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INTRODUCCIÓN HISTÓRICAEl problema del cálculo de áreas planas y de volúmenes de sólidos se remonta a los tiempos de los griegos. Básicamente existían dos tipos de métodos: los métodos heurísticos o atómicos, y los métodos de exhaución. Los métodos heurísticos se basaban en la teoría atomista de Demócrito, que consideraba una línea, superficie o volumen como forma de un gran (aunque finito) número de átomos. Se trataba entonces, de sumar todos sus átomos para calcular su longitud, superficie o volumen. Con este método, Demócrito calculó por primera vez los volúmenes del cono y la pirámide. Los métodos de exhaución trataban de forma más rigurosa el cálculo de áreas y volúmenes, realizando demostraciones exhaustivas de los resultados, pero tenían la desventaja de la necesidad de conocer el resultado para poder demostrarlo. Estos métodos fueron típicos de la Matemática griega y renacentista. La obra deArquímedes fue la mayor aportación de la matemática griega al cálculo integral. Entre sus resultados se encuentran las relaciones entre el área de la esfera y la longitud del ecuador, entre el volumen de la esfera y el del cilindro circunscrito, el área de un segmento de parábola, el área de la elipse, el volumen y área lateral de esferas, conos y pirámides. Arquímedes utilizó ambos tipos de métodos.
Los problemas de cálculo de áreas resurgieron en el siglo XVII por las necesidades de la Mecánica. Johann Kepler calcula el volumen de determinadas vasijas obtenidas a partir de la revolución de segmentos de cónicas: un círculo está formado por una infinidad de triángulos con un vértice común en el centro. Era un método más heurísitico y menos riguroso que el de Arquímedes. En el siglo XVII el principio de Cavalieri establece que dos sólidos con la misma curva de altura tienen el mismo volumen si las secciones planas de igual altura tienen la misma área. Este principio permitió integrar polinomios. Pascal calculó áreas y volúmenes relacionados con la cicloide, utilizando indivisibles. También obtuvo por suma las áreas de las funciones sen x, sen2 x y x sen x cuando uno de los límites es 0 ó PI. En 1670 el matemático Barrow descubre un método general para calcular tangentes y formula la relación entre la tangente y el área, aunque parece que ¡no fue consciente de la importancia de su descubrimiento!. El reconocimiento del problema del cálculo de áreas como el inverso del cálculo de diferenciales, se debe a Newton y Leibniz. Newton sí se dio cuenta de la relación existente entre los dos problemas, unificándolos en el "cálculo de fluxiones". Newton calculó áreas por anti diferenciación, dando el primer enunciado explícito del teorema fundamental del Cálculo. Independientemente, Leibniz llega a los mismos resultados, pero considerando la integración como una suma. Leibniz introdujo además la moderna notación de
El nombre de Cálculo Integral fue puesto por Jacob Bernoullia finales del siglo XVII. En el siglo XIX Eulerpublicó en un libro todo el cálculo integral elemental. El Cálculo Integral fue asentado de forma rigurosa a partir de la noción de límite de Cauchy. Pero la integral de Cauchy sólo era válida para funciones continuas en intervalos cerrados y acotados. Esto dejaba fuera muchas funciones, así que fue Riemann quien definió la integral que lleva su nombre, ampliando la clase de funciones integrables a las funciones continuas salvo en un número numerable de discontinuidades; pero la relación entre derivación e integración deja de ser válida en los puntos de discontinuidad. Y el gran desarrollo del análisis hizo aparecer la noción de integral de Lebesgue, en el que toda función definida de forma constructiva es integrable. Esta integral tiene mayor generalidad, y un mejor comportamiento en los procesos de paso al límite.
Integrales Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. Ahora ya no nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el 'área' no es ninguna excepción a esto... Ahora solo intentaremos definir el área de algunas regiones muy especiales (figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las verticales por (a, 0) y (b, 0), y la gráfica de una función f tal que f (x)≥ 0, para todo x de [a, b]. Conviene denotar esta región por R(f, a, b) ... Figura1 figura2
El número que asignaremos eventualmente como área de R(f, a, b) recibirá el nombre de integral de f sobre [a, b]. En realidad, la integral se definirá también para funciones f que no satisfacen la condición f (x) ≥0, para todo x de [a, b]. Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia entre las áreas de las regiones de sombreado claro y de sombreado fuerte ('área algebraica' de R(f, a, b)). Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y.
Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo [a, b] en n partes, no necesariamente iguales. Notamos la longitud de la primera parte por Δx1, la de la segunda por Δx2, y así sucesivamente hasta la última, Δxn. En cada parte elegimos los números x1, x2, ..., xn, y escribimos la suma Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 3. Cuanto más fina sea la subdivisión del segmento [a, b], más próxima se hallará Sn al área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo [a, b] en partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S. La posibilidad de dividir el intervalo [a, b] en partes desiguales exige definir lo que entendemos por subdivisiones 'cada vez más pequeñas'. Suponemos no sólo que n crece indefinidamente, sino también que la longitud del mayor Δxi en la n-sima subdivisión tiende a cero. El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (**)..., hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (**). Así:
Integral definidaEl límite (**) se llama integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b], y se nota por La expresión f (x)dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior. Ahora comenzaremos a poner a práctica lo aprendido.
Ejemplo 1:Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 9 − x2 y el eje OX.En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los límites de integración.y = 9 – x2 en el intervalo [-3 , 3] Como la parábola es simétrica respecto al eje OY, el área será igual al doble del área comprendida entre x = 0 y x = 3.
Ejemplo 2: Calcular el volumen de la esfera de radio r. Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r². Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
