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MATEMATICA II

MATEMATICA II. Planos en el espacio. ¿Cómo se puede determinar de manera única un plano en el espacio?. Eje Z. Eje Y. Eje X. Tres puntos no alineados P, Q, R. Q. P. R. Eje Z. Eje Y. Eje X. Un punto P y direcciones no paralelas u, v. u. P. v. Eje Z. Eje Y.

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MATEMATICA II

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Presentation Transcript

  1. MATEMATICA II Planos en el espacio

  2. ¿Cómo se puede determinar de manera única un plano en el espacio?

  3. Eje Z Eje Y Eje X Tres puntos no alineados P, Q, R Q P R

  4. Eje Z Eje Y Eje X Un punto P y direcciones no paralelasu, v u P v

  5. Eje Z Eje Y Eje X Un punto P y un vector ortogonal   P

  6. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  que pasa por P0 y es ortogonal a ?

  7. Eje Z P (x,y,z)  P0 Eje Y Eje X P-Po si y sólo si P(x,y,z)    P-Po

  8. Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) y es ortogonal a =(a,b,c) El punto P(x,y,z)  si y sólo si   P-Po, es decir si .(P-Po)=0  (a,b,c).(x-xo, y-yo, z-zo)=0. a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)=0  ax+by+cz=axo+byo+czo Si d= axo+byo+czo Ecuación normal del plano  ax+by+cz=d

  9. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P para estar en el plano  determinado por las direcciones no paralelas u, v y el punto P0?

  10. P Eje Z Po u v Eje Y Eje X tu+sv tu PoP sv O

  11. Ecuación del plano  que pasa por P0(xo,yo,zo) con vectores directores u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) P(x,y,z)  si y sólo si (x,y,z)=(xo,yo,zo)+t(u1,u2,u3)+s(v1,v2,v3)  Ecuaciones paramétricas del plano 

  12. ¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto para estar en el plano  que pasa por los puntos no alineados P,Q, R?

  13. Q P R Pasa por P con normal =(Q-P)x(R-P) Pasa por P con vectores directores u=(Q-P) y v=(R-P)

  14. ax+by+cz=dEcuación normal (a,b,c)= Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3)

  15. Ecuación del plano  que pasa por los tres puntos no alineados P(p1,p2,p3), Q(q1,q2,q3), R=(r1,r2,r3) Ecuaciones paramétricas

  16. Ejercicio Nº1 Encuentre el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0), R(-3,2,1) de tres maneras distintas

  17. Ejercicio Nº2 Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por (4,-2,5) y (0,2,4)

  18. Ejercicio Nº3 y : 3x-2y+6z=-5 Sea L: Hallar la ecuación de la recta perpendicular al plano , que pasa por el origen. Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta L y pasa por el origen.

  19. Ejercicio Nº4 y : x-y+z=1 Sea L: Hallar la distancia de la recta L al plano .

  20. Solución Nº1: PQ=(-1,2,-1) y PR=(-5,2,0) =(2,5,8) 2x+5y+8z=2.2+5.0+8.1 2x+5y+8z=12

  21. Solución Nº1: Vectores directores del plano: u=(-1,2,-1) y v=(-5,2,0) Ecuaciones paramétricas

  22. Pasar de las ecuaciones paramétricas a la ecuación normal

  23. Solución Nº1: Un punto (x,y,z) en el plano debe satisfacer la ecuación: ax+by+cz-d=0 Como (2,0,1), (1,2,0) y (-3,2,1)están en el plano, se debe cumplir: Sistema homogéneo en la variables a,b,c,d que debe tener infinitas soluciones.

  24. Por lo tanto, el determinante de la matriz del sistema debe ser nulo 2x+5y+8z-12=0

  25. Solución Nº2: El vector director de la recta es el vector normal al plano. Como la recta pasa por (4,-2,5) y (0,2,4) Su vector director es: (4,-4,1) =(4,-4,1) 4(x+2)-4(y-3)+(z-4)=0 Ecuación del plano: 4x-4y+z+16=0

  26. Solución Nº3: El vector director de la recta debe ser paralelo al vector normal al plano, por lo tanto =(3,-2,6). Como además debe pasar por el (0,0,0), la ecuación de la recta buscada es:

  27. u v Solución Nº3: Para encontrar el vector normal al plano tomamos primero dos vectores en el plano y como el (0,0,0) queremos que esté en el plano, esto equivale a tomar dos puntos cualesquiera sobre la recta, por ejemplo, para valores de t=0, 1 obtenemos u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) =(8,-16,-4) Ecuación normal: 2x-4y-z=0

  28. u v Solución Nº3: Otra forma es tomar u=(3,1,2) y v =(1,-1,6) como los vectores directores del plano y hallar las ecuaciones paramétricas Ecuación paramétricas del Plano

  29. d Solución Nº4: Vector director de la recta u=(1,2,1) Vector normal del plano =(1,-1,1) (1,2,1).(1,-1,1)=0  u    L y  son paralelos Sustituimos las ecuaciones de L en la del plano y obtenemos: ¿(1+t)-(2+2t)+(3+t)=1? 21 La recta y el plano no se cortan

  30. d Solución Nº4: Un punto de la recta Q=(1,2,3) Un punto del plano P=(1,1,1) PQ=(1,2,3)-(1,1,1)=(0,1,2)  Q P

  31. POSICIONES RELATIVAS ENTRE DOS PLANOS • Paralelos: • Sus vectores normales son paralelos • Ortogonales: • Sus vectores normales son ortogonales

  32. La intersección de dos planos puede ser: • Un plano • Son paralelos • Una recta: • Son secantes • El conjunto vacío • Son paralelos

  33. La intersección de un plano y una recta puede ser: • Una recta • La recta está incluida en el plano • Un punto: • Son secantes • El conjunto vacío • El vector director de la recta es ortogonal al normal del plano

  34. ANGULOS ENTRE PLANOS Y RECTAS • El ángulo entre dos rectas es el formado por sus vectores directores • El ángulo entre dos planos es el formado entre sus vectores normales • El ángulo entre una recta y un plano es el complementario del formado entre el vector director de la recta y el vector normal al plano

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