离散数学

1. 离散数学 武夷学院数学与计算机系教授 张廷枋 3

2. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 （本节仅讨论集合 A 上的二元关系） 一、自反性与反自反性 1.定义： 设 R 是集合 A 上的二元关系， （1）若 有 则称 R 在 A 上是自反的； （2）若 有 则称 R 在 A 上是反自反的。 2. 例：

3. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 二、对称性与反对称性 1.定义： 设 R 是集合 A 上的二元关系， （1）若 则 称关系 R 是对称的，或称 R 具有对称性； （2）若 且，那么 称关系 R 是反对称的，或称 R 具有反对称性。 2. 例：

4. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 三、传递性 1.定义： 设 R 是集合 A 上的二元关系，如果 且 那么 ，则称关系 R 是传递的，或称 R 具有传递性。 2.例：

5. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 四、关系性质的判断 （1）利用集合运算判断： 定理：设 R 是集合 A 上的二元关系，则 ① ② ③ ④ ⑤ （2）根据关系图判断： （3）根据关系矩阵判断：

6. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 五、关系性质的保守性 所谓关系性质的保守性即研究关系在各种运算下能否保持它们原有的特性。 定理：设 R，S 是集合 A 上的二元关系，则 （1）若 是自反的，则 也是自反的。 （2）若 是反自反的，则 也是反自反的。 （3）若 是对称的，则 也是对称的。

7. 第二章 二元关系 2.3 关系的性质 五、关系性质的保守性 所谓关系性质的保守性即研究关系在各种运算下能否保持它们原有的特性。 定理：设 R，S 是集合 A 上的二元关系，则 （4）若 是反对称的，则 ， 也是反对称的。 （5）若 是传递的，则 也是传递的。 结论：逆运算与交运算具有较好的保守性。

8. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 设 R 是集合 A 上的二元关系，我们希望 R 具有某些有用的、好的性质，比如说对称性，如果 R 不具有此性质，我们可以通过在 R 中添加最少数量的有序对来扩充 R，得到新的关系 R’，使得 R’ 具有所需的性质。 从而有关系闭包的概念。

9. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 一、关系闭包的定义 定义：设 R 是非空集合 A 上的二元关系，R 的自反（对称或传递）闭包是 A 上的关系 ，使得 满足以下条件： （1） 是自反的（对称的或传递的）； （2） （3）对 A 上任何包含 R 的自反（对称或传递）关系 ，有 （最小性）。 通常 R 的自反闭包记作 ，对称闭包记作 ，传递闭包记作 。

10. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 二、构造关系闭包的方法 1. 定理：设 R 是集合 A 上的二元关系，则 （1） （2） （3） 2.推论：设 R 是 n 元集 A 上的二元关系，则存在正整数 r 使得

11. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 三、关系闭包的性质 1. 定理：设 R 是非空集合 A 上的二元关系，则 （1） （2） （3）

12. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 三、关系闭包的性质 2. 定理：设 是非空集合 A 上的二元关系，且 ，则 （1） （2） （3）

13. 第二章 二元关系 2.4 关系的闭包 三、关系闭包的性质 3. 定理：设 R 是非空集合 A 上的二元关系，则 （1）若 R 是自反的，则 与 也是自反的； （2）若 R 是对称的，则 与 也是对称的； （3）若 R 是传递的，则 也是传递的。

14. 第二章 二元关系 作业：P68—P70, 习题二 • 2.13，2.20，2.25 • 预习： 第2章 §2.5 等价关系， P58—P62

15. 谢谢！Thank you!