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2.小波分析的基本理论. 2.1 引言 2.2 小波发展的历史 2.3 小波变换发展概述 2.4 小波分析理论的主要内容. 2.1 引言.
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2.小波分析的基本理论 • 2.1 引言 • 2.2 小波发展的历史 • 2.3 小波变换发展概述 • 2.4 小波分析理论的主要内容
2.1 引言 • 小波(Wavelets)分析理论是自1986年发展起来的一个新的数学分支，是Fourier分析划时代的发展结果。从人们对Fourier分析进行了推广和研究以后，相继提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时Fourier变换、Gobar变换、时频分析、小波变换、Randon－Wigner变换、分数阶Fourier变换、线调频小波变换、循环统计量理论和调幅－调频信号分析等。其中，小波变换理论是注意到传统Fourier变换不能满足某些信号处理的要求而产生的，其最初的理论思想可追溯到1909年haar的工作。从现代小波分析的发展来看，曾在1930年前后出现许多与小波有关的新研究方向，
其中Levy, Littlewood与Paley, Fanklin及Lusin的工作显得尤为突出；与最近小波分析有关的主要工作是1960年Calderon及1980年Grossman的研究，后人称其为“原子分解”。现在，由于它对理论研究和工程应用方面的价值和实用意义，小波分析理论一直是国际学术交流的热点之一，并成为目前在许多科学和工程技术聚会中的一个非常广泛的话题。有些人认为小波可以作为表示函数的一种新的基底；还有些人认为小波可以作为时间－频率分析的一种技术；而另外有些人则把小波看作是一个新的数学学科。所有这些看法都是有它的道理的，因为“小波”是一种具有非常丰富的数学内容、有着巨大应用潜力的、多方面适用的工具。
2.2 小波发展的历史 • 1. 信号、图象与小波 信号与图象处理总要导致技术或方法的聚集，信号与图象处理可统一看着信号处理。目前，信号处理已经成为当代科学技术发展的重要组成部分，已广泛使用于通信（电话、电视与数据传输），卫星图象的发射与分析，医学成像（B超，CT，核磁共振），等所有这些都涉及复杂的时间序列的分析与说明。信号处理的目标是准确的分析，有效的编码，快速的传递，仔细的重构。其任务就是分析与诊断，编码，量化与压缩，传递或储存，识别，合成或重构。信号可分为稳定信号与非稳定信号。这些任务形成了科研工作者对数学处理方法的继续研究。
2. 由Fourier到Haar • Fourier在1807年曾断言：任何一个周期 函数 都是它的“Fourier级数”的和，一个波形Fourier变换的实质是：把这个波形分解成许多不同频率的正弦波之和，Fourier变换的图形表示就是一张显示每个被确定正弦波的振幅和频率的图。
然而，在1873年，P. Du Bois—Reymond构造了一个实变量x的 周期连续函数，它的Fourier级数在给定的点是发散的。最适合于Fourier级数的函数类是Lebesgue建立的，避免Du Bois—Reymond提出困难问题的第二个途径是修改收敛的定义，这方面的进一步研究形成调和分析。第三条路线导致小波的产生，按照Haar当时的情形，他提出这样一个问题：是否存在定义于[0，1]上函数另外的正交族 ，使对于任一[0，1]上连续函数，级数：
在[0，1]上一致收敛于 ？ • 1909年发现了最简单的解，同时，打开了通向小波的道路。Haar从函数 开始，其中 • 为了构造 的一个基，对于 进行“收缩”与平移，Haar构造只适合于[0，1]上的连续函数，平方可积函数，即只适合于正规指标接近于零的函数，Haar族与 的内接折线逼近的这两思想的缺陷导致Faberhe和 Schauder用原函数想法代替Haar族函数 。并定义了一个“三角形函数”。
30年代的研究 • 1．Levy 与Brownian运动 • Brownian运动是一个随机信号，为得到Brownian运动的表示，对于常用的Hilbert空间 选取一个特殊的正交基，则就必须挑选Fourier表示。为实现这个想法，给出了[0，1]上的Brownian运动， • Levy的结果是：为验证对于几乎所有 ，函数 属于Holder空间，只需证明 。如果对于几乎所有 ，有 ，那么，Brownian运动的轨迹就总是属于空间 。
. Littlewood与Paley的工作 • 我们知道，表示能量平均值的积分可直接用Fourier系数的平方和给出，对于能量平均值的积分计算，所需信息在 的Fourier级数中隐藏着，1930年，Littlewood与Paley发现了揭示所需信息的方法，他们由 的Fourier级数定义“二进块” 。
Franklin族 • 1927年，Franklin建立了一个正交基，这个正交基是由 Schauder基用Gram-Schmidt正交化过程得到的。得到的正交基是 • 这个序列称为Franklin族，Franklin族具有Haar基和Schauder基两者的优点它能够分解中 的任意函数，但它不具有一个简单的算法结构。
Lusin 小波 • Lusin的研究目标是Hardy空间 ，其中， 。令P表示 用与y>0定义的开的上半平面。那么，如果函数 在半平面P中是全纯的，并且， • 则 属于 。
原子分解与小波分析 • G. Weiss与R. Coifman首先断定，前边Lusin理论是借助于“原子”与“原子分解”。所谓“原子”是一个函数空间最小的元素，理论上的目的是对于常用的函数空间求的（1）原子；（2）使用这些原子对函数空间所有元素重构的“装备法则”最简单的原子分解用Haar组给出，从现代小波理论看，Franklin基也适用，而Franklin基与Littlewood-Paley分析自然连系着。“原子分解”途径之一由Calderon恒等式给出。
Grossmann与Morlet在Calderon 20年后的1980年重新发现了这个恒等式，他们定义小波为： • 在其分析和综合中， 小波起到正交基的作用。 • 小波的第一个定义属于Grossmann与Morlet：一个小波是 的一个函数 ，它的Fourier变换几乎处处满足条件
小波的第二个定义由Littlewood-Paley-Stein理论修改而成：一个小波是 的一个函数 ，它的Fourier变换 几乎处处满足条件： • 小波的第三个定义归功于Frankilin 和Stomberg：一个小波是 的一个函数 ，使 • 是 的一个正交基。
小波分析 • 1985年数字图象处理方面的专家S. Mallat有了一个新的出发点，他发现下述三者之间的紧密联系： • 1.Croissier, Esteban, Galand对于数字电话发明的正交镜像滤波器； • 2.在数值图象处理方面使用的Burt与Adelson的金字塔算法； • Stromberg与他的合作者发现的正交小波基。 • 进而总结出了 多分辨分析 。
2.3 小波变换发展概述 • 1.1807年，傅立叶分析 • 2.1965年，快速傅立叶变换 • 3.1946年，提出“窗口傅立叶变换（短时傅立叶变换）， • 4.1981年，连续小波变换及逆变换的理论形成。 • 5.1986年，多分辨率思想的形成 • 6.1988年，紧支集正交小波基的给出，完成快速小波变换从理论到实践的转化 • 7.1998年，以实数为特征的正交小波基
8.1992年，快速小波包变换算法，成功应用于语音和图象的压缩。8.1992年，快速小波包变换算法，成功应用于语音和图象的压缩。 • 9.同年，多分辨率分析中的尺度函数得到了详尽的充实。 • 10.1994年，提升方案的概念的提出，后来，在提升方案的基础上提出第二代小波的概念。 • 11.近年，国内学者在非线性小波变换和软件编程方面做了大量的工作。
2.4 小波分析理论的主要内容 • 1.Fourier变换和小波分析 区别与联系： • 联系是：小波是在Fourier变换的形式下被定义和刻画的，是在Fourier变换的基础上延伸出来的一个分支，并有不同的功能。 • 两者相比较主要有以下不同： • (1)Fourier变换的实质是把能量有限信号 分解到以 为正交基的空间上去；小波变换的实质是把能量有限信号 分解到 和 所构成的空间上去。
(2)Fourier变换用到的基本函数具有唯一性；小波分析用到的函数不具有唯一性。(2)Fourier变换用到的基本函数具有唯一性；小波分析用到的函数不具有唯一性。 • (3)在频域中，Fourier变换具有较好的局部化能力，在时域中，Fourier变换没有局部化能力，而小波变换具有较好的局部化能力。 • (4)在小波分析中，尺度 越大相当于Fourier变换中 越小。 • (5)在Fourier变换中，变换系数主要依赖于信号在 中的情况。小波变换中，则主要依赖于信号在 中的情况。
(6)若用信号通过滤波器来解释，对于Fourier变换，带通滤波器的带宽与中心频率无关，小波变换带通滤波器的带宽与中心频率成正比。 • (7)小波变换输出为二维函数，Fourier变换输出一维函数。 • (8)Fourier变换平等地感应信号的每一部分，善于能谱的整体估计（稳定信号）。小波变换敏感于信号的变化(差值)（非稳定信号），应用于边缘检测和数据压缩。 • （9）运算方法和物理意义上也有区别。
小波和小波变换的定义 • 小波 • 简单地讲，就是一个“小”的波形，正负起伏均匀并具有一定的收敛性，向两端快速衰减趋向于零的一个波。 • 对于一个基本小波 ，令： • 称 是由 生成的依赖参数 的连续小波。
2)小波变换(Wavelet Transform) • 对于小波变换，我们可以这样形象地描述：用镜头观察待分析信号 ， 代表镜头所起的作用(例如：滤波或卷积)。相当于使镜头相对于目标平行移动， 的作用相当于镜头向目标推进或远离：当尺度 较大时视野宽而分辨率低，可以作概貌的观察；当尺度 较小时视野窄而分辨率高，可以作细节观察。这种由粗及细对事物的逐级分析被称为“数学显微镜”。
定义：对于 为一连续小波，定义 • 为 的连续小波变换(CWT)，简称小波变换。 • 其核函数与窗口傅立叶核函数的相似之处： • 均为平移参数， 都是频率参数。
WT和FT不同之处： • a 的变化将导致核函数 在频率和窗口宽度的变化，而 的变化只改变核函 数 的频率。这就是小波变换和窗式Fourier变换的最本质的区别。 小波函数的选取与构造：选择恰当的小波函数族，可以很好地分析信号的特征。相反，若小波函数族的选取不正确，对信号进行小波变换之后，信号在小波函数族上的投影系数很可能淹没信号的特征。
从实际应用的角度来看，目前系统提供的几种小波函数是远远不够的，因为对于一个具体的待分析信号，一般小波函数都能对其进行小波分析处理，但是其分析的效果会因为所选取的小波函数的不同而有较大的差别。对于一个具体的信号，往往有某个专门的小波函数对于信号的分析具有最佳的效果。从实际应用的角度来看，目前系统提供的几种小波函数是远远不够的，因为对于一个具体的待分析信号，一般小波函数都能对其进行小波分析处理，但是其分析的效果会因为所选取的小波函数的不同而有较大的差别。对于一个具体的信号，往往有某个专门的小波函数对于信号的分析具有最佳的效果。 • 在进行信号的特征分析之后，根据信号的特征，结合小波函数的类型以及好基选取的基准，我们可以选取或构造出所需要的小波函数。
常用小波函数 • 1) Haar小波 • 2)Daubechies(dbN)小波系 • 3) Morelet(morl)小波 • 4)Mexican Hat(Maar)小波 • 5)Meyer函数 • 6)Shannon小波
