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Soyez les bienvenus!. Présentation dans le cadre du congrès mathématique Dédra -MATH- isons Le 22 avril 2009 Travail réalisé par Thomas Van Himbeek , Son, Nicéphore Bayekula , Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie Avec l’aide de M. Bolly Collège Saint-Michel.

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Presentation Transcript
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Soyez les bienvenus!

Présentation dans le cadre du congrès mathématique

Dédra-MATH-isons

Le 22 avril 2009

Travail réalisé par Thomas Van Himbeek, Son, Nicéphore Bayekula, Thomas Vande Casteele et Nathan Louagie

Avec l’aide de M. Bolly

Collège Saint-Michel

plan de l expos
Plan de l’exposé

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés remarquables

1 introduction 1 1 la corde n uds
1. Introduction1.1. La corde à nœuds
  • Cet instrument de mesure permet de vérifier qu’un angle est droit.
  • La corde à nœuds est une application directe des triplets pythagoriciens.
  • Elle peut former un triangle (3,4,5) tel qu’illustré à droite.
1 2 d finitions
1.2. Définitions

5

  • Un triplet pythagoricien est une combinaison de naturels vérifiant la formule a²=b²+c².
  • Un triangle pythagoricien est un triangle rectangle dont les trois côtés sont entiers.

3

4

slide6

Un triplet est dit primitif si a, b et c sont premiers entre eux deux à deux.

    • Cas particulier: le seul triangle primitif dont les côtés ont pour mesure des naturels consécutifs est le triangle (3,4,5).
    • Exemples de triangles primitifs:
plan de l expos7
Plan de l’exposé

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés remarquables

2 approche alg brique 2 1 a et b tels que ab x
2. Approche algébrique 2.1. a et b tels que ab=x²

Nous devons trouver la mesure des côtés a et b du rectangle afin que son aire égale celle du carré

  • z+y=a (2) z-y =b

(1)+(2): 2z=a+b

ab

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z= (a+b)/2

y=a-(a+b):2=(a-b)/2

x²= z²-y²=((a+b)/2)²-((a-b)/2)²

x=

S=( , (a-b)/2, (a+b)/2)

2 2 est il possible de trouver x y z tels que z y y x n
2.2. Est-il possible de trouver (x, y, z) tels que z - y= y - x = n ?
  • Prenons d’abord le cas où x, y et z sont consécutifs : z - y= y - x= 1
  • Par résolution d’une équation du second degré, on a prouvé que l’unique solution était le triplet (3, 4, 5).
  • Partant de ce triplet primitif, on peut trouver pour chaque n (n étant naturel) un unique triplet tel que:
  • z – y= y – x= n
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Démonstration par récurrence:Vrai pour n=1(3, 4, 5) x 1 = (3, 4, 5)5 – 4= 4 – 3 = 1On suppose que c’est vrai pour n et on démontre pour n + 1(3, 4, 5) x (n+1) = (3n+3, 4n+4, 5n+5)On a bien que z – y= y – x = n+1

Pour obtenir un triplet où les différences entre z et y et entre y et x sont égales à un même naturel, il suffit de multiplier les membres du triplet (3, 4, 5) par ce naturel.

2 2 un petit bout d histoire des math matiques
2.2 Un petit bout d’Histoire des mathématiques

2.2.1. Les formules de la Grèce Antique

a) Platon

« Pour tout entier naturel n, le triplet (2n ; n² −1 ; n² +1) est pythagoricien. »

b) Pythagore

« Pour tout entier naturel n, le triplet (2n +1 ; 2n² +2n ; 2n² +2n +1) est pythagoricien. »

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c) Euclide

« Soient a, b et c trois entiers premiers entre eux deux à deux. Alors a²+ b² = c² si et seulement s’il existe deux entiers naturels non nuls premiers entre eux n et m tel que : a =2nm; b= n²−m² et c² =n² +m² »

Démonstration:

  • Si x = 2nm, y = n²-m² et z² = n²+m², alors (x, y, z) est un triplet pythagoricien
  • Réciproquement, soit (x, y, z) irréductible, alors x et y ne sont pas de même parité
  • Si x et y pairs, ce n’est pas un triplet primitif car les membres du triplet ont alors 2 comme facteur commun.
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Si x et y étaient tous les deux impairs, on pourrait écrire

x = 2p+1 ( p naturel) et y= 2q+1

  • D’où x²+y²= (2p+1)²+(2q+1)²=

4p²+ 4p+4q²+4q+2 = 4 (p²+p+q²+q)+2

  • Or ceci signifierait que z² serait pair et non divisible par 4. IMPOSSIBLE ( (2n)²= 4.n²). Tout nombre pair élevé au carré donne un multiple de 4!

x et y doivent être de parité opposée

x = 2nm est le terme pair

y est impair et forcément z l’est aussi.

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Posons x = 2u

z+y = 2v

z-y = 2w

  • u, v et w sont premiers entre eux (puisque x, y et z le sont)

x² = z²- y²

(z+y)(z-y) = 4vw

  • x² = (2u)² = 4u² u² = x²/4 u² = vw

Mais v et w étant premiers entre eux, ce sont nécessairement des carrés parfaits car u²= vw

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Nous pouvons donc écrire v= n² et w= m² (n et m sont premiers entre eux)

  • x²= 4m²n²  x= 2mn
  • y = v - w = n²-m²
  • z = v +w = n²+m²
plan de l expos19
Plan de l’exposé

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés remarquables

3 approche g om trique 3 1 g n ration g om trique des triplets pythagoriciens
3. Approche géométrique3.1. Génération géométrique des triplets pythagoriciens

La construction :

  • Un cercle est inscrit dans un carré de côté unité dont l’un des sommets est P. Soit A l’une des intersections entre le cercle et le carré. La droite (AP) coupe le cercle en A’.
  • Le rapport entre les côtés du rectangle A’A1A2A3 inscrit dans le cercle est 4/3.
  • Joignant à nouveau P aux sommets des rectangles inscrits on obtient d’autres intersections et de triplets ainsi de suite.
3 2 interpr tation g om trique de la formule euclidienne
3.2. Interprétation géométrique de la formule euclidienne

Si a²+b²=c² alors (a/c)²+ (b/c)²=1

  • Cette équation représente le cercle de rayon 1 dans un repère orthonormé. Tout point de ce cercle est donc solution de l’équation pythagoricienne. Nous cherchons à l’aide de la géométrie, les solutions entières
  • Considérons le point P(0,1), le point P’(m/n,0) et le point d’intersection P’’ entre le cercle et la droite PP’
slide23

Nous recherchons une formule pour trouver les coordonnés du point P’’

  • Le cercle a pour équation y² + x² = 1
  • La droite PP’ a pour équation y = (m/n)x – 1
  • Nous remplaçons y dans l’équation du cercle pour trouver les coordonnés du point d’intersection P’’: (m²/n²)x² – 2(m/n)x + 1 + x² = 1
  • Nous obtenons ainsi la formule d’Euclide:

x = [2(m/n)] / [(m²/n²) + 1] = (2mn) / (m² + n²)

y = (-2m² + m² + n²) / (m² + n²) = (n² - m²) / (m² + n²)

plan de l expos24
Plan de l’exposé

1. Introduction

2. Approche algébrique

3. Approche géométrique

4. Quelques propriétés remarquables

4 quelques propri t s remarquables
4. Quelques propriétés remarquables

4.1 La divisibilité d’un des termes d’un triplet par 4

Si a est le côté pair alors b et c sont impairs (cf. propriété de parité des triplets)

En remplaçant a, b et c dans la formule des triplets nous obtenons:

  • a = 2u (u, v, w, y Є N)
  • b = 2v+1
  • c = 2w+1

a² = c² - b²

4u² = 4w² + 4w + 1 – 4v² - 4v - 1

4u² = 4 (w² + w - v² - v)0

u² = w² + w - v² - v

u² = w (w+1) - v(v +1)

a est divisible par 4
a est divisible par 4

Nous savons que w (w+1) et v(v +1) sont impairs tandis que u² est pair.

Si u² est pair, u est pair

Nous avons posé a = 2u

u² = impair - impair

u² = pair

u = pair = 2y

a = 2u = 2.2y = 4y

4 2 x y z tels que y et z sont cons cutifs
4.2. (x, y , z) tels que y et z sont consécutifs

a) x²+y²=(y+1)²

x²+y²=y²+2y+1

y=(x²-1)/2 (x , (x²-1)/2, (x²+1)/2)

Remarque: x doit être impair pour que y et z soient des naturels

b) y et z diffèrent de 2 unités

x²+y²= (y+2)²

x² = 4y+4

y = (x²-4)/4 (x, (x²-4)/4, (x²+4)/4)

X² doit être un multiple de 4 et donc x doit être pair

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c) Généralisons:

y et z diffèrent de n unités

x²+y²= (y+n)²

x²+y²= y²+ 2ny+n²

2ny= x²-n²

y= (x²-n²)/2n

alors z= (x²+n²)/2n (x, (x²-n²)/2n, (x²+n²)/2n)

4 3 g n ration de triplets par les complexes
4.3. Génération de triplets par les complexes
  • Théorème :

A chaque nombre complexe, défini par c = a+bi, correspond un triplet pythagoricien noté (a²-b², 2ab, a²+b²). A condition que a et b soient des entiers strictement positifs, a< b

  • Démonstration :
  • c² = a²- b² + i2ab = x + iy
  • x²+y²= (a²- b²)² + (2ab)²= a⁴+ 2a²b²+ b⁴+ 4a²b²

= (a²+ b²)²

= z²

4 4 le dernier th or me de fermat 4 4 1 l quation g n rale
4.4 Le dernier théorème de Fermat4.4.1. L’équation générale
  • Conjecture de Fermat:

Il n’y a pas de nombres entiers non nuls a, b et c tels que

an + bn = cn  où n est un entier strictement supérieur à 2

  • Démonstration de Andrew Wiles:
  • Démontrer que toute courbe elliptique est paramétrée par des fonctions modulaires. (conjecture de Shimura-Taniyama-Weil)
  • Associer aux solutions de l'équation de Fermat une courbe elliptique.
  • Démontrer que cette courbe ne peut être paramétrée par des fonctions modulaires.
4 4 2 cas o n 2
4.4.2. Cas où n=2
  • a²+b²=c²
  • Dans un repère orthonormé par l’axe horizontal a et par l’axe vertical b, les couples (a, b) de cette équation sont représentés par le graphique suivant: