ปฏิยานุพันธ์ (Integral)

1. ปฏิยานุพันธ์ (Integral) 1.คำจำกัดความของอินทิกรัล ตัวอย่างY = f(x) = x2 d y = d f(x) = d (x2) = 2x dx dx dx  d f(x) = 2x dx กำหนดให้ F(x) เป็นอนุพันธ์ของ f(x) เทียบกับ x จงหาฟังก์ชัน f(x) ถ้า F(x)  d f(x) , f(x) = ? dx

2. สิ่งที่ต้องการหา = ? อ่านว่า อินทิกรัลของ F(x) เทียบกับ x จากคำจำกัดของ และ จะได้ ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัส

3. ตัวอย่างที่ 1 โจทย์ กำหนดว่า f(x) มีอนุพันธ์ = 2x จงหา f(x) แนวการคิดd (?) = 2x dx เป็นไปได้ 2 คำตอบ คือ x2กับ x2 + c d x2= 2x และ d (x2+ c) =2x dx dx คำตอบที่ดีที่สุด ของ C เป็นค่าคงตัว(arbitrary constant) หาได้จากเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial condition) ที่โจทย์บอก

4. ตัวอย่างการหาค่า C จากตัวอย่างที่ 1 f(x) = x2 + C เงื่อนไข กำหนดให้ f(1) = 3 แทนค่า x = 1 ลงใน f(x) = x2 + C จะได้ f(1) = 3 = (1)2 + C  C = 3 – 1 = 2

5. 2.ผลที่ตามมาจากคำจำกัดความของอินทิกรัล2.ผลที่ตามมาจากคำจำกัดความของอินทิกรัล 1. เน้น 2. 3. 4. เสริม ) 5.

6. 3. สูตรของการอินทิกรัล 1. 2. 2. เน้น 3. 4. 5. 6. 7. เสริม 8.

7. 4.ความหมายเชิงเรขาคณิตของอินทิกรัล4.ความหมายเชิงเรขาคณิตของอินทิกรัล y กราฟของ y = F(x) กำหนดให้ A = A(x) เป็นฟังก์ชันของ พื้นที่ใต้กราฟ PQ ระหว่างจุด a ถึง จุด X กับแกน x เป็นพื้นที่ของรูป axQP Q y P x o a x x+x นั้นคือ ค่า เป็นพื้นที่ใต้กราฟจากจุด a ถึง x ถ้า x = b

8. วิธีทางเรขาคณิต แบ่งช่วง a ถึง x ออกเป็นช่วงเล็กๆที่มีความกว้าง x จำนวนมาก และคำนวณค่าพื้นที่ yx แต่ละแท่งเล็กๆรวมกัน โดยให้ค่า x0 จะได้ แสดงว่า

9. 5.อินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตและแบบจำกัดเขต5.อินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตและแบบจำกัดเขต การอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขต เช่น การอินทิกรัลแบบจำกัดเขต เช่น 6.คุณสมบัติเกี่ยวกับการอินทิกรัลแบบจำกัดเขต 1.ถ้า a > b แล้ว 2. เมื่อ a, b, c คือ จุดใดๆในช่วงการอินทิเกรต 3.

10. ตัวอย่างที่ 2 วิธีทำ ANS ตัวอย่างที่ 3 วิธีทำ ANS

11. ตัวอย่างที่ 4 du = 2 du = 2dx วิธีทำ กำหนดให้ u = 2x dx ANS

12. ตัวอย่างที่ 5 กำหนดให้ u = cosx du = -sinx du = -sinxdx วิธีทำ dx ANS