Teoria kolejek
Download
1 / 45

TEORIA KOLEJEK - PowerPoint PPT Presentation


  • 124 Views
  • Uploaded on

TEORIA KOLEJEK. opracowanie na podstawie : Jędrzejczyk Z., Skrzypek J., Kukuła K., Walkosz A. [1997]: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa. Leszek Smolarek [2005] : Modelowanie procesów transportowych , Akademia Morska w Gdyni

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'TEORIA KOLEJEK' - trilby


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
Teoria kolejek

TEORIA KOLEJEK

opracowanie na podstawie :

Jędrzejczyk Z., Skrzypek J., Kukuła K., Walkosz A. [1997]: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach, PWN, Warszawa.

Leszek Smolarek [2005] : Modelowanie procesów transportowych, Akademia Morska w Gdyni

Piotr Gajowniczek [2008] Teoria kolejek, Instytut Telekomunikacji Politechniki Warszawskiej

Jakub Wróblewski Elementy modelowania matematycznego. Systemy kolejek


Modele masowej obs ugi
MODELE MASOWEJ OBSŁUGI

Teoria masowej obsługi, zwana także teorią kolejek, zajmuje się budową modeli matematycznych, które można wykorzystać w racjonalnym zarządzaniu dowolnymi systemami działania, zwanymi systemami masowej obsługi.

Przykładami takich systemów są: sklepy, porty lotnicze, podsystem użytkowania samochodów przedsiębiorstwa transportowe, podsystem obsługiwania obrabiarek itp.


Koszty
Koszty

$

Całkowity

Obsługi

Niezadowolenia klienta

Poziom obsługi


Teoria kolejek

Rozróżnia się systemy masowej obsługi:

-        z oczekiwaniem;

-        bez oczekiwania.

W SMO z oczekiwaniem zgłoszenie (obiekt zgłoszenia) oczekuje w kolejce na obsługę,

zaś w systemie bez oczekiwania, wszystkie stanowiska obsługi są zajęte i obiekt zgłoszenia wychodzi z systemu nie obsłużony.


Teoria kolejek

...

Stan. Obsł.

Kolejka

Stan. Obsł.

Klient

Ładunek

Przybycie

Do

systemu

...

Stan. Obsł.

Kolejka

Stan. Obsł.

...

Stan. Obsł.

Kolejka

...

Stan. Obsł.

Kolejka

...

Stan. Obsł.

Kolejka


Charakterystyki
Charakterystyki

  • procent czasu zajętości wszystkich stanowisk obsługi

  • prawdopodobieństwo, że system nie jest pusty

  • średnia liczba klientów oczekujących

  • średnia liczba klientów oczekujących i obsługiwanych

  • średni czas oczekiwania

  • średni czas oczekiwania i obsługi

  • prawdopodobieństwo, że przybywający klient oczekuje

  • prawdopodobieństwo, że w systemie jest n klientów


Teoria kolejek

Model matematyczny funkcjonowania SMO opiera się na teorii procesów stochastycznych.

W modelu tym występują zmienne losowe:

  • czas upływający między wejściem do systemu dwóch kolejnych zgłoszeń;

  • czas obsługi jednego zgłoszenia przez stanowisko obsługi;

  • liczba stanowisk;

  • liczebność miejsc w kolejce zgłoszeń oczekujących na obsługę.


Teoria kolejek

Założenia modelu określają procesów stochastycznych.

1)      typ rozkładu prawdopodobieństwa zmiennych losowych (rozkład deterministyczny – równe odstępy czasu), rozkład wykładniczy, rozkład Erlanga, dowolny rozkład;

2)      zależność lub niezależność zmiennych losowych czasu czekania na zgłoszenie i czasu obsługi;

3)      skończona lub nieskończona wartość liczby stanowisk obsługi, długości poczekalni;

4)      obowiązującą w systemie dyscyplinę obsługi.


Proces wej ciowy
Proces wejściowy procesów stochastycznych.

  • intensywność strumienia wejściowego -intensywność przybywania;

  • liczba klientów-trend;

  • czas oczekiwania na klienta.


Proces obs ugi
Proces obsługi procesów stochastycznych.

  • Rozkład czasu obsługi np. wykładniczy:

  • Czas obsługi (bez czasu czekania w kolejce)

  • m intensywność obsługi

  • średni czas obsługi 1/m


Notacja kendall a
Notacja procesów stochastycznych. Kendalla

  • System kolejkowy opisany jest 3 lub4 parametrami:

    1/2/3/4

    czas przybycia /czas obsługi /liczba stanowisk/liczba miejsc w systemie

  • Parametr 1 – rozkład napływu

    • M = Markowski (rozkład Poissona) czas przybycia

    • D = Deterministycznyczas przybycia

  • Parametr 2 – rozkład czasu obsługi

    • M = Markowski(wykładniczy) czas obsługi

    • G = Dowolny rozkład czasu obsługi

    • D = Deterministyczny czas obsługi (jednopunktowy)

  • Parametr 3

    • Liczba stanowisk obsługi

  • Parametr 4

    liczba miejsc w systemie (łącznie stanowiska obsługi+ kolejka)

    • Jeśli jest nieskończona jest pomijana w zapisie


System m m s
System procesów stochastycznych. M/M/s

  • sstanowisk obsługi.

  • Strumień wejściowy Poisson z param.l.

  • Obsługa wykładnicza z param.m.


System m g 1
System procesów stochastycznych. M/G/1

  • Model :

    • Strumień wejściowy Poisson z param.l.

    • Czas obsługi o dowolnym rozkładzie, średniej m i odchyleniu standardowym s.

    • Jedno stanowisko obsługi.

  • Czas obsługi nie musi mieć rozkładu wykładniczego.

    np.:

    • Naprawa telewizora

    • Badanie wzroku

    • Fryzjer


System m d 1
System procesów stochastycznych. M/D/1

  • Czas obsługi może być ustalony.

    np..

    • Taśma produkcyjna.

    • Myjnia automatyczna.

  • Czas obsługi deterministyczny

  • Aby uzyskać system M/D/1 w systemie M/G/1 trzeba przyjąć odchylenie standardowe równe 0 ( s= 0).


  • Schemat systemu masowej obs ugi smo
    Schemat systemu masowej obsługi (SMO) procesów stochastycznych.

    1 – zgłoszenia (obiekty zgłoszenia),

    2 – kolejka obiektów,

    3 – stanowiska obsługi,

    4 – przemieszczenia obiektów w systemie bez oczekiwania,

    5 – przemieszczenia obiektów w systemie z priorytetem obsługi,

    6 – przemieszczenia obiektu w systemie z oczekiwaniem,

    lwej – strumień wejściowy zgłoszeń,

    lwyj – strumień wyjściowy obsłużonych obiektów.


    Teoria kolejek

    W zależności od dyscypliny obsługi SMO można podzielić następująco:

    • FIFO (first in first out), czyli kolejność obsługi według przybycia;

    • SIRO (selection in random order) czyli kolejność obsługi losowa;

    • LIFO (last in first out), czyli ostatnie zgłoszenie jest najpierw obsłużone;

    • priorytet dla niektórych obsług (5), np. bezwzględny priorytet obsługi oznacza, że zostaje przerwane aktualnie wykonywana obsługa obiektu, a na jego miejsce wchodzi obiekt z priorytetem.


    Teoria kolejek


    Teoria kolejek1
    Teoria kolejek długość kolejki):

    • jednokanałowe systemy obsługi

    • wielokanałowe systemy obsługi


    K ana obs ugi
    K długość kolejki):anał obsługi:

    • stopa przybycia - przeciętna liczba klientów przypadająca na jednostkę czasu, ma rozkład Poissona ;

    • stopa obsługi - przeciętna liczba klientów obsłużonych w jednostce czasu, ma rozkład wykładniczy;

    • liczba równoległych kanałów obsługi r;

    • parametr intensywności ruchu - stosunek liczby klientów przybywających do liczby klientów obsłużonych w jednostce czasu.


    Za o enia w teoretycznym modelu
    Założenia w teoretycznym modelu: długość kolejki):

    • rozpatrywane są tylko sytuacje w których klienci obsługiwani są według kolejności przybywania do punktu świadczącego usługę, zatem wszyscy klienci są traktowani na równi.


    Rozpatruje si dwa przypadki
    Rozpatruje się dwa przypadki: długość kolejki):

    • Gdy układ zmierza do stanu równowagi

      (jeżeli obie wartości stałe) to prawdopodobieństwo tego, iż kolejka ma określoną długość, jest stałe w każdej jednostce czasu.

    • gdy

      układ jest niestabilny, a prawdopodobieństwo długiej kolejki rośnie (układ nie może nadrobić czasu w którym był chwilowo niewykorzystany).


    Przyk ad
    Przykład: długość kolejki):

    • Na poczcie obok innych stanowisk jedno jest przeznaczone do obsługi wpłat i wypłat gotówkowych osób fizycznych. Ruch w godzinach 14-18 jest tak duży, że rozważa się możliwość uruchomienia dodatkowego stanowiska obsługi. Sprawdzić, czy jest to słuszna decyzja. Poniżej podano obserwacje poczynione w czasie jednej z godzin szczytowych.


    Rozwi zanie
    Rozwiązanie długość kolejki):

    • stopa przybycia

    • stopa obsługi

    • parametr intensywności ruchu

    • Zatem zachodzi nierówność , czyli stopa przybyć przewyższa stopę obsługi. Wartość parametru sugeruje, że mamy do czynienia z układem niestabilnym, a prawdopodobieństwo długiej kolejki się zwiększa.

    • Osiągnięcie stanu równowagi jest tylko możliwe dzięki podjęciu radykalnych działań:

      • skróceniu czasu obsługi klienta

      • zainstalowaniu dodatkowego stanowiska obsługi.




    Prawdopodobie stwo e w kolejce oczekuje n klient w okre la wz r
    Prawdopodobieństwo, że w kolejce oczekuje n=0 obliczamy ze wzoru: n klientów określa wzór:


    Prawdopodobie stwo
    Prawdopodobieństwo, n=0 obliczamy ze wzoru:

    • że w kolejce oczekuje więcej niż n0 klientów (pod warunkiem gdy ) określa wzór


    Prawdopodobie stwo1
    Prawdopodobieństwo, n=0 obliczamy ze wzoru:

    • tego że czas oczekiwania w kolejce jest dłuższy niż t0 określa wzór:


    Przyk ad1
    Przykład n=0 obliczamy ze wzoru:

    • W prywatnej przychodni stomatologicznej czynne są dwa gabinety lekarskie. Przecięty czas przybycia pacjenta wynosi 3,8 na godz., a stopa obsługi wynosi 2 pacjentów na godz.


    Czy system obs ugi zmierza do stanu r wnowagi
    Czy system obsługi zmierza do stanu równowagi? n=0 obliczamy ze wzoru:

    • stan równowagi systemu jest zachowany, bo


    Ile wynosi prawdopodobie stwo e nie b dzie kolejki
    Ile wynosi prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki? n=0 obliczamy ze wzoru:

    • Prawdopodobieństwo, że nie będzie kolejki w poradni stomatologicznej wynosi 36%.


    Ile wynosi prawdopodobie stwo e pacjent b dzie musia oczekiwa
    Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać?

    • Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać na przyjęcie w poradni wynosi 64%.


    Ile wynosi prawdopodobie stwo e w kolejce znajduj si wi cej ni dwie osoby
    Ile wynosi prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby?

    • Prawdopodobieństwo, że w kolejce znajdują się więcej niż dwie osoby wynosi 15%.


    Ile wynosi prawdopodobie stwo e pacjent b dzie musia oczekiwa w kolejce d u ej ni 0 5 godz
    Ile wynosi prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz.?

    • Prawdopodobieństwo, że pacjent będzie musiał oczekiwać w kolejce dłużej niż 0,5 godz. wynosi 11%.


    Ile przeci tnie pacjent w oczekuje w kolejce na przyj cie
    Ile przeciętnie pacjentów oczekuje w kolejce na przyjęcie?

    Przeciętnie w kolejce na przyjęcie nie oczekują pacjenci.


    Jak wygl da sytuacja z punktu widzenia w a ciciela poradni
    Jak wygląda sytuacja z punktu widzenia właściciela poradni?

    • Sytuacja z punktuwidzeniawłaścicielaporadnidlapacjentów jest komfortowa.

    • Prawdopodobieństwobezkolejkowegoprzyjęcia jest wynosi 0,36.

    • Małe jest prawdopodobieństwooczekiwania w kolejcewięcejniżdwóchpacjentów, bowynoszące 0,15.

    • Bardzomałe jest prawdopodobieństwo, żepacjentbędzieczekałdłużejniżpółgodziny, bowynosi 0,11.

    • Z analizywynika, żeprzeciętnie w kolejcenie oczekująpacjenci