Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik
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Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik Prof. Dr. Wolfram Koepf Fachbereich Mathematik/Informatik Universität Gh Kassel [email protected] http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf. T 3 - Tagung Ludwig-Windthorst-Haus Lingen (Ems) 19. Oktober 2001.

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Presentation Transcript

Algorithmen der Computeralgebra und Schulmathematik

Prof. Dr. Wolfram Koepf

Fachbereich Mathematik/Informatik

Universität Gh Kassel

[email protected]

http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf


T3 - Tagung

Ludwig-Windthorst-Haus

Lingen (Ems)

19. Oktober 2001


Fachgruppe computeralgebra
Fachgruppe Computeralgebra

  • Fachgruppe der DMV, GI, GAMM

  • Regelmäßige Herausgabe des Rundbriefs

  • Referent für Didaktik

  • Regelmäßige Tagungen zum Thema „Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung“

  • Informationen auf meiner Homepage http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf

  • Homepage http://www.gwdg.de/~cais


Mein pers nlicher computeralgebra werdegang
Mein persönlicher Computeralgebra-Werdegang

  • 1988: Erster Kontakt mit Computeralgebra (Reduce, Maple, Mathematica, DERIVE)

  • 1990: Stipendium der Alexander von Hum-boldt-Stiftung. Forschungsprojekt zur Verwendung von Computeralgebrasystemen im Mathematikunterricht

  • 1992: Analysis-Vorlesungen an der Freien Universität Berlin mit DERIVE

  • 1993: Lehrbuch Mathematik mit DERIVE


  • 1993-1997: Mitarbeiter am Konrad-Zuse-Zentrum für Informationstechnik in Berlin

  • 1994: Buch Höhere Analysis mit DERIVE

  • 1996: Buch DERIVE für den Mathematik-unterricht

  • 1996-heute: Gewähltes Mitglied der Leitung der Fachgruppe Computeralgebra der DMV/GI/GAMM, Referent für Lehre und Didaktik


  • 1997-2000: Professor für Angewandte Mathematik an der Hochschule für Technik, Wirtschaft und Kultur Leipzig

  • 1998: Buch Hypergeometric Summation

  • seit 2000: Professor für Computational Mathematics an der Universität Gh Kassel

  • 2000: Buch Die reellen Zahlen als Fundament und Baustein der Analysis


Kleiner satz von fermat
Kleiner Satz von Fermat

  • Für eine Primzahl p   und a  gilt

    ap= a (mod p)

  • Fermattest: Ist diese Beziehung für eine Zahl a  nicht erfüllt, so ist p keine Primzahl!


Euklidischer algorithmus
Euklidischer Algorithmus

  • Den größten gemeinsamen Teiler von a und b berechnet man so:

  • ggT(a,b) = ggT(|a|,|b|), falls a<0 oder b<0

  • ggT(a,b) = ggT(b,a), falls a<b

  • ggT(a,0) = a

  • ggT(a,b) = ggT(b, a mod b)


Effiziente berechnung von potenzen
Effiziente Berechnung von Potenzen

  • Die modulare Potenz an (mod p) berechnet man am besten durch Zurückführen auf Exponenten der Größe n/2 (Divide-and-Conquer-Algorithmus):

  • a0 mod p = 1

  • an mod p = (an/2 mod p)2 mod p für gerade n

  • an mod p = (an-1 mod p) .a mod p


Algebraische zahlen
Algebraische Zahlen

  • Algebraische Zahlen sind als Nullstellen ganzzahliger Polynome erklärt, z. B.

  • 2: x2 - 2

  • i: x2 + 1

  • 2 + 3: x4 - 10 x2 + 1

  • 2 + 3 + 5 :

    x8 - 40 x6 + 352 x4 - 960 x2 + 576


Faktorisierung von polynomen
Faktorisierung von Polynomen

  • Polynome mit rationalen Koeffizienten können algorithmisch faktorisiert werden!

  • Dies funktioniert sogar, wenn mehrere Variablen im Spiel sind.

  • Algorithmische Faktorisierungen über  dagegen sind nur unter Verwendung algebraischer Zahlen möglich, z. B. x2-2 = (x-2)(x+2).

  • Moderne schnelle Algorithmen gibt es nicht in DERIVE, aber in Maple, Mathematica, ...


Wo ist der zweite pol
Wo ist der zweite Pol?

  • Während graphische Taschenrechner und Computeralgebrasysteme im Allgemeinen auf Anhieb Funktionsgraphen darstellen, gibt es auch Fälle, wo hierzu Kurvenuntersuchungen nötig sind.

  • Wo ist der zweite Pol der Funktion


Lineare gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme

  • Lineare Gleichungssysteme sind schlecht konditioniert, wenn die zugehörigen Geraden bzw. Ebenen etc. fast parallel sind.

  • Dann lassen sich offenbar die Schnittpunkte bzw. Schnittgeraden etc. nur ungenau bestimmen.


Kondition einer matrix
Kondition einer Matrix

  • Eine Matrix ist schlecht konditioniert, wenn sie oder ihre Inverse Eingabefehler stark vergrößern.

  • Für eine Matrixnorm, z. B.

    ist die Konditionszahl

    cond

    ein Maß für die Kondition der Matrix A.


Hilbertmatrix
Hilbertmatrix

  • Die nn Hilbertmatrix

    ist schlecht konditioniert. Daher ist die Numerik instabil. Rationale Arithmetik lässt ein Studium der Matrizen aber zu.


Differentiation
Differentiation

  • Ableiten ist algorithmisch, wenn wir die üblichen Ableitungsregeln verwenden:

  • Konstantenregel c´ = 0

  • Potenzregel (xn)´ = n xn-1

  • Linearität (f + g)´ = f ´ + g´

  • Produktregel (f ·g)´ = f ´·g + g´·f

  • Quotientenregel (f /g)´ = (f ´·g - g´·f)/g2

  • Kettenregel f(g)´ = f ´(g)·g´

  • Ableitungen spezieller Funktionen


Integration
Integration

  • Auch für die Integration gibt es Algorithmen, welche entscheiden, ob ein Integral eine elementare Funktion ist.

  • Die übliche Methode zur rationalen Integration benötigt eine reelle Faktorisierung des Nenners und ist daher kein guter Algorithmus.

  • Der Risch-Algorithmus und seine Verwandten sind erheblich komplizierter, verwenden aber nur quadratfreie Faktorisierungen.


Vereinfachung
Vereinfachung

  • Rationale Funktionen lassen sich durch Bestimmung des ggT vereinfachen.

  • Trigonometrische Polynome lassen sich durch Anwendung der Additionstheoreme vereinfachen.

  • Man kann zeigen, dass es für allgemeine Terme keinen generellen Vereinfachungsalgorithmus geben kann.


Das hofstadterproblem
Das Hofstadterproblem

  • Hofstadters geometrische Vermutung ist richtig, wenn die Determinante der Matrix

    gleich 0 ist, sofern  +  +  =  ist.


Reihenentwicklungen
Reihenentwicklungen

  • In der speziellen Relativitätstheorie ergibt sich die Energie aus der Formel

  • Wie erhält man hieraus die klassische Formel ?


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