Sesiunea Naţională de Comunicări Ştiinţifice pentru profesorii de matematică 8-9 noiembrie 2013

1. Sesiunea Naţională de Comunicări Ştiinţifice pentru profesorii de matematică8-9 noiembrie 2013 INDUCŢIA MATEMATICĂ… ALTFEL PROF. ROXANA GOGA LICEUL TEORETIC BILINGV “ITA WEGMAN”, BUCUREŞTI

2. MOTTO: Miron Nicolescu, matematician român “Principiulinducţiei complete constituieunuldintrecelemaiputerniceraţionamentede demonstraţieînmatematică”.

3. O SCURTĂ INTRODUCERE… Raţionamentul inductivaparepentru prima dată la Blaise Pascal,care îl utilizeazăîndemonstrareaformuleicombinărilorşi pecare-l descrieastfel: “Deşiaceastăpropoziţieconţineinfinit de multecazuri, voida o demonstraţiefoartescurtă care presupunedouăLeme. Prima Lemăafirmăcăpentru prima liniepropoziţiaesteadevarată. Lema a douaafirmăcădacăpropoziţia se dovedeşteadevaratăpentru o linieoarecareatuncipropoziţiaestevalabilăşipentruliniaurmătoare”. Sigurputemspunecăeste o variantăapropiată de studiulinducţiei de astăzi.

4. DE-A LUNGUL ISTORIEI… • Prima demonstraţieprininducţiematematicăaparepentruprogresiiaritmeticeîncartea “al-Fakhri” scrisă de al Karajiînjurulanului 1000 IH. Proprietăţi ale triunghiuluilui Pascal sunt de asemenea demonstrate aici. • Niciunuldintrematematicieniilumii anticenu au consideratprincipiulinducţieimatematicede sine stătător. • Prima prezentareexplicităapareînlucrareaArithmeticorumlibri duo (1575) a lui Francesco Maurolico care demonstrează că suma primelor n numere impare este n 2 . Formularea principiului inducţiei matematice apare în lucrarea lui PascalTraité du trianglearithmétique (1665). Al-Karaji matematician

5. Apoi prin Fermat, Jacob Bernoulli principiul inducţiei este extins, folosit în demonstraţii. Secolul al XIX-lea aduce studiul sistematic al acestui principiu în logica matematică prin matematicienii George Boole, Charles SandersPeirce, Giuseppe Peano şi Richard Dedekind. • Astăzi metoda inducţiei matematice este aplicată în cele mai variate probleme de matematică, devenind un instrument uzual si eficace.

6. RAŢIONAMENTUL INDUCTIV • Modalitatea de a obţine cunoştinţe ştiinţifice noi, din cele deja cunoscute o constituie raţionamentul inducţiei matematice. • Raţionamentuldeductiv, adică raţionamentul demonstrativ al inducţiei face trecerea de la general la particular. • Rezultatele obţinute sunt certe însă au un caracter particular. • Raţionamentul inductiv (unul din raţionamentele plauzibile) estefoarte important pentru faptul că ne conduce pe baza unor situaţii particulare cunoscute la concluzii generale, care ar putea însă să nu fie adevărate.

7. PRINCIPIUL INDUCŢIEI MATEMATICE • Principiul inducţiei matematice constă în a demonstra că o propoziţie P(n) este adevărată pentru orice număr natural n dacă se verifică condiţiile: 1. propoziţia este adevărată pentru n=n0. 2. presupunând că propoziţia este adevărată pentru un n=k oarecare se demonstrează că propoziţia este adevărată pentru n=k+1. Acesta fiind efectiv pasul de inducţie şi de altfel cel mai important. Pe scurt: scriem că P(k) =>P(k+1). • Astfel putem face afirmaţia că propoziţia este adevărată pentru orice număr natural naplicând raţionamentul inducţiei matematice.

8. “EFECTUL DE DOMINO” Inducţia matematică poate fi asemănată cu “efectul de domino”. • Să considerăm prin analogie că: • P(n) ar fi: “Al n-lea domino se dărâmă”. • Dacă (a) “P(1) este adevărat”; (Primul domino se dărâmă.) (b) “P(k) este adevărat” implică “P(k+1) adevărat” (Dacă dominul k se dărâmă implică dominoul k+1 se dărâmă) Deci P(n) este adevărată pentru orice n.Toate dominourile se dărâmă.

9. INDUCŢIA IN GIMNAZIU • Pentruelevii din clasele V-VI un astfel de raţionamentdeductiv, folosindpasul de inducţiematematică în general estegreu de înţeles, darputemfolosipentrudemonstraţii situaţii particulare de trecere de la pasul n la pasul n+1 pentru n natural mic, adicăpentruvalori concrete ale lui n. • Pe de o parte putem obţinedemonstraţii perfect corectepentruvalori concrete ale lui n, iarpe de altă parte elevulpoateextrapolarezultatulşidemonstraţiaîn cazul general.

10. PAŞI SPRE INDUCŢIE • Acesteraţionamentesuntgreu de explicatîn situaţii algebrice“identităţi, inegalităţi”,darîn anumiteprobleme de combinatoricăsauaritmetică pot fiînţeleseîn cazurinumerice. • Inducţiamatematicăpoatefi“simţită” ca mod de demonstraţie, de copii, în special în formule de numărare şiproblemece nu necesităcunoştinţe algebrice. • Experienţa arată căpasul de la 2 la 3, de la 3 la 4, … poate să-iconvingăpecopii căaceeaşimetodăfuncţioneazăpentruoricetrecereşi cărezultatuldevineastfelvalabil.

11. EXEMPLE: • Numărul de permutări aluneimulţimi cu 2,3,4,5,…elemente • Numărul de aranjamente de câte 2,3,4,5 al uneimulţimi cu 6, 7 elemente. • Numărul de combinări de câte 2,3,4,5 al uneimulţimi cu 6, 7 elemente.

12. SUMA LUI GAUSS • Carl Friedrich Gauss(39 Aprilie 1777-23 Februarie 1855), este considerat cel mai mare matematician, geniu, după Arhimede. • Cartea care a intemeiat teoria modernă a numerelor este ” DisquitionesArithmeticae” publicată în anul 1801. Suma Gauss este atribuită lui Gauss, copil fiind, acest rezultat matematic fiind cunoscut încă din antichitate în China prin numerele triunghiulare n(n+1):2. Acest număr este egal cu un număr de puncte format din triunghiuri echilaterale alegând pe laturile sale un număr de puncte care formează alte triunghiuri echilaterale.

13. P(n): • Conform raţionamentului suntem siguri că proprietatea poate fi adevarată dacă verificăm primul pas al inducţiei pentru n=1, anume: Dacă P(1) este adevărată: 1 = Astfel,1=1. • Trecem la pasul de inducţie P(k) P(k+1). • Vom scrie pentru început cine este P(k), înlocuind n=k în propoziţia dată P(n) obţinem: P(k): 1+2+3+...+k = , pentru orice k. • Demonstrăm în continuare că pentru n=k+1 propoziţia este adevărată: • P(k+1): 1+2+3+...+k+(k+1)= • Conform presupunerii că P(k) este adevărată vom studia membrul stâng din P(k+1) : 1+2+3+...+k+(k+1)= • Astfel am demonstrat că P(k+1) este adevărată. Conform metodei inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru orice n.

14. ALTE EXEMPLE:

15. APLICAŢII ALE INDUCŢIEI MATEMATICE ÎN DIVIZIBILITATE • Să se arate că numărul 2n +1 nu se divide cu 7 pentru orice n număr natural. • Determinaţitoatenumerelenaturale n care indeplinesccondiţiacă • 2n -1 se divide cu 7. • Arătaţi ca 7n-1 este multiplu de 6 pentru orice nnumar natural nenul. • Arătaţi ca 72n+1+1 este multiplu de 8 pentru orice n număr natural. • Arătaţică 4n+15n-1 estemultiplu de 9 pentru orice nnumar natural nenul. INEGALITATI • Arătaţi că 3n≥n3 pentru orice număr natural n≥3. • Arătaţi că 2n≥n2 pentru orice număr natural n≥4. • Arătaţi că 2n≥n4 pentru orice număr natural n≥16.

16. Inegalităţişigrafice

17. NU ORICE INEGALITATE POATE FI DEMONSTRATĂ PRIN INDUCŢIE MATEMATICĂ DATORITĂ SUFICIENŢEI CONTRAEXEMPLU: Observăm că există situaţii în care ipoteza de inducţie nu poate fi construită în aşa fel incât să poată fi folosită în demontraţii pentru anumite inegalităţi.

18. EXEMPLE NETRIVIALE 1. Problemădată la concursul tip OIM – Călăraşi 2008 Se daunumereleraţionale cu proprietatea căsumalorşiprodusul a oricărordouăeste număr întreg. Arătaţi cătoatenumerelesuntîntregi. Comentariu: Pentru n=2 este un exerciţiu de divizibilitateabordabilpentrucopiii din clasele V-VI. Trecerea de la douănumere la treinumereexemplificăceleafirmateîn preambul.

19. CAZURI PARTICULARE • Putemconsideradouănumere • Acesteaverificăipotezapentrudouănumere. Din cazulrespectivrezultă că a şib suntîntregi. Plecând analog cu numerelerezultă căacesteasuntîntregi. Este un exerciţiu de rutinăpentrucopii sădeducă de aici cătoateceletreinumeresuntîntregi.

20. INDUCŢIA TARE • Inducţia tare, reprezintă o noţiune adesea folosită pentru a desemna un raţionament echivalent inducţiei standard, în care ipoteza de inducţie pentru o singură variabilă este inlocuită cu cea în care se presupun adevarate mai multe astfel de propoziţii. • Astfel gândim că P(n0) este adevarată, verificând că această propoziţie este adevărată pentru n=n0. Demonstrăm apoi că dacă propoziţia este adevarată pentru orice număr natural m mai mic sau egal cu n (n0≤m≤n). Atunci propoziţia este adevărata şi pentru n+1. Rezultă că propoziţia este adevarata pentru orice n≥n0.

21. EXEMPLUL 1. Fie relaţia an+1= 3an – 2an-1 ; a1= 3; a2=5. Demonstraţi că: an= 1+2n, pentru orice n≥1. SOLUŢIE: Verificăm relaţiile pentru n=1: a1=1+2=3. a2= 1+22=5. Presupunem că relaţia este adevărată pentru orice număr k≤n şi demonstrăm că pentru k=n+1 este îndeplinită relaţia an+1= 1+2n+1; Într-adevăr avem că an+1= 3an – 2an-1 = 3(1+2n)-2(1+2n-1)= = 3+3·2n-2-2·2n-1=1+2n-1(3·2-2)=1+2n-1·4=1+2n+1. Q.E.D.

22. EXEMPLUL 2. Pentru orice număr natural n avem: SOLUŢIE: Verificăm relaţiile pentru n=1: P(1):Fie Astfel formez ecuaţia de gradul al doilea cu rădăcinile x1 şi x2 x2 - 4x-1 = 0. Înmulţind aceasta cu x1k-1 si cu x2k-1obţinem următoarele relaţii: x1k+1 - 4x1k - 1 = 0 ; x2k+1 - 4x2k - 1 = 0 ; ArătămcăP(k) P(k+1). Adică dacă P(k) este adevărată atunci şi P(k+1) este adevărată. Fie x1k+1 + x2k+1 = 4·( x1k + x2k)+2 dar cum am presupus că x1k+1 + x2k+1 Z rezultă că şi x1k+1 + x2k+1 Z.

23. INDUCŢIA ÎN GEOMETRIE:PROBLEMĂ CLASICĂ (Probleme neelementare tratate elementar M.Yaglom, I.Yaglom) Planulesteîmpărţitîntr- un număr de regiuniprin n drepte. Să se aratecăregiunile pot ficolorate cu roşuşialbastruastfelîncâtoricaredouăregiuniînvecinateavândun segment sau o semidreaptăcomunăsuntcoloratediferit. Rationamentul de trecere la o dreaptasuplimentarăîn care de o parte a ei se schimbăculorilepoatefiuşorînţeles de cătrecopiiîninducţia de la 2 la 3, de la 4 la 5, chiarşiîncazul general.

24. Trecerea de la 3 la 4 drepte

25. Numărul maxim de regiuniîn care planulpoatefiîmpărţitprin n drepteesteegalcu: Pentru a demonstra această afirmaţie facem apel la metoda inducţiei matematice, considerând ca propoziţie: P(n): „ n drepte împart planul în cel puţin regiuni”. Verificarea primei propoziţii constă în P(1): pentru n=1 avem că o dreaptă împarte planul în regiuni. Presupunem că proprietatea este adevărată pentru n=k, şi astfel avem: P(k): „ k drepte împart planul în regiuni”. Adăugăm o dreaptă în plan, care să nu fie paralelă cu celelalte, suficient de departe astfel încât să intersecteze toate cele k drepte. Astfel avem încă k+1 regiuni. Rezultă aşadar că împărţit în regiuni.

26. Să se demonstrezecăpentruoricenumăr natural n, n≥6 un pătratpoatefiîmpărţitîn n pătrate. Soluţie: Se verificăipoteza de inducţiepentru n=6,7,8, adicăverificămdacă P(6), P(7), P(8) suntadevărate. Demonstrămpasul de inducţie, adicăimplicaţia: P(n) P(n+3). Presupunând făcută împărţirea în n pătrate, unul dintre ele se împarte în patru pătrate egale şi se obţin în acest fel n+3 pătrate. Astfel implicaţia:P(n) P(n+3) este adevărată şi conform raţionamentului inducţiei matematice P(n) este adevărată pentru orice număr natural n≥6.

27. 1.Trebuie imprimatăconvingereacămetodainducţieimatematice complete este o metodăputernică de demonstraţieaplicabilăîntoatedomeniilematematicii. • 2. O serie de probleme considerate cu un grad sporit de dificultate, probleme de tip OIM, apreciate ca non-standard suntrezolvabiledestul de uşorprinmetodainducţieimatematice. • 3. Este necesarcăpropoziţiamatematică P(n) să fie clarformulată, deoarece o serie de problemefacposibilăalegereamaimultoripoteze de inducţieoptândpentruceleîn care demonstraţiaestemaisimplă . • 4. Existăuneoritendinţa ca prima etapă de verificaresă fie neglijată, fiindfoartesimplă. Trebuie ca eleviisă fie deprinşi a acordaaceeaşiimportanţăambeloretape, întrucât P(n0) se potedovedifalsă. Uneorietapa de verificarepoatefiparteadificilă a raţionamentului, sauceaimportantă. CONCLUZII

28. 5. Inducţiaexistăşiînalteştiinţe, nu întotdeaunarezultatelefiindadevărate. Astfeltrebuiedatimportantăegalăambeloretapedistincte: etapei de verificareşietapei de demonstraţie (pasul de inducţie). • 6. Este necesar ca elevilorsa le fie prezentateproblemematematice demonstrate prinraţionamentulinducţieimatematice din câtmaimulteramuri ale matematiciişicâtmaivariatepentru a sesizadiversitateaaplicăriiraţionamentuluişinecesitateareţinerii de cătreelevişi a altorvariante de demonstrare ale metodei. • 7. Se subliniazăelevilorfaptulcăraţionamentulinducţieimatematiceestedemostrabilînsituaţiaîn care există o situaţielogică care permitetrecerea de la un pas la următorul, de la n la n+1. CONCLUZII

29. BIBLIOGRAFIE Inducţiamatematică-Laurenţiu PANAITOPOL Cercurile de matematică din MOSCOVA

30. VĂ MULŢUMESC PENTRU ATENŢIE!