1 / 46

数学建模中的 层次分析法

数学建模中的 层次分析法. 层次分析法简介. 层次分析法是萨蒂（ saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。　. 层次分析法简介. 一、层次分析法基本原理. 建立 . 分解. 实际问题. 多个因素. 层次结构. 判断. 确定. 计算. 诸因素的相 对重要性. 权向量. 综合决策.

torn
Download Presentation

数学建模中的 层次分析法

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 数学建模中的层次分析法

  2. 层次分析法简介 • 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪70年代提出的一种决策方法。它是将半定性、半定量问题转化为定量问题的有效途径，它将各种因素层次化，并逐层比较多种关联因素，为分析和预测事物的发展提供可的定量依据。 • 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。主要用于确定综合评价的权重系数。层次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。　

  3. 层次分析法简介 一、层次分析法基本原理 建立 分解 实际问题 多个因素 层次结构 判断 确定 计算 诸因素的相 对重要性 权向量 综合决策

  4. 二、层次分析法基本步骤 一、确定权系数 　设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。其线性组合： y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。 w1,w2, … wn是权重系数，其满足： wi0 ,

  5. 对权重系数的量化过程 （1）成对比较 　　从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： 　　xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大” 　当比值为2，4，6，8　时认为介于前后中间状态。

  6. （2）建立逆对称矩阵 由xi/xj建立n阶方阵A (3) 迭代　 按下列方法求向量迭代序列： e0=( 1/n 1/n … 1/n)T e’k=Aek-1 || e’k||为Aek-1的n个分量之和 ek= e’k / || e’k|| , k=1,2, … 数列｛ ek｝是收敛的，记其极限为e.且记e=(a1 a2 … an) 于是取权重系数wi=ai

  7. 例1：评价影视作品 • 在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标： • x1表示教育性 • x2表示艺术性 • x3表示娱乐性 • 有一名专家经成对，赋值： • x1/x2=1 x1/x3=1 /5 x2/x3=1/3

  8. 于是得到逆对称矩阵

  9. 由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659 • 相应的综合评价公式是 • Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 • 如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。

  10. C1 景色 C2 费用 C3 居住 C4 饮食 C5 旅途 P1 桂林 P2 黄山 P3 北戴河 例2. 选择旅游地 　　如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择. O(选择旅游地) 目标层 准则层 方案层

  11. “选择旅游地”思维过程的归纳 • 将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。 • 通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。 • 将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。 层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

  12. 层次分析法的基本步骤 成对比较阵和权向量 元素之间两两对比，对比采用相对尺度 设要比较各准则C1,C2,… , Cn对目标O的重要性 选择旅游地 A~成对比较阵 A是正互反阵 要由A确定C1,… , Cn对O的权向量

  13. 不一致 一致比较 成对比较阵和权向量 成对比较的不一致情况 允许不一致，但要确定不一致的允许范围 考察完全一致的情况

  14. 满足 的正互反阵A称一致阵，如 成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 一致阵性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量 对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即

  15. 尺度 1 3 5 7 9 相同 稍强 强 明显强 绝对强 aij = 1,1/2, ,…1/9 的重要性与上面相反 成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij取值1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9 比较尺度aij • 便于定性到定量的转化： 2 4 6 8 • 心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个 • 用1~3,1~5,…1~17,…,1p~9p(p=2,3,4,5), d+0.1~d+0.9 (d=1,2,3,4)等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现， 1~9尺度较优。

  16. 定义一致性指标: n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n 可证：n阶正互反阵最大特征根n, 且=n时为一致阵 CI 越大，不一致越严重 为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下 当CR<0.1时，通过一致性检验 定义一致性比率 CR = CI/RI

  17. 准则层对目标的成对比较阵 一致性指标 “选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验 最大特征根=5.073 权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T 随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 通过一致性检验 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1

  18. 记第2层（准则）对第1层（目标）的权向量为 方案层对C1(景色)的成对比较阵 方案层对C2(费用)的成对比较阵 …Cn …Bn 组合权向量 同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量 最大特征根 12 …n 权向量 w1(3) w2(3) …wn(3)

  19. （2）考虑第3层对第2层 由1–9尺度得

  20. 权向量矩阵

  21. （3）组合权向量

  22. （4）组合一致性检验

  23. 第3层对第2层的计算结果 k 1 2 3 4 5 0.595 0.082 0.429 0.633 0.166 0.277 0.236 0.429 0.193 0.166 0.129 0.682 0.142 0.175 0.668 3.005 3.002 3 3.009 3 0.003 0.001 0 0.005 0 组合权向量 w(2)0.2630.4750.0550.0900.110 RI=0.58 (n=3),CIk均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T

  24. 再谈层次分析法的基本步骤 1）建立层次分析结构模型 深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。 2）构造成对比较阵 用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。 3）计算权向量并作一致性检验 对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。 4）计算组合权向量（作组合一致性检验*） 组合权向量可作为决策的定量依据。

  25. 第1层O 第2层C1,…Cn 第3层P1, …Pm 构造矩阵 组合 权向量 第2层对第1层的权向量 第3层对第2层各元素的权向量 则第3层对第1层的组合权向量 第s层对第1层的组合权向量 其中W(p)是由第p层对第p-1层权向量组成的矩阵

  26. 二. 层次分析法的广泛应用 • 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。 • 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。 • 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。

  27. 通过组合一致性检验 国家综合实力 国民 收入 军事 力量 科技 水平 对外 贸易 社会 稳定 美、俄、中、日、德等大国 工作选择 贡献 收入 发展 声誉 关系 位置 供选择的岗位 例1 国家实力分析 例2 工作选择

  28. 过河的效益 A 经济效益 B1 社会效益 B2 环境效益 B3 进出方便C10 当地商业C4 建筑就业C5 安全可靠C6 交往沟通C7 节省时间C1 收入C2 岸间商业C3 自豪感C8 舒适C9 美化C11 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D3 （1）过河效益层次结构 例3横渡江河、海峡方案的抉择

  29. 过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3 投入资金C1 操作维护C2 冲击渡船业C3 冲击生活方式C4 对水的污染C8 对生态的破坏C9 交通拥挤C5 居民搬迁C6 汽车排放物C7 桥梁 D1 隧道 D2 渡船 D2 （2）过河代价层次结构 例3横渡江河、海峡方案的抉择

  30. 科技成果评价 效益C1 水平C2 规模C3 直接 经济 效益 C11 间接 经济 效益 C12 社会 效益 C13 学术 创新 C22 技术 水平 C23 技术 创新 C24 学识 水平 C21 待评价的科技成果 例4 科技成果的综合评价

  31. 例5 某单位招聘工作人员，考核指标有 x1= “语文知识” x2= “外语知识” x3= “国内外政治经济时事知识” x4= “计算机操作能力” x5= “公关能力” x6= “容貌与气质” x7=“体形高矮与胖瘦” x8= “音色” 由此建立层次结构模型如下：

  32. 0.237 0.348 0.415 0.147 0.346 0.250 0.750 0.492 0.500 0.154 0.361

  33. 评价指标 对应于目标层的权向量 评价公式

  34. 层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛B题： 已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现 的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因 素评价各方案的合理性，设计一种“更好”的方案及相应的 算法。

  35. 一、 问题的提出 已给的29种方案分为两种类型 1、“传统型”采用“10选6+1”方案：投注者从0~9十个号 码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别 号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数 多少及顺序确定中奖等级；

  36. 表1： “传统型” 中奖办法

  37. 2、“乐透型”有多种不同的形式 如“33选7”的方案：投注者从01~33个号码中 任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码 与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等 级，不考虑号码顺序。

  38. 表2： “透乐型”（7/33）中奖办法

  39. 二、各方案各奖项获奖概率的计算 29种方案的获奖概率分为4类 ： • K1：10选6+1型，带限定条件的可重复排列； • K2：n选m型，有特别号码，带限定条件的组合； • K3：n选m+1型，有特别号码，带限定条件的组合； • K4：n选m型，无特别号码，组合；

  40. 三、各高项奖奖金额的计算 [当期销售总额×总奖金比例– 低项奖总额] ×单项奖比例 一等奖奖金额 （万元） 其中：maxN为单注封顶金额；minN为单注保底金额；Qij 为第 i 种方案得第 j 等奖的单项奖比例；M为当期销售总 额；n为低项奖总额； Q为总奖金比例。

  41. 四、层次分析模型

  42. 2层对1层成对比较矩阵： 风险喜好者偏好风险回避者偏好 3层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作 比值，得3个29×29的矩阵B1，B2及B3。

  43. 考虑风险喜好者偏好，“29选7”为最佳方案 ，奖金 分配见下表： 考虑风险回避者偏好，“60选5”为最佳方案 ，奖金 分配见下表：

More Related