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第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR ）滤波器的设计方法. 本章主要内容 引言 4.1 线性相位 FIR 数字滤波器的特性 4.2 窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率采样法 4.4 IIR 与 FIR 数字滤器的比较. 引言. 为何要设计 FIR 滤波器？ 一、 IIR 滤波器的优缺点（回顾） IIR 数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。 IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。.
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第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR ）滤波器的设计方法 • 本章主要内容 引言 4.1 线性相位FIR数字滤波器的特性 4.2 窗口设计法（时间窗口法） 4.3 频率采样法 4.4 IIR与FIR数字滤器的比较
引言 • 为何要设计FIR滤波器？ • 一、 IIR滤波器的优缺点（回顾） IIR数字滤波器的优点：可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。 IIR数字滤波器的缺点：相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器设计变得复杂，成本也高。
二、 FIR滤波器的优点 设FIR滤波器单位冲激响应h(n)长度为N，其系统函数H(z)为： FIR数字滤波器的差分方程描述
例 差分方程y[n] = x[n] + 0.5x[n-1] - 0.4x[n-2]a. 单位脉冲响应有限 b. 单位脉冲响应无限 答案：a
系统函数说明 H(z)是z-1的N-1次多项式，它在z平面上原点z=0是N-1阶重极点。即除原点外在Z平面上没有极点，H(z)总是稳定的。稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点，而且允许设计多通带（或多阻带）滤波器。其中线性相位和多通带滤波器设计都是IIR系统不易实现的 FIR滤波器在保证幅度特性满足技术要求的同时，很容易做到有严格的线性相位特性。
三、 FIR的缺点 • 1、由于FIR系统只有零点(只在原点有极点)，因此FIR系统不像IIR系统那样易取得比较好的通带与阻带衰减特性。要取得好的衰减特性，一般要H(z)的阶次要高，也即N大。 • 2、 无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
四、FIR滤波器应用 （1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而FIR数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。 （2)另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。 （3)FIR可以用FFT算法来实现过滤信号。
五、FIR DF设计思路 FIR滤波器的设计方法和IIR滤波器的设计方法有很大不同。FIR DF设计的含义是： 根据设计指标，求解所选运算结构要求的h(n)或H(z)： 1）线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的h(n). 2）级联和频率采样型结构，求FIR DF 的H(z).
4.1 线性相位FIR滤波器的特点 4.1.1 线性相位的条件 对于长度为N的h(n),传输函数为：
1、H(ejw)线性相位 线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的线性函数，即 式中为常数，此时通过这一系统的各频率分量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
补充定义 • 1、时延：所谓时延是指信号通过传输通道所需要的传输时间。 • 2、群时延： 它是滤波器平均延迟的一个度量，定义为相频特性对角频率w的一阶导数的负值。即：
幅频特性和相频特性 输出信号与输入信号的幅值比是的非线性函数，称其为系统的幅频特性，记为A(ω)．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映幅值比随频率而变化的规律，其幅值的衰减（A<1)或增大(A>1)特性． 输出信号与输入信号的相位差(或称相移)也是的非线性函数，称为系统的相频特性．它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，反映相位差随频率而变化的规律，其相位产生超前[Φ（ ω )> 0]或滞后[Φ（ ω ) <0]的特性．对于物理系统，相位一般是滞后的，即一般是负值.
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
另外，证明方法 • 1）第一类线性相位线性相位条件证明
2、第二类线性相位条件证明 与前一种不同之处在于增加了 的相移
偶对称 奇对称 线性相位特性
注意 从第二类线性相位看出： 零频率w=0有2的截距，说明不仅有： 个抽样间隔的延时，而且还产生一个90的相移，这种使频率皆为90的网络，称为正交变换网络，它具有重要的理论和实际意义。 也就是：h(n)为奇对称时，FIR滤波器是一个具有准确的线性相位的理想正交变换网络。
4.1.2 幅度特性 由于h(n)的长度N取奇数还是偶数，对H(w)的特性有影响，因此，对于两类线性相位，下面我们分四种情况讨论其幅度特性的特点： （1）h(n)=h(N-1-n)，即h(n)为偶对称,N=奇数 （2）h(n)=h(N-1-n),即h(n)为偶对称，N=偶数 （3）h(n)=-h(N-1-n)，即h(n)为奇对称,N=奇数 （4）h(n)=-h(N-1-n),即h(n)为奇对称，N=偶数
看出：cos(nw)对于w=0,,2皆为偶对称，所以幅度函数H(w)也对 w=0,,2皆为偶对称。且H(0)、H(/2), H(),H(2)都可不为零。(只要h ((N-1)/2)不为零。所以w从0 2范围内，无任何约束，可以设计成任何一种滤波器。低通、高通、带通、带阻）
N=7 n 对称中心 关于w=0及w= 偶对称 可以设计任何一种滤波器
N=6 n 对称中心 w= 奇对称，H()=0 (总是) 只能设计低通和带通滤波器。
看出：sin(nw)对于w=0,,2处皆为0 即H(w)在w=0,,2处必为零。也即H(z)在z=1处都为零。 (2) sin(nw)对w=0,,2呈奇对称形式 不能用于 的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器的设计。
h(n)=-h(N-1-n)，N=7奇数 n 对称中心 关于w=0、w= 奇对称 H(0)=0 、H()=0 (总是) 只能设计带通滤波器。
h(n)=-h(N-1-n)，N=6偶数 n 对称中心 关于w=0奇对称、w=偶对称 H(0)=0 (总是) 只能设计带通、高通滤波器。
总结 第一种情况 ，偶、奇，四种滤波器都可设计。 第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计 高通和带阻。 第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器 都不能设计。 第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设计低通和带阻
四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。四种FIR数字滤波器的相位特性只取决于h(n)的对称性，而与h(n)的值无关。 • 幅度特性取决于h(n)。 • 设计FIR数字滤波器时，在保证h(n)对称的条件下，只要完成幅度特性的逼近即可。
例1 N=5, h (0) = h (1) = h (3) = h (4) = -1/2, h (2) = 2，求幅度函数H (ω)。 解 Ｎ为奇数并且h(n)满足偶对称关系 a (0) = h (2) = 2 a (1) = 2 h (3) = -1 a (2) = 2 h (4) = -1 H (ω) = 2- cosω- cos2ω = 2- (cosω+cos2ω)
所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对，这种共轭对共有四种 1）既不在单位园上，也不在实轴上，有四个互为倒数的两组共轭对，如图 zi z*i 1/zi 1/z*i
2）在单位圆上，但不在实轴上，因倒数就是 自己的共轭，所以有一对共轭零点， zi,z*i
4）又在单位圆上，又在实轴上，共轭和倒数都合为一点，所以只有一个零点，只有两种可能， zi=1或zi=-1
