Algorithmen und Komplexität Teil 1: Grundlegende Algorithmen

1. Algorithmen und KomplexitätTeil 1: Grundlegende Algorithmen WS 08/09 Friedhelm Meyer auf der Heide Vorlesung 10, 17.11.08

2. Flüsse in Netzwerken

3. Vergrößernde Wege Restkapazität ist 4

4. Vergrößernde Wege Restkapazität ist 4

5. Der Basisalgorithmus von Ford/Fulkerson • Satz: Der Algorithmus von Ford/Fulkerson berechnet einen maximalen Fluss.

6. Analyse des Basisalgorithmus von Ford/Fulkerson • Ein Schnitt in N ist ein disjunkte Zerlegung von V in Mengen S und T mit s 2 S, t2 T. • Die Kapazität des Schnittes ist • Die Kapazität eines minimalem Schnittes ist • Der Flusswert eines Schnittes ist • Mit fmaxbezeichnem wir den Wert eines maximalen Flusses.

7. Korrektheit des Algorithmus von F.F., und dasMax Flow-Min Cut Theorem • Lemma: In jedem Netzwerk N gilt: Der Wert eines jeden Flusses ist kleiner oder gleich der Kapazität eines jeden Schnittes. Insbesondere: fmax· cmin . • Lemma: Sei f der von F.F. berechnete Fluss. Dann gibt es einen Schnitt (S,T) in N mit val(f) = C(S,T). • Daraus folgt: • Satz: Der Algorithmus von Ford/Fulkerson berechnet einen maximalen Fluss. • Satz: (Max Flow-Min Cut Theorem; Satz von Ford/Fulkerson) • In jedem Netzwerk gilt fmax = cmin. • Der Wert eines maximalen Flusses ist gleich der Kapazität eines minimalen Schnittes.

8. Laufzeit des Basisalgorithmus von F.F. Wir gehen von Kapazitäten aus N aus. Laufzeit ist exponentiell in Eingabegröße!

9. Effiziente Algorithmen für maximale Flüsse Der Basisalgorithmus von Ford/Fulkerson: Modifikation von Edmonds/Karp: Benutze immer einen kürzesten vergrößernden Weg. Satz: Der Algorithmus von Edmonds/Karp liefert nach höchstens |E| |V|/2 Flussvergrößerungen, also in Zeit O(|E|2 |V|) (= O(|V|5)) einen maximalen Fluss. Damit ist das Flussproblem in polynomieller Zeit lösbar!!

10. Der Algorithmus von Dinic • Idee: berechne “einen vergrößernden Fluss entlang aller kürzester Wege”.

11. Restnetzwerke • Sei N ein Netzwerk, f ein Fluss in N. Das Restnetwerk Nfzu (N, f) hat Knotenmenge V und Kantenmenge Efmit: • (v,w) 2 Ef , (v,w) 2 E und f(v,w) < c(v,w) (Vorwärtskante) • oder (w,v) 2 E und f(v,w) > 0(Rückwärtskante) • Kapazitäten: Vorwärtskante (v,w) : cf(v,w)= c(v,w)-f(v,w) ( >0) • Rückwärtskante (w,v) : cf(w,v) = f(v,w) (>0) • N mit Fluss f Nf

12. Restnetzwerke Fluss f’ • N mit Fluss f Nf • Lemma: Sei f’ ein Fluss in Nf. Dann ist f” ein Fluss in N, mit • f”(v,w) = f(v,w) + f’(v,w) – f’(w,v) ; val(f”) = val(f) + val(f’). • N mit Fluss f” Nf”

13. Algo von Ford/Fulkerson - Umformulierung • Ein Pfadflussf’ in einem Restnetzwerk Nf ist durch einen • gerichteten s-t-Weg W mit Restkapazität r>0 in Nf definiert. • f’(u,v)=r für (u,v) 2 W, f’(u,v)=0 sonst. • Eingabe: Netzwerk N. • f :´ 0; berechne Nf; • While es gibt Pfadfluss f’ in Nf Do • Berechne f” mit f”(v,w) = f(v,w) + f’(v,w) – f’(w,v); • Berechne Nf” aus Nf ; • f:=f” Od • Ausgabe: f • Variante Edmonds/Karp: • Benutze Pfadfluss entlang eines kürzesten s-t-Weges in Nf.

14. Schichtennetzwerke • Beobachtung: Edmonds/Karp benötigt nur Kanten in Nf , die zu kürzesten s-t-Wegen in Nfgehören. • Sei d(v) der Abstand (Länge eines kürzesten Wegs) von s nach v in Nf. • Das SchichtennetzwerkSNf = (V’, E’) zu Nfist wie folgt definiert: • Sei V0 = {s} und für i = 1,2,…, d : Vi = {v 2 V | d(v)=i},mit d:= max{i| Vi}. • Sei Ei = EfÅ (Vi-1 x Vi), i= 1,…, d. dann ist V’= [ Vi , E’ = [ Ei. • V0 V1 V2 V3

15. Schichtennetzwerke • Beobachtung: Edmonds/Karp benötigt nur Kanten in Nf , die zu kürzesten s-t-Wegen in Nfgehören. • Sei d(v) der Abstand (Länge eines kürzesten Wegs) von s nach v in Nf. • Das SchichtennetzwerkSNf = (V’, E’) zu Nfist wie folgt definiert: • Sei V0 = {s} und für i = 1,2,…, d : Vi = {v 2 V | d(v)=i},mit d:= max{i| Vi}. • Sei Ei = EfÅ (Vi-1 x Vi), i= 1,…, d. dann ist V’= [ Vi , E’ = [ Ei. • Beobachtung • Alle s-t-Wege in SNf haben Länge d, sie sind genau die kürzesten Wege in Nf. • Aus N und f kann SNf in Zeit (|V|+|E|) berechnet werden (Breitensuche). • Falls t  Vd ist, ist f ein maximaler Fluss.

16. Sperrflüsse und der Algorithmus von Dinic • Ein Fluss f’ in SNf ist ein Sperrfluss, falls jeder (gerichtete) s-t-Weg in SNf eine saturierte Kante enthält. (e ist saturiert falls cf(e) = f’(e) ist.) • Achtung: Ein Sperrfluss in SNf ist nicht notwendig ein maximaler Fluss in SNf. • Beispiel: 1 1 1 1 1 1 1

17. Sperrflüsse und der Algorithmus von Dinic • Ein Fluss f’ in SNf ist ein Sperrfluss, falls jeder (gerichtete) s-t-Weg in SNf eine saturierte Kante enthält. (e ist saturiert falls cf(e) = f’(e) ist.) • Achtung: Ein Sperrfluss in SNf ist nicht notwendig ein maximaler Fluss in SNf. • Algorithmus von Dinic • Eingabe: Netzwerk N • f´ 0, berechne SNf; • While “t ist Knoten von SNf” do • Berechne Sperrfluss f’ in SNf; • Berechne f* mit f*(v,w) = f(v,w) + f’(v,w) – f’(w,v); • Berechne SNf* ; • f:=f* Od • Ausgabe: f

18. Der Algorithmus von Dinic • Eingabe: Netzwerk N • f´ 0, berechne SNf; • While “t ist Knoten von SNf” do • Berechne Sperrfluss f’ in SNf; • Berechne f* mit f*(v,w) = f(v,w) + f’(v,w) – f’(w,v); • Berechne SNf* ; • f:=f* Od • Ausgabe: f • Lemma: Der Algo benötigt höchstens |V|-1 Durchläufen der While-Schleife. • Lemma: Die Berechnung eines Sperrflusses geht in Zeit O(|V||E|). (auch O(|V|2) ist möglich.). • Also: • Satz: Der Algorithmus von Dinic berechnet in Zeit O(|V|2 |E|) (bzw. sogar O(|V|3) einen maximalen Fluss. • Wieviele Durchläufe der • While –Schleife gibt es? • Wie lange dauert die • Berechnung eines Sperrflusses?

19. Die Zahl der Durchläufe der While-Schleife • Lemma: Der Algo benötigt höchstens |V|-1 Durchläufen der While-Schleife. • Bew: • Beh: Sei k die Länge der kürzesten s-t-Wege in Nf. Dann sind in Nf* alle s-t-Wege länger als k. • Daraus folgt offensichtlich das Lemma. • Bew der Beh: Sei W ein s-t-Weg in Nf* . • Falls W nur Kanten aus Nf enthält, ist er länger als k, • da von jedem Weg der Länge k in Nf eine Kante durch f’ saturiert wurde, also nicht in Nf* liegt. • Sei ansonsten (v,w) die erste Kante in W, die nicht in Nf ist. • Dann ist (w,v) auf einem kürzesten Weg in Nf. Seien V0,…, Vk die Schichten von SNf. (v,w) sei die (i+1)-te Kante von W. • Dann durchläuft W hintereinander die Schichten V0, V1, …,Vi, Vi-1, und danach wird nie eine Kante von Vj nach Vj+s mit s¸ 2 genutzt. • (Denn solche Kanten existieren nicht.) • Somit hat W Länge mindestens k+2.

20. Berechnung von Sperrflüssen • Lemma: Die Berechnung eines Sperrflusses geht in Zeit O(|V||E|). • Algorithmus: • N* := SNf; f’ ´ 0 ; • Solange es in N* einen (gerichteten) s-t-Weg W gibt do • Addiere den Pfadfluss des Weges W mit Restkapazität r>0 zu f’; • N* := N* \ “durch W saturierte Kanten” od • Ausgabe f’ • Korrektheit: Falls es in N* keinen (gerichteten) s-t-Weg W gibt, ist f’ ein Sperrfluss. • Laufzeit: O(V) pro Schleifendurchlauf; es gibt höchstens |E| Schleifendurchläufe, da in jedem mindestens eine Kante aus N* entfernt wird.

21. Anwendung: Bipartites Matching • Eingabe: bipartiter Graph G=(V1[ V2,E) • Ausgabe: ein maximales Matching, d.h. ein Matching mit maximaler Kantenzahl • Kapazitäten 1 1 1 • Maximaler Fluss = Maximales Matching

22. Perfekte Matchings und der Satz von Frobenius/Hall • SeiG=(V1[ V2,E) bipartiter Graph mit |V1|=|V2| . Ein perfektes Matching in G ist ein Matching der Größe |V1|. • Satz von Frobenius/Hall, Heiratssatz: • G enthält ein perfektes Matching • , • Für jedes Aµ V1 gilt : |(A)| ¸ |A| (d.h.:A hat mindestens |A| Nachbarn in V2. ) • Folgt aus dem Max-Flow Min-Cut Theorem. (Übung)

23. Übersicht über Max-Flow Algorithmen(n=|V|, e=|E|, U=max{c(e), e2E)

24. Thank you for your attention! Friedhelm Meyer auf der Heide Heinz Nixdorf Institute & Computer Science Department University of Paderborn Fürstenallee 11 33102 Paderborn, Germany Tel.: +49 (0) 52 51/60 64 80 Fax: +49 (0) 52 51/62 64 82 E-Mail: fmadh@upb.de http://www.upb.de/cs/ag-madh