实数与向量积 (2)

1. 实数与向量积(2) 复习课

2. 一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:一般地,实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下: (1) |λa | = |λ| | a |; (2)当λ>0时,λa 的方向a的方向相同; 当λ<0时,λa 的方向a的方向相反; 当λ= 0时,λa = 0 复习:实数与向量积的定义

3. 设λ,μ为实数,a,b为向量,则有: (1) λ(μa )=(λμ) a (2) (λ+μ)a = λa +μa (3) λ( a + b) = λa +λb 运算律: (结合律) (分配律) (分配律)

4. 定理: (向量共线的充要条件) 向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数λ,使得 b=λa 当 a 与 b 同向时,则λ>0; 当 a 与 b 反向时,则λ<0; 当 b =0 时,则λ=0.

5. 例1 判断下列说法是否正确 (1)对于实数m和向量a、b恒有 m (a + b)= m a + m b (2)对于实数m、n和向量a恒 有 (m-n) a= ma - na (3)若ma = mb (m∈R),则有a =b ( ∨) ( ∨) ( ╳ )

6. (4) 若ma=na(m,n∈R),则有 m= n (5) 若a=b,则a // b ( ╳ ) ( ∨)

7. 例2 判断下列各题中向量a, b是否 共线(其中向量e1, e2不共线) (1) a= 5e1, b= -7e1 (2) a= e1 - e2, b= 3e1-2e2 (3) a= e1 + e2, b = 3e1- 3e2 (1),(2)共线,(3)不共线

8. 例3 已知平行四边形ABCD,E,F 分别是DC和AB的中点,判断 AE与CF是否平行? E D C A B F

9. 例4 用向量的方法证明三角形中位 线定理. 已知在∆ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 求证:DE ∥ BC A D E B C

10. 例5.设两个非零向量a与b不共线 (1)若AB=a + b 、BC=2 a+8 b CD=3( a – b ) 求证:A、B、D共线 (2) 试确定实数k, 使 k a+b 与 a+k b共线. (k=1或k=-1)

11. 说明: B C A AB=λAC AC=λBC AB=λBC 利用向量方法证明三点共线 时,可以用两个向量共线的充要条 件去证.

12. 注意: A B B C A AB=λCD AB=λBC D C A,B,C三点一定共线. A,B,C,D四点不一定共线.

13. 例6.证明:向量OA,OB,OC终点A, B,C共线的充要条件是存在实 数λ,μ,且λ+μ=1,使得 OC =λOA+μOB.

14. 说明: 若点O不在直线AB上,则A,B,P三点共线的充要条件是,存在一对实数λ,μ,使得OP=λOA+μOB,且λ+μ=1. A B P O 运用向量的方法证明三点共线时, 除了可以用两个向量共线的充要条件 外,还可以利用上述例题结论去证明.

15. 例7.在四边形ABCD中,E为AB的 中点,F为DC的中点（如图） 求证： D A F E B C O

16. 例8 如图所示,OADB是以向量 OA=a,OB=b为边的平行四 边形,又 试用a, b表示OM,ON,MN B D M N C O A a b

18. 例9 如图所示,已知正六边形ABCDEF 中,AC=a,BD=b,试用向量a,b分别 表示向量AF,BC,DF. D E C F A a b B