1 / 19

Análise Numérica

Análise Numérica. Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética. Uso do computador. Porquê?. Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como Ciências Sociais Economia

tasha-slater
Download Presentation

Análise Numérica

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Análise Numérica Objectivo: Resolver problemas matemáticos usando operações de aritmética Uso do computador Análise Numérica - Apresentação

  2. Porquê? Problemas reais Modelos matemáticos Resoluções eficientes (com computadores…) Aplicações em áreas como • Ciências Sociais • Economia • Engenharia • Medicina ... Análise Numérica Análise Numérica - Apresentação

  3. Como funciona? • Aulas teóricas (teoria + exemplos) • Aulas práticas (máquina de cálcular + computador ) • Avaliação • Prova prática (computador) – (2 valores) + • Exame final (máquina de calcular) – (18 valores) Questão (computador) – (2 valores) Análise Numérica - Apresentação

  4. Bibliografia • Apontamentos na editorial (e na página da disciplina) • Valença, Maria Raquel; Métodos numéricos • Pina, Heitor; Métodos numéricos • Burden, Richard L.; Numerical Analysis • Atkinson, Kendall E.; An introduction to numerical analysis • Stewart, G. W.; Afternotes on numerical analysis • Schilling, Robert J.; Applied numerical methods for engineers • Fausett, Laurene V.; Applied numerical analysis using Matlab Análise Numérica - Apresentação

  5. Programa • Equações não lineares – Métodos iterativos • Problema: Encontrar as raízes de • Objectivo: Determinar Análise Numérica - Apresentação

  6. Programa • Métodos iterativos Reescrever a equação: Ambas são verificadas para Análise Numérica - Apresentação

  7. Programa • Estamos em presença de um Método Numérico Iterativo: • Produz uma solução aproximada • Processo rápido (neste caso) Análise Numérica - Apresentação

  8. Programa • Sistemas de equações lineares • Métodos Directos • Métodos Iterativos • Aproximação polinomial • Interpolação polinomial • Introdução ao método dos mínimos quadrados Análise Numérica - Apresentação

  9. Programa • Integração numérica • Diferenciação numérica • Introdução à resolução numérica de equações diferenciais • Exemplo: Movimento do pêndulo Análise Numérica - Apresentação

  10. Programa • Métodos Numéricos soluções aproximadas. Como controlar o erro? Teoria de erros Análise Numérica - Apresentação

  11. Como se cometem erros?... sin( ) ≈ 0,707106781186547 Análise Numérica - Apresentação

  12. Errosdos instrumentos de cálculo • Exemplo f(x,y)=333.75y6+x2(11x2y2-y6-121y4-2)+5.5y8+x/(2y) • Matlab f(77617,33096) = -1.1806e+021 (Matlab) • Maple f(77617,33096) = -0.8273960599468… (40 Digits) f(77617,33096) = 0.1…×108 (30 Digits) • Resultado exacto = -0.8273960599468… Análise Numérica - Apresentação

  13. 0 overflow underflow overflow -xmax -xmin xmin xmax Representação dos números • Números em vírgula flutuante (float) Mantissa (<1 e 0.1) com t dígitos, expoente com k dígitos • Números representados pela máquina (só um conjunto finito de pontos xi=xi -1(1+epsilon)) Epsilon=M=b-t+1 Float= sinal  mantissa  baseexpoente Análise Numérica - Apresentação

  14. Uma pequena animação Para ver o efeito de t e k na fórmula Clique aqui Nota: Se não consegue ver, instale o Macromedia Flash Player (em http://www.macromedia.com/downloads/ ) Análise Numérica - Apresentação

  15. Representação dos números • Exemplos: • (32.4)10 +0.324102 (310-1+210-2+410-3)102 • (-1011.11)2 -0. 10111124 (12-1+02-2+12-3+12-4+12-5+12-6)24 Análise Numérica - Apresentação

  16. – Erros computacionais • Qual a causa dos erros? • Nem todos os números podem ser representados • A adição (+) e a multiplicação () não são operações internas no conjunto dos números em vírgula flutuante Análise Numérica - Apresentação

  17. 193598496 193000515 597990.9 Como aparecem resultados diferentes? • Exemplo 256327553-594253247.8-3211862.9=-9.9 (exacto) Máquina de cálcular com base=10 e: Análise Numérica - Apresentação

  18. Porque aparecem resultados tão diferentes? Erro > resultado Análise Numérica - Apresentação

  19. Como se podem evitar? • Usando máquinas mais precisas. • Usando expressões equivalentes (na aritmética exacta) menos sensíveis aos erros nos cálculos. • Casa: Calcule as duas expressões para • Maple Análise Numérica - Apresentação

More Related