente equivalentes • Mas diferenças exponenciais serão tomadas como grandes • MT não-determinística e MT com uma fita

4. COMPLEXIDADE DE TEMPO • Algoritmos exponenciais • Raramente são úteis • Em geral surgem numa busca por força bruta • Exemplo: fatoração • Algoritmos polinomiais • Rápidos para muitos propósitos • Computadores reais • Vários modelos computacionais são polinomialmente equivalentes

5. COMPLEXIDADE DE TEMPO • Já desprezamos fatores constantes • Notação O-grande • Iremos desprezar diferenças polinomiais • Nossa teoria não dependerá de um modelo de computação específico • São importantes, mas queremos olhar por uma perspectiva diferente

6. CLASSE P DEFINIÇÃO • P é a classe de linguagens que são decidíveis em tempo polinomial por uma MT determinística de uma única fita

7. CLASSE P • P é matematicamente robusta • Invariante para os modelos de computação equivalentes à MT determinística de uma fita • P é relevante de um ponto de vista prático • Problemas realisticamente solúveis em um computador

8. CLASSE P – DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS • Algoritmos serão descritos em alto nível • Não nos prenderemos em detalhes de um modelo computacional específico • Evitaremos detalhes relativos a fitas e movimentos de cabeças • Descrição dos estágios • Estágios serão enumerados (como antes) • Um estágio em geral vai requerer muitos passos numa MT

9. CLASSE P – DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS • Análise quanto à polinomialidade • Entrada de comprimento n • Dar um limitante superior polinomial para o número de estágios que o algoritmo roda em função de n • Cada estágio deve ser implementável em tempo polinomial num modelo determinístico razoável • Se os critérios acima forem respeitados, então o algoritmo executa em tempo polinomial • A composição de polinômios é um polinômio

10. CLASSE P – DESCRIÇÃO DOS ALGORITMOS • Codificação da entrada • Continuamos com • A codificação e a decodificação dos objetos devem ser polinomiais (razoáveis) • Exemplos: codificações que temos usados para autômatos e grafos • Grafos • Matriz de adjacência: (i,j) é 1 sse existe aresta do nó i para j • Tempo calculado em função do número de nós

11. CLASSE P – PROBLEMAS • CAM = {<G,s,t> | G é um grafo direcionado que tem um caminho de s para t }

12. CLASSE P – PROBLEMAS TEOREMA • CAM ∈ P • Estratégia força bruta • Examina todos os caminhos potenciais em G • Determinar se algum é um caminho direcionado de s para t • Caminho potencial: sequência de nós em G tendo um comprimento de no máximo |V| • Há aproximadamente |V||V| caminhos potenciais • Tempo exponencial

13. CLASSE P – PROBLEMAS • IDÉIA DA PROVA: usar um método de busca no grafo para evitar a força bruta. • Busca em largura: marcamos sucessivamente todos os nós que são atingíveis a partir de s por caminhos de comprimento 1, depois 2, em seguida 3 etc. • Mostrar que a estratégia é polinomial • PROVA: o algoritmo seguinte M decide CAM em tempo polinomial

14. CLASSE P – PROBLEMAS • M = “Sobre a entrada <G, s, t> onde G é um grafo direcionado com nós s e t: • 1. Marque o nó s. • 2. Repita o passo seguinte até que nenhum nó adicional seja marcado • 3. Para cada aresta (a,b) de G: se a for um nó marcado e b não estiver marcado, marque b. • 4. Se t estiver marcado, aceite. Senão, rejeite.”

15. CLASSE P – PROBLEMAS • Número de passos de M • Os passos 1 e 4 executam apenas uma vez • O passo 3 executa no máximo |V| vezes: no pior caso, apenas um nó é marcado a cada vez, exceto a última • Complexidade dos passos de M • Os passos 1 e 4 são facilmente implementados em tempo polinomial • O passo 3 varre cada aresta e executa um teste para ver se um nó está marcado

16. CLASSE P – PROBLEMAS • Conclusão da prova • M executa uma quantidade de passos polinomial na entrada • Todos os passos de M rodam em tempo polinomial na entrada • Logo, M é polinomial • CAM ∈ P • Exercício do livro: 7.8

17. CLASSE P – PROBLEMAS • PRIM-ES = {<x, y> | x e y são primos entre si} • Dois números são primos entre si quando 1 é o maior inteiro que divide ambos • <10, 21> ∈ PRIM-ES • <10, 22> ∉ PRIM-ES

18. CLASSE P – PROBLEMAS TEOREMA • PRIM-ES ∈ P • Estratégia força bruta • Procurar entre todos os possíveis divisores de ambos os números • Aceita se o único divisor comum entre eles for 1 • A magnitude de um número representado em qualquer base maior ou igual a 2 é exponencial no comprimento da representação • Então a busca é feita entre um número exponencial de potenciais divisores

19. CLASSE P – PROBLEMAS • IDÉIA DA PROVA: usar o algoritmo de Euclides para computar o máximo divisor comum • Calcular o MDC de x e y • Se o resultado for 1, x e y são primos entre si • Função mod: retorna o resto da divisão do primeiro número pelo segundo • 10 mod 3 = 1 • 28 mod 4 = 0

20. CLASSE P – PROBLEMAS • PROVA: definiremos o algoritmo E para computar o MDC. Em seguida, definiremos o algoritmo R para decidir PRIM-ES

21. CLASSE P – PROBLEMAS • E = “Sobre a entrada <x, y>, onde x e y são números naturais em binário: • 1. Repita até que y = 0: • 2. x := xmody • 3. Troque os valores de x e y • 4. Retorne x” • R = “Sobre a entrada <x, y>, onde x e y são números naturais em binário: • 1. Execute E sobre <x, y> • 2. Se E retornou 1, aceite. Senão, rejeite.”

22. CLASSE P – PROBLEMAS • Complexidade de E • O passo 2 reduz o valor de x no mínimo pela metade (exceto possivelmente na 1ª vez: se x ≤ y) • Após o passo 2 temos x < y e depois do passo 3 temos x > y: a cada iteração do loop, um valor é reduzido no mínimo pela metade e o outro não • Então o número máximo de execuções do loop é o mínimo entre 2log2x e 2log2y • Como x e y são representados em binário, a quantidade de passos de E é O(n) • Os passos de E são facilmente implementáveis em tempo polinomial. Logo, o algoritmo é polinomial

23. CLASSE P – PROBLEMAS • Complexidade de R • R = “Sobre a entrada <x, y>, onde x e y são números naturais em binário: • 1. Execute E sobre <x, y> • 2. Se E retornou 1, aceite. Senão, rejeite.” • Como E roda em tempo polinomial, então R também é polinomial • Exercícios do livro: 7.3 e 7.12

24. CLASSE P – PROBLEMAS • AGLC = {<G, w> | G é uma GLC que gera a cadeia w } • Uma MT que decide AGLC • S = “Sobre a entrada <G, w>, onde G é uma GLC e w uma cadeia de comprimento n: • 1. Converta G para a forma normal de Chomsky • 2. Liste todas as derivações com 2n-1 passos (se n = 0, liste todas as derivações com 1 passo) • 3. Se alguma derivação gerou w, aceite. Senão, rejeite.”

25. CLASSE P – PROBLEMAS • S roda em tempo polinomial? • Qualquer derivação de uma cadeia |w| = n tem 2n-1 passos (se a gramática está na forma normal de Chomsky) • S tenta todas as derivações com 2n-1 passos para verificar se alguma gera w • Como o número de derivações com k passos pode ser exponencial em k, S não é polinomial • Logo, S não prova que aceitação de LLC é polinomial • Existe algum algoritmo polinomial para aceitação de LLC?

26. CLASSE P – PROBLEMAS TEOREMA • IDÉIA DA PROVA • Utilizar programação dinâmica: guardar informações sobre subproblemas menores • Subproblema: determinar se cada variável da GLC gera cada subcadeia de w • Usar uma tabela n x n para guardar as soluções dos subproblemas • (i, j): se i ≤ j, então a célula guarda as variáveis que geram a subcadeiawiwi+1...wj. As posições com i > j não serão utilizadas • Preenche a tabela para as subcadeias de comprimento 1, depois 2, ... Até a de tamanho n

27. CLASSE P – PROBLEMAS • IDÉIA DA PROVA (continuação) • Suponha que o algoritmo já tenha resolvido o problema para todas as subcadeias de tamanho k • Para saber se alguma variável A gera uma subcadeia específica de tamanho k+1: • Dividir a subcadeia de tamanho k+1 em duas partes não vazias (há k possibilidades de divisão) • Para cada divisão, o algoritmo passa por cada regra do tipo A → BC • Se B gera a primeira subcadeia e C gera a segunda, então A gera a subcadeia de tamanho k+1 • Adicionamos A à entrada associada da tabela • Iniciamos com as cadeias de tamanho 1 e analisando as regras do tipo A→ b

28. CLASSE P – PROBLEMAS TEOREMA • PROVA: algoritmo que recebe uma gramática na forma normal de Chomsky e uma cadeia w (S é a variável inicial da gramática) • D = “Sobre a entrada w = w1w2...wn • 1. Se w = εe S → ε for uma regra, aceite • 2. Para i=1 até n: • 3. Para cada variável A: • 4. Teste se A→ wi é uma regra • 5. Se for, adicione A em tabela(i, i)

29. CLASSE P – PROBLEMAS • D (continuação) • 6. Para l = 2 até n [l é o comprimento da subcadeia] • 7. Para i=1 até n-l-1[ié a posição inicial da subcadeia] • 8. j := i+l-1 [j é a posição final da subcadeia] • 9. Para k=i até j-1 [k é onde ocorre a divisão] • 10. Para cada regra A → BC • 11. Se tabela(i, k) contém B e tabela (k+1,j) contém C • Coloque A em tabela(i, j) • 12. Se S estiver em tabela(1, n), aceite. Senão, rejeite

30. CLASSE P – PROBLEMAS • Complexidade de D • Todo os passos são implementados em tempo polinomial • A quantidade de passos é polinomial: O(n3) + O(n) = O(n3) • O passo 1 roda apenas uma vez • Os passos 4 e 5 rodam no máximo n*v (onde v é o número de variáveis): O(n) • O passo 6 roda no máximo n vezes • Para cada vez que o 6º roda, o passo 7 roda no máximo n vezes • Para cada vez que o 7º roda, os passos 8 e 9 rodam no máximo n vezes • Cada execução do 9º, o passo 10 roda r vezes (onde r é uma constante fixa) • Logo, o passo 11 roda O(n3) vezes • Exercício do livro: 7.4

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