离散数学

离散数学 武夷学院数学与计算机系教授张廷枋 7

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 1. 命题公式的等价定义：设是两个命题公式，若构成的等价式为重言式，则称与是等值的，记作。（注意：表示命题公式与的一个等价关系，不同于联结词）

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 2. 用真值表法判断命题公式的等价： 3. 基本的命题定律（等值演算基础）（1）双重否定律：（2）幂等律：（3）交换律：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 3. 基本的命题定律：（4）结合律：（5）分配律：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 3. 基本的命题定律：（6）德摩根律：（7）吸收律：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 3. 基本的命题定律：（8）零律：（9）同一律：（10）排中律：（11）矛盾律：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 3. 基本的命题定律：（15）等价否定等值式：（16）归谬论：例：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵一、命题公式的等价 4. 命题公式的化简：命题公式的化简是指将给定的命题公式通过等值演算化为一个与其等值且含“联结词最少”的命题公式。替换规则：设有恒等式，若在 C 中出现 A 的地方，替换以 B（不必每一处）而得到公式 D ,则。例：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 1. 命题公式的蕴涵定义：设是两个命题公式，若构成的蕴涵式为重言式，则称蕴涵，记作。（注意：表示命题公式与的一个偏序关系，不同于联结词）

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 2. 定理：当且仅当任意一种真值指派下都有。 3. 定理：当且仅当且。

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 4. 基本蕴涵公式：（1）化简式：（2）附加式：（3）化简变形式：（4）附加变形式：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 4. 基本蕴涵公式：（5）析取式：（6）假言推论：（7）拒取式：（8）假言三段论：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 4. 基本蕴涵公式：（9）二难推论：（10）合取构造二难：

第三章命题逻辑 3.4 命题公式的等价、蕴涵二、命题公式的蕴涵 4. 基本蕴涵公式：（11）析取构造二难：（12）前后件附加：

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式一、对偶原理 1. 对偶公式定义：设公式仅含联结词，为将中符号分别换为后所得的公式，称为的对偶式。显然与互为对偶，即。

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式一、对偶原理 2. 对偶原理：（1）定理：设与互为对偶式，是出现在和中的命题变元，则 ① ②

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式一、对偶原理 2. 对偶原理：（2）定理：设与是两个命题公式，若，则。证明：

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 1. 一些术语：（1）文字：命题常元、命题变元及它们的否定称为文字。（2）互补文字对：指形如（为文字）的一对字符。

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 1. 一些术语：（3）析取子式：文字或者若干文字的析取式称为析取子式。（4）合取子式：文字或者若干文字的合取式称为合取子式。例：

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 2. 析取子式与合取子式的性质：定理：析取子式恒真当且仅当子式中含有互补文字对；合取子式恒假当且仅当子式中含有互补文字对。证明：

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 3. 范式的定义（1）析取范式定义：由有限个合取子式构成的析取式称为析取范式。它的形式为，其中都是合取子式。例：

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 3. 范式的定义（2）合取范式定义：由有限个析取子式构成的合取式称为合取范式。它的形式为，其中都是析取子式。（3）析取范式与合取范式统称为范式。

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 4. 范式存在定理定理：任一命题公式都存在与之等值的析取范式与合取范式。证明：（析取范式与合取范式都不是唯一的）

第三章命题逻辑 3.5 对偶与范式二、析取范式与合取范式 5. 求范式的步骤（1）消去联结词；（2）否定号的消去或内移（利用双重否定律或德摩根律）；（3）利用分配律，利用对的分配律求析取范式，利用对的分配律求合取范式。

第三章命题逻辑 作业：P94—P95, 习题三 3.9、3.10（3）（4） 3.11（2）（4） • 预习：第3章 • §3.5.3、§3.6，P85—P93

谢谢！Thank you!