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Matemáticas Discretas

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Matemáticas Discretas. (Mini) Cursos Propedéuticos 2012 Ciencias Computacionales INAOE Dr. Hugo Jair Escalante [email protected] http://ccc.inaoep.mx/~hugojair O ficina 8319. Este material se basa en versiones previas del mismo por : Dr. Enrique Muñoz de Cote

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Presentation Transcript
matem ticas discretas

Matemáticas Discretas

(Mini) Cursos Propedéuticos 2012

Ciencias Computacionales

INAOE

Dr. Hugo Jair Escalante

[email protected]

http://ccc.inaoep.mx/~hugojair

Oficina 8319

Este material se basa en versionesprevias del mismopor:

Dr. Enrique Muñoz de Cote

Dr. Enrique Sucar

Dr. Luis Villaseñor

cuarta parte
CUARTA PARTE
  • Relaciones y funciones
    • Relaciones
    • Propiedades de relaciones
    • Clases de equivalencia
    • Conjuntos parciales y totalmente ordenados
    • Funciones
producto cartesiano
Producto cartesiano
  • Dados dos conjuntos A y B, el productocartesiano AB se define por:
    • AB = { (x, y) | xA, yB}
  • Ejemplo:
    • {a,b}{1,2,3} = {(a,1),(b,1),(a,2),(b,2),(a,3),(b,3)}
  • Note que los elementos (x, y) son pares ordenados: hay una diferencia entre (a, 2) y (2, a)
  • En general: AB ≠ BA

Cuántos pares ordenados se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?

slide4
Teorema Para conjuntos arbitrarios A, B, C U.

a)

b)

c)

d)

Relaciones

El producto cartesiano y las operaciones binarias de unión e intersección están interrelacionados con el siguiente teorema.

relaciones
Relaciones
  • Dados dos conjuntos A y B, una relaciónbinaria R de A en B es determinada por cualquier subconjunto R  AB
  • Se dice que “aRb” si y solo si (a, b)R
  • Si A=B, se dice que R es una relación binaria en A

Cuántas relaciones se pueden generar si el número de elementos de A y B son |A| y |B|?

slide6
EJEMPLO Si A = U =Z+, se define una relación binaria R en el conjunto A como . Se trata de la conocida relación “es menor o igual que” para el conjunto de los enteros positivos,

Relaciones

Se observa que (7,7),(7,11)R, y (8,2)R, (7,11)R también se puede denotar como 7R 11; (8,2)R se transforma en 8R 2 son ejemplos de notación infija en una relación.

slide7
Relaciones

En general, para conjuntos finitos A, B donde |A| = my |B| = n, hay 2mn relaciones de A a B, incluyendo la relación vacía y la propia relación AB.

ejemplo
Ejemplo
  • Sea U={1, 2, 3, …,7}, A={2, 3, 4} y B={4, 5}, las siguientes son ejemplos de relaciones de A a B:
    • Ø
    • {(2, 4), (2, 5)}
    • {(2, 4), (3, 4), (4, 5)}
    • {(2, 4), (3, 4), (4, 4)}
ejemplo1
Ejemplo
  • La relación de menor que < en el conjunto de números naturales N se describe por el conjunto:
    • {(0,1),(0,2),(1,2),(0,3),…}  NN
  • La relación de igualdad “=“ en R se define por el conjunto:
    • {(x, x) | xR}  RR
propiedades de las relaciones
Propiedades de las relaciones
  • Una relación R en A es reflexiva si:
    • Si (a, a)  R para toda a  A
  • Una relación R en A es antireflexiva si:
    • Si (a, a)  R para toda a  A
ejemplo2
Ejemplo
  • Se A={1, 2, 3, 4}, considere las siguientes relaciones R sobre A y determine si son reflexivas:
    • R={(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
      • No es reflexiva
    • R={(x, y)| x, y  A, x ≤ y}
      • Es reflexiva
propiedades de las relaciones1
Propiedades de las relaciones
  • Una relación R en A es simétrica si:
    • Si (a,b)R entonces (b,a)R para todo a,bA
  • Una relación R en A es antisimétrica si:
    • Si (a,b)R y (b,a)R entonces a=b
  • Una relación R en A es transitiva si:
    • Si (a,b)R y (b,c)R entonces (a,c)R para todo a,bA
ejemplo3
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3} y R una relación en A
    • R={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)}
      • Simétrica y no reflexiva
    • R={(1,1),(2,2),(3,3),(2,3)}
      • Reflexiva y no simétrica
    • R={(1,1),(2,3),(3,3)}
      • No Simétrica y no reflexiva
ejemplo4
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3, 4}
    • R={(1,1),(2,3),(3,4),(2,4)}
      • Es una relación transitiva en A
    • R={(1,3),(3,2)}
      • No es transitiva
ejemplo5
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3}
    • R={(1,2),(2,1),(2,3)}
      • No simétrica y no antisimetrica
    • R={(1,1),(2,2)}
      • Simétrica y antisimetrica
ordenamientos
Ordenamientos
  • Relaciones comunes tales como ≤ definen ordenamientos
  • Una relación R en A es un ordenamiento parcial si y sólo si es una relación reflexiva, antisimétrica y transitiva
  • (A, R) es un conjunto ordenado parcialmente o poset si R es un ordenamiento parcial en A
ejemplo6
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3, 4, 6, 12} y sea R la relación en A dada por (x, y)  R si x divide exactamente a y
    • R es reflexiva?
    • R es transitiva?
    • R es antisimétrica?
    • Por lo tanto R define un ordenamiento parcial en A
particiones
Particiones
  • Una partición de un conjunto A es un conjunto de subconjuntos {Aj} tal que:
    • AiAj =  para todo ij
    • A = jAj
ejemplo7
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3, …,10}, las siguientes son ejemplos de particiones de A:
    • A1={1, 2, 3, 4, 5}, A2={6, 7, 8, 9, 10}
    • A1={1, 3, 5, 7, 9}, A2={2, 4, 6, 8, 10}
    • A1={1, 2, 3}, A2={4, 6, 7, 9}, A3={5, 8, 10}
    • Ai={i, i+5}, 1 ≤ i ≤ 5
funciones
Funciones
  • Una función f:AB del conjunto A a B es la relación fAB tal que cada aA está relacionada con un único b tal que (a,b)f
  • Notación f(a)=b, o f:a  b
  • A es el dominio de f y B es el codominio
  • El valor f(a)=b es la imagen de aA bajo f
  • El conjunto { f(a) | aA } es el rango de f
ejemplo8
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3} y B={w, x, y, z}:
    • ¿Es f={(1, w), (2, x)} una función de A a B?
      • No
    • ¿Es f={(1, w), (2, w), (2, x), (3, z)} una función de A a B?
      • No
    • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, x)} una función de A a B?
      • Si
composici n de funciones
Composición de funciones
  • Sean f: A  B y g: B  C dos funciones. La composición de las funciones f y g, denotada por (g o f) es la función:
    • (g o f): A  C tal que
    • Para todo a  A, (g o f)= g(f(a))
tipos de funciones
Tipos de funciones
  • Una función es inyectiva o uno a uno si para cada x  A tiene una única imagen f(a):
    • Si f(x)=f(y) entonces x=y.
    • Elementos distintos de A tienen siempre imágenes distintas
  • Sea f: R  R donde f(x)= 3x + 7 para toda x
    • Es una función uno a uno
ejemplo9
Ejemplo
  • Sea A={1, 2, 3} y B={1, 2, 3, 4, 5}.
  • ¿Es g={(1, 1),(2, 3),(3, 3)} una función uno a uno de A a B?
    • No
tipos de funciones1
Tipos de funciones
  • Una función es sobre o suprayectiva si para cada yB existe al menos una xA tal que f(x)=y:
    • Si yB entonces existe una xA tal que f(x)=y
  • Sea f: R  R donde f(x)= x3 para toda x
    • ¿Es una función sobre o suprayectiva?
      • Si
tipos de funciones2
Tipos de funciones
  • Una función es una biyección entre A y B si es una función uno a uno y suprayectica
  • Sea A={1, 2, 3 , 4} y B={w, x, y, z}.
    • ¿Es f={(1, w), (2, x), (3, y), (4, z)} de A a B una biyección?
      • Si
ejemplos
Ejemplos
  • La función lineal f: ZZ, definida por f(x)=x+2
    • Es inyectiva
    • Es suprayectiva
    • Es biyectiva
composici n de funciones1
Composición de funciones

Si f: A->B y g:B->C, definimos la función compuesta que se denota g o f: A->C, como (g o f)(a)= g(f(a)), para cada a en A

composici n de funciones2
Composición de funciones
  • Sea A={1,2,3,4}; B={a,b,c}; C={w,x,y,z}, con f: A->B; g: B->C, dadas por f={(1,a),(2,a), (3,b), (4,c)} y g={(a,x), (b,y), (c,z)}, calcule:
    • g o f (1)
    • g o f (2)
    • g o f (3)
    • g o f (4)
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