Проблемы устойчивости пучка в коллайдере NICA.

1. Проблемы устойчивости пучка в коллайдере NICA. А. Е. Большаков, П.Р.Зенкевич

2. Оглавление. • Параметры накопителя НИКА. • Линейные кулоновские эффекты. • Нелинейные кулоновские эффекты. • Программа численного моделирования динамики частиц. • Результаты численного моделирования для N=1000. • Анализ зависимости динамической апертуры (ДА) от времени циркуляции пучка. • Расчет предела по коллективным неустойчивостям (coastingbeaminstabilities).. • а) Поперечные неустойчивости несгруппированного пучка • б) Микроволновая неустойчивость. • Заключение. • Дальнейшая программа исследований.

3. Параметры кольца

4. Линейные кулоновские сдвиги бетатронных частот и выбор энергии ионов для численного моделирования. • Линейный сдвиг бетатронной частоты из-за межпучкового взаимодействия • Для сгустка ионов с симметричным Гауссовским распределением линейный сдвиг бетатронной частоты в центре сгустка определяется следующей формулой • В этой формуле фактор группировки - весьма большое число. При выборе параметров машины предполагалось, что • Из этих формул найдем, что

5. Линейные кулоновские сдвиги бетатронных частот и выбор энергии ионов для численного моделирования. • В области низких кинетических энергий интенсивность ограничивается кулоновским сдвигом. Заметим, что межпучковый и однопучковый кулоновский эффект имеют разный механизм действия: межпучковый эффект приводит в возникновению полного набора резонансных гармоник нелинейных резонансов бетатронных колебаний, в то время как однопучковый кулоновский сдвиг, в основном, не создает таких резонансов. При заданном полном сдвиге параметр межпучкового взаимодействия падает как с уменьшением энергии частицы как , поэтому точка с T=3ГэВ/н является наиболее опасной также и в диапазоне низких энергий. С учетом этих соображений для расчета ДА была выбрана наиболее опасная точка с =3 ГэВ. В этой точке , . • Видно, что однопучковые эффекты в 20 рвз сильнее межпучковых, поэтому надо соблюдать особую осторожность при их численном моделировании.

6. Нелинейное кулоновское взаимодействие частиц в сгустке 1. • Нелинейное кулоновское взаимодействие приводит к следующим эффектам: • Нелинейной зависимости частоты от амплитуды. • Зависимости бетатронной частоты от амплитуды и фазы синхротронных колебаний. • Возникновению нелинейных бетатронных резонансов. Нелинейный кулоновский сдвиг для круглого Гауссовского пучка определяется следующей формулой Здесь - модифицированная функция Бесселя нулевого порядка, J - нормализованный» инвариант. Из-за зависимости плотности частиц от продольной координаты zсдвиг бетатронной частоты на оси пучка Для линейных синхротронных колебаний с амплитудой

7. - Зависимость ширины резонанса от амплитуды колебаний была исследована Кейлом. Абсцисса – амплитуда в единицах . . Ордината - , где есть ширина резонанса в единицах . Порядок резонансов p=4,6,8,10,12 в направлении сверху вниз. .

8. Нелинейное кулоновское взаимодействие частиц в сгустке 2 • Осцилляции кулоновского сдвига бетатронной частоты в процессе синхротронных колебаний приводит к пересечению резонансов поперечных бетатронных резонансов. Изменение амплитуды частицы при пересечении резонанса зависит от ширины резонанса и скорости его пересечения. При малой скорости пересечения возможно явление «затягивания» в резонанс [, при большой скорости пересечения возникает эффект модуляционной диффузии.Сами эти резонансы создаются всеми внешними и внутренними полями, присутствующими в кольце. • Остановимся теперь на возбуждении резонансных гармоник силами однопучкового взаимодействия. Используя формулу Кейла как функцию Грина, мы вывели следующее выражение для ширины гармоники, создаваемой кулоновскими полями • В этой формуле параметр Анализ этой формулы показывает, что в силу непрерывности кулоновских сил, как правило, Таким образом, мы должны выбирать размещение элементов, симулирующих кулоновские силы, так, чтобы они не возбуждали нелинейные гармоники.

9. Методика численного моделирования1. • Расчеты динамики пучка производились с помощью программы MADX с учетом следующих факторов, вносящих нелинейные возмущения движения: • Магнитное поле секступольных линз системы компенсации хроматичности. • 2. Систематические ошибки магнитного поля в поворотных магнитах и cлучайные ошибки магнитного поля в поворотных магнитах, среднеквадратичная величина которых принята равной 1/3 от систематических ошибок. • 3. Силы межпучкового взаимодействия в двух точках встречи пучков. • 4. Силы пространственного заряда пучка. Расчет динамики пучка выполнялся в приближении "тонких линз", что обеспечило симплектичность процедуры расчета .Расчеты проводились с учетом синхротронного движения пучка; для этого в структуру вводился резонатор с напряжением 1 МВ. Начальное распределение в шестимерном фазовом пространстве предполагалось Гауссовским, количество частиц составляло 20000-200000, число оборотов частиц – до 100000. Влияние пространственного заряда пучка моделировалось внесением “beam-beam” элементов, распределенных по кольцу и расположенных в центре элементов структуры накопителя. Заметим, что в программе MADX предусмотрено два вида “beam-beam” элементов: для встречных пучков и для пучков, двигающихся в одном направлении (такие “beam-beam” элементы используются, в частности, для численного моделирования взаимодействия с пучком системы электронного охлаждения). В программе может изменяться знак заряда и сила тока. Именно такие “beam-beam” элементы для пучков, двигающихся в одном направлении, и были использованы для численного моделирования однопучковых сил кулоновского взаимодействия. Учет зависимости силы пространственного заряда от расстояния частицы от центра сгустка достигается варьированием силы “beam-beam” линзы в зависимости от продольной координаты частицы.

10. Методика численного моделирования2. Подчеркнем, что расстановка этих элементов по кольцу является нетривиальной задачей. Основная проблема состоит в том, что эти элементы следует размещать так, чтобы не возбуждать гармоники нелинейных резонансов. При кулоновском сдвиге 0.05 мгновенные бетатронные частоты находятся в следующем диапазоне: 9.38 - 9.42. В эту область попадают следующие нелинейные резонансы низших порядков: резонанс 10 порядка (номер гармоники k=94) и резонанс 12 порядка (номер гармоники k=113). Ввиду четности структуры резонанс 12 порядка не наблюдается; основную опасность представляет резонанс 10 порядка с четным номером гармоники. Для того, чтобы сделать точное интегрирование, необходимо не менее 8 BB элементов на длину волны; при этом полное число элементов должно быть не менее 756 (8*94). Поэтому был применен следующий искусственный прием: линзы пространственного заряда были размещены только в арках в середине каждого магнита (в пустых периодах в середине missing magnet). Заметим, что при этом сдвиг фазы гармоники на период . Таким образом, каждый следующий период арки «гасит» предыдущий, и при четном числе ячеек амплитуда 10 гармоники, создаваемой нашими линзами, близка к нулю. Для иллюстрации мы рассмотрели фазовые портреты частицы при двух размещениях “beam-beam” элементов: размещение, где эти элементы размещены по всему кольцу, и размещение, где они размещены только в арках. На Рис. 3 приведена фазовая траектория частицы после 500000 оборотов для варианта размещения BB элементов только в арках.

11. Фазовая траектория частицы после 500000 оборотов., амплитуда колебаний по импульсу

12. ( Распределение погибших частиц в пространстве поперечных инвариантов. Левый рисунок – , правый рисунок Амплитуда колебаний по импульсу .

13. Обработка диаграмм потерь • Введем параметр , определяющий стабильность движения, и рассмотрим частицу со значениями инвариантов . Для нее . Подставляя эти выражения в формулу для параметра ; и учитывая, что аксептанс камеры и , получим, что . В случае накопителя НИКА • и . В связи с этими соображениями для численной оценки ДА выполнялась следующая процедура: • Область выживания по делилась на равные интервалы с шириной . Для каждого интервала определялось значение вертикального инварианта , минимального для всех потерянных частиц, расположенных в данном интервале (такой обработанный график приведен на следующем рисунке). • Определялась величина , представляющая собой минимум из всех значений • Определялась величина .

14. “Огибающая” области жизни в зависимости от числа оборотов частиц.Амплитуда колебаний по импульсу

15. Зависимость минимального значения инварианта от параметра . Число макрочастиц =20000, число оборотов =1000.

16. Зависимость ДА от параметра . Число макрочастицN=20000, число оборотов отмечено на графике.

17. Зависимость динамической апертуры от числа оборотов частиц

18. Нестабильности несгруппированного пучка • Неустойчивости, аналогичные по своей природе неустойчивостям несгруппированного пучка, могут возникать в сгустке при выполнении следующих условий : • Длина волны возмущения много меньше длины сгустка, т.е. • Время развития неустойчивости много меньше синхротронного периода. Это последнее условие можно записать в следующей форме: В этой формуле . Нормализованная (деленная на частоту обращения) синхротронная частота для пучка с нулевой интенсивностью определяется следующей формулой: • Подставляя численные значения параметров, найдем, что нормализованная синхротронная частота . Мы видим, что в этом последнем варианте синхротронная частота заметно выше, что связано с большой амплитудой ВЧ напряжения и удалением от критической энергии.

19. Поперечная неустойчивость несгруппированного пучка • Для монохроматического пучка комплексный сдвиг бетатронной частоты из-за действительной части поперечного импеданса определяется следующим выражением: • При использовании модели широкополосного резонатора достигает максимального значения на частоте среза . Соответствующий номер моды • Подставляя это выражение в формулу для числа длин волн на длине сгустка, найдем, что условие возникновения такой неустойчивости : • Для наших условий , , что указывает на возможность возникновения такой неустойчивости. Эта неустойчивость подавляется разбросом по импульсу. Условие подавления (критерий Зоттера) имеет следующий вид: Подставляя числа, найдем, что необходимое значение , что меньше расчетного разброса по импульсу ( ). Таким образом, эта неустойчивость подавляется затуханием Ландау и не представляет опасности.

20. Микроволновая неустойчивость • Эта неустойчивость, типичная для несгруппированных пучков, может возникнуть в сгруппированных пучках при тех же условиях, что и аналогичная поперечная неустойчивость. Обычно предполагают, что driving force для микроволновой неустойчивости также является импеданс широкополосного резонатора. Инкремент этой неустойчивости определяется следующим выражением: • Подставляя числа, получим, что . Имея в виду, что , мы видим, что микроволновая неустойчивость может развиваться только при , что представляется маловероятным (как правило, в разумно спроектированном кольце около 0.5-1 Ом). • В случае, если мкв неустойчивость для монохроматического пучка все же успевает развиться, она может подавляться затуханием Ландау из-за разброса по импульсам. Этот критерий устойчивости (критерий Кейла-Шнелля) для Гауссовского распределения записывается в следующей форме: Отсюда найдем, что требуемый разброс по импульсу , что меньше разброса в пучке по импульсам

21. Заключение. • Расчеты показали, что основным коллективным эффектом является гибель частиц из-за нелинейного кулоновского поля; когерентные неустойчивости (по крайней мере, неустойчивости, типичные для несгруппированного пучка) для данного варианта структуры накопителя не представляют серьезной угрозы. • При численном моделировании гибели частиц следует соблюдать особую осторожность. Мы моделировали динамику с помощью программы MADX, в которую вводятся «beam-beam” элементы для пучков с одинаковым направлением движения. На основе разработанной теории предложена конфигурация “beam-beam” элементов для накопителя НИКА, позволяющая при ограниченном числе таких элементов (порядка 100) подавить гармоники, наведенные однопучковыми кулоновскими силами. • С помощью программы MADX исследовано влияние различных факторов возмущения движения на ДА. Показано, что основными причинами уменьшения ДА являются систематические ошибки магнитного поля в поворотных магнитах, магнитное поле секступольных линз системы компенсации хроматичности и однопучковые кулоновские эффекты. • Показано, что значение ДА сильно зависит от числа оборотов частицы в кольце. В силу ограниченных возможностей ПК мы были вынуждены ограничиться . При таком числе оборотов значение , что меньше физической апертуры кольца. Необходимо значительно повысить вычислительную мощность, чтобы увеличить на 1-2 порядка и достичь асимптотического значения (если оно существует). При отсутствии такого асимптотического значения понятие ДА лишено физического смысла, и необходимо от расчетов ДА перейти к расчету потерь и времени жизни пучка.

22. Дальнейшая программа исследований. • Учесть новые результаты магнитных измерений для магнитов коллайдера. • Учесть влияние на ДА искажений замкнутой орбиты и бета-функции из-за случайных возмущений поля и градиента. • Усовершенствование системы коррекции хроматичности для коррекции зависимости бета-функции в точке встречи от импульса. • Освоить программу Франкетти (GSI) MICROMAP. • Сравнить результаты этой программы с результатами MADX (validation). • Провести расчеты для возможно большего числа оборотов (миллион и более). • Проанализировать устойчивость других когерентных мод колебаний пучка с учетом конкретного вида источников импеданса в накопителе НИКА. • Проанализировать зависимость ДА от рабочей точки в клетке бетатронных колебаний.