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IAR234 Robótica

IAR234 Robótica. UNIDAD 02: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y FÍSIC OS. (1 ra parte). Contenidos. Descripción de la posición: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas Descripción de la orientación y matrices asociadas. Traslación y rotación.

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  1. IAR234Robótica UNIDAD 02: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS Y FÍSICOS. (1ra parte)

  2. Contenidos • Descripción de la posición: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas • Descripción de la orientación y matrices asociadas. • Traslación y rotación. • Velocidad, aceleración momento de inercia, centro de masa y tensor de inercia. • Cinemática del robot: cinemática directa e inversa. • Cinemática del movimiento. • Fuerzas que actúan sobre el robot y equilibrio. • Dinámica del robot: métodos de Lagrange y de Newton-Euler • Ejercicios sobre dinámica de robots. Dr. Juan José Aranda Aboy

  3. Objetivos específicos • Explicar el funcionamiento de la arquitectura de un robot y de las partes que integran esa arquitectura. Dr. Juan José Aranda Aboy

  4. Localización espacial del robot • La necesidad de manipular piezas demanda el movimiento espacial del extremo del robot, lo que muestra la necesidad de disponer de herramientas matemáticas para especificar la posición y orientación de dicho extremo. • Por nuestros estudios previos, conocemos que podemos representar una posición en el espacio empleando un sistema de coordenadas, siendo comunes el cartesiano y el polar. Dr. Juan José Aranda Aboy

  5. Representación espacial: Posición • Se establece un sistema de coordenadas con el cual podemos localizar cualquier punto en el espacio mediante un vector de posición (3x1). • Se indica con un superíndice el sistema de coordenadas al cual dicho vector es referido. Dr. Juan José Aranda Aboy

  6. Representación de la posición en coordenadas cartesianas Dr. Juan José Aranda Aboy

  7. Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas Dr. Juan José Aranda Aboy

  8. Representación de la posición en coordenadas esféricas • Otra alternativa 3D son las coordenadas esféricas: Dr. Juan José Aranda Aboy

  9. Orientación • Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado, se le asigna solidariamente a este, otro sistema de coordenadas: Dr. Juan José Aranda Aboy

  10. Descripción de la orientación relativa • Luego se da la “descripción” de este sistema de coordenadas “relativa” al sistema de coordenadas de referencia. • Existen varios métodos para representar orientaciones: • Matriz de Rotación. • Ángulos de Euler (ZXZ y ZYZ) • Roll, pitch and yaw. • Par de rotación (o Vector - ángulo). • Cuaternios: Para describir la orientación de un cuerpo respecto de un sistema de coordenadas dado. Dr. Juan José Aranda Aboy

  11. Representación de la orientación.Matrices de Rotación 2D • La orientación de un objeto respecto a una referencia se realiza empleando una matriz. • Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT R es conocida como matriz de cosenos directores Dr. Juan José Aranda Aboy

  12. Matrices de Rotación 3D (1) Dr. Juan José Aranda Aboy

  13. Matrices de Rotación 3D (2) Dr. Juan José Aranda Aboy

  14. Composición de rotaciones Orden de la composición: • Rotación sobre OX • Rotación sobre YO • Rotación sobre OZ Dr. Juan José Aranda Aboy

  15. Ángulos de Euler • Girar el sistema OUVW un ángulo f con respecto al eje OZ, convirtiéndose así en el OU'V'W'. • Girar el sistema OU'V'W' un ángulo q con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''. • Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo y respecto al eje OW'‘ convirtiéndose finalmente en el OU'''V'''W''' Dr. Juan José Aranda Aboy

  16. Roll, Pitch y Yaw • Girar el sistema OUVW un ángulo y con respecto al eje OX. (Yaw) • Girar el sistema OUVW un ángulo q con respecto al eje OY. (Pitch) • Girar el sistema OUVW un ángulo f con respecto al eje OZ. (Roll) Dr. Juan José Aranda Aboy

  17. Par de rotación • Mediante la definición de un vector k (kx,ky.kz) y un ángulo de giroq, tal que el sistema OUVW corresponde al sistema OXYZ girado un ángulo q sobre el eje k Dr. Juan José Aranda Aboy

  18. Cuaternios • Alta eficiencia computacional • Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB) Q=[q0,q1,q2,q3]=[s,v] • Giro de un ángulo 2 sobre el vector k: Dr. Juan José Aranda Aboy

  19. Coordenadas homogéneas • Coordenadas de un espacio (n+1)-dimensional para representar sólidos en el espacio n-dimensional. p(x,y,z) p(wx,wy,wz,w) con w=factor de escala • Vector en coordenadas homogéneas: • Ejemplo: 2i+3j+4k [4,6,8,2]T ó [-6,-9,-12,-3]T • Vector nulo:[0,0,0,n]T Dr. Juan José Aranda Aboy

  20. Matrices de transformación homogénea • Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro. R3x3: matriz de rotación p3x1: vector de traslación f1x3: transformación de perspectiva w1x1: escalado global (1) Dr. Juan José Aranda Aboy

  21. Aplicación de las matrices de transformación homogénea • Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada sobre un sistema de referencia. • Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. • Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ. Dr. Juan José Aranda Aboy

  22. Traslación con matrices homogéneas • Matriz básica de traslación: • Cambio de sistema de coordenadas: Dr. Juan José Aranda Aboy

  23. Ejemplo de traslación (1) • Según la figura el sistema O'UVW está trasladado un vector p(6,-3,8) con respecto del sistema OXYZ. • Calcular las coordenadas (rx , ry ,rz) del vector r cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3) Dr. Juan José Aranda Aboy

  24. Ejemplo de traslación (2) • Calcular el vector r’xyzresultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación T(p) con p(6,-3,8) Dr. Juan José Aranda Aboy

  25. Rotación con matrices homogéneas • Matrices de rotación básicas: • Cambio de sistema de coordenadas: Dr. Juan José Aranda Aboy

  26. Ejemplo de rotación • Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. • Calcular las coordenadas del vector rxyzsi ruvw = [4,8,12]T Dr. Juan José Aranda Aboy

  27. Combinación de rotaciones y traslaciones (1) • Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes • El producto NO es conmutativo: rotar y trasladar ≠ trasladar y rotar Dr. Juan José Aranda Aboy

  28. Combinación de rotaciones y traslaciones (2) • Rotación seguida de traslación: • Traslación seguida de rotación: Dr. Juan José Aranda Aboy

  29. Ejemplo de combinación traslación-rotación (1) • Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. • Calcular las coordenadas (rx ,ry ,rz) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11) Dr. Juan José Aranda Aboy

  30. Ejemplo de combinación traslación-rotación (2) • Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. • Calcular las coordenadas (rx , ry , rz) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11) Dr. Juan José Aranda Aboy

  31. Significado geométrico de las matrices homogéneas n,o,a: terna ortonormal que representa la orientación p: vector que representa la posición ||n||=||o||=||a||=1 n x o = a [n o a]-1=[n o a]T Dr. Juan José Aranda Aboy

  32. Inversa de una matriz de transformación homogénea Dr. Juan José Aranda Aboy

  33. Composición de matrices homogéneas (1) • Una transformación compleja puede descomponerse en la aplicación consecutiva de transformaciones simples: giros básicos y traslaciones. • Una matriz que representa un giro de un ángulo a sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo f sobre el eje OY y de un giro de un • ángulo q sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación: Dr. Juan José Aranda Aboy

  34. Composición de matrices homogéneas (2) Dr. Juan José Aranda Aboy

  35. Criterios de composición de matrices homogéneas • Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4 • Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas. • Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformaciones previas. Dr. Juan José Aranda Aboy

  36. Ejemplo de composición de matrices homogéneas (1) PREMULTIPLICACIÓN • Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido a partir del sistema OXYZ mediante un giro de ángulo -90º alrededor del eje OX, de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un giro de 90º sobre el eje OZ: Dr. Juan José Aranda Aboy

  37. Ejemplo de composición de matriceshomogéneas (2) POSMULTIPLICACIÖN • Obtener la matriz de transformación que representa las siguientes transformaciones sobre un sistema OXYZ fijo de referencia: • traslación de un vector pxyz(-3,10,10); • giro de -90º sobre el eje O'U del sistema trasladado y • giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado Dr. Juan José Aranda Aboy

  38. Gráficos de transformación Dr. Juan José Aranda Aboy

  39. Comparación entre métodos de localización espacial Dr. Juan José Aranda Aboy

  40. Descripción de “frame” • La información necesaria para especificar completamente la ubicación del efector final (o cualquier elemento) de un manipulador puede definirse por medio de un “Frame”: Conjunto de 4 vectores que dan información de posición y orientación. Dr. Juan José Aranda Aboy

  41. Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro • Mapeos sobre frames trasladadosde igual orientación: Dr. Juan José Aranda Aboy

  42. Mapeos: cambiando la descripción de un frame a otro • Mapeos sobre frames rotados sin traslación: Dr. Juan José Aranda Aboy

  43. Mapeo general: Traslación + Rotación Dr. Juan José Aranda Aboy

  44. Referencias de archivos en .PDF • Fundamentos de Robótica (Cap3, p49 (57 de 314)) • curso_biom_ar/Cap_2_2007 • curso_umh_es/Tema3 • upm_disam_es/Herramientas matemáticas • robotica/Apuntes de Robotica (Tema 2, 18 de 177) • robots_springer_2008/07_PositionOrientation y 08_EulerRPYHomogeneous Dr. Juan José Aranda Aboy

  45. Sitios en Internet • http://www.worldrobotics.org/ • ISO 25.040.30: Industrial robots. Manipulators • INDUSTRIAL ROBOTS AND ROBOT SYSTEM SAFETY • Academic Websites • The Robotics WEBook • ROBOTICA I - Curso 2004-05 Dr. Juan José Aranda Aboy

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