1. AldagaiAnitzekoFuntzioakIntegraketa

2. Integral bikoitzak Integral bikoitzakbialdagaikoz=f(x,y) funtzioen integral mugatuakdira. D definizioeremuitxi batean definitutako funtziojarraien integral bikoitzakaztertukoditugu. Integral bikoitzarendefinizioa Riemann-en batuketen segida baten bidezematen da. Irudianikusten da nola funtzioaren D definizio-eremuazatitzen den zatitxikietan: Ds1, Ds2,…Dsn.

3. Integral bikoitzak Zatietan (beraienbarnean edo mugan) puntubana aukeratzendugu: P1, P2,…, Pn. Puntuhorietanfuntzioaren balioak, f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerakbezalahartzendira zutabezuzenakeraikitzeko, non zutabeenoinarriakDs1, Ds2,…,Dsnbaitira, hurrenezhurren:

4. Integral bikoitzak Zutabezuzenhorienbolumenakkalkulatzenditugu (f(P1), f(P2),…, f(Pn) altuerakbiderDs1, Ds2,…,Dsn, oinarriengainazalak, hurrenezhurren) eta elkarribatzendizkiogu: Batura hauizango da z=f(x,y) funtzioarenazpianeta D eremuanoinarrituta dagoenbolumenerakohurbilketa (suposatuzf(x,y) > 0 eremuosoan). ZenbatetagehiagoDsi, zatienkopurua, hau da, zenbatetatxikiagoDsi-ren gainazalenbalioak; edo, gauzaberadena, zenbatetaxeheago D-renzatiketa, orduanetahobeaizango da hurbilketa. Hortaz, hurrengo Riemann-en batuketasegidakizangogenituen: Vn1, Vn2,…, Vnk,… non n1<n2<…<nk<… eta hurbilketakgeroetazehatzagoakizangoziren. Riemann-en limiteaexistitzenbadank∞doanean (Dsi 0 doazenean) orduanhurrengo teorema dugu:

5. Integral bikoitzak Teorema: D eremuitxianz=f(x,y) funtzioajarraiabada, eta D-ren zatiketakoDsi, elementuendiametrohandienazerorantzjotzenbadu n∞denean, orduan Riemann batuketensegidakbadulimiterik. Limiteaez da zatiketaerarenmenpekoa, ezetaDsielementuetan hartutakoPipuntuenaukeraketarenmenpekoa ere. Limite hori D eremuan (D integrazio-eremuadeitukodugu zabaldutakof(x,y) funtzioarenintegral bikoitzadeitzendugueta honelaadieraztendugu:

6. Integral bikoitzak D integrazio-eremuanf(x,y)>0 bada, integral bikoitza hurrengo hiru gainazalhauekmugatutakogorputzaren bolumena da: 1: z=f(x,y) gainazala. 2: z=0 planoa. 3: D-ren mugaren gainetikdoanlerrobertikalbateksortutakogainazalzilindrikoa. Gainazalzilindrikoasortzekoerabiltzen den lerro bertikalariazalzilindrikoarensortzaileadeitzendiogu, eta D-ren muga-lerroariazalzilindrikoarenzuzendaria.

7. Integral bikoitzarenpropietateak • Bifuntzioenbaturaren integral bikoitzabatugaifuntzioen integral bikoitzenbatura da: 2. Konstante bat biderfuntzio baten integral bikoitza, konstanteabiderfuntzioaren integral bikoitza da: Aurrenekobipropietatehauengatik integral bikoitza eragiketalinealadelaesatendugu.

8. Integral bikoitzarenpropietateak • D integrazioeremuanf(x,y) ≥g(x,y) bada,orduan • D integrazioeremuabarne-puntukomunikgabeko D1 eta D2 eremupartzialezosatutabadado, integral bikoitza bitan banatudaiteke:

9. Integral bikoitzarenpropietateak • D integrazioeremuanf(x,y)=1 funtziokonstanteaintegratuz D eremukoazaleralortukodugu: • D eremukopuntuguztietanm≤f(x,y)≤Mbetetzenbada, orduan: • D eremukoffuntziojarraiaren integral bikoitza era honetanjardaiteke non P, D eremekopuntupartikular bat (gutxienez bat) den (batazbestekoaren teorema).

10. Integral bikoitzarenkalkulua Integral bikoitzarenkalkulua, neurri batean, D definizio-eremuko formaren menpekoa da. Hurrengo irudikoakintegrazioeremuerregularrak edo I motako integrazioeremuakdeitzendira:

11. Integral bikoitzarenkalkulua D eremuerregularrax-renbifuntziojarraienkurbenarteangelditzen da etahonelaadierazidaiteke: I motakoeremu batean f(x,y) funtziojarrai baten integral bikoitzakalkulatzekohurrengo erakointegralarekinaritzengara (integral berrituaedo integral iteratua): Ikustendugunez integral iteratuaegiteaaldagaibakarrekobi integral egitea da, bata bestearenatzetik, lehenegoa, parentesiarenbarrukoa, y-rekiko, etabigarrenax-rekikoa. Lehenengointegralax konstantetzathartuzegiten da etahortikateratzendenax-renfuntziojarraia da: Kanpokointegralarenmugakkonstanteakdira, eta integral iteratuarenemaitzazenbaki bat da:

12. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

13. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

14. Integral bikoitzarenkalkulua

15. Integral bikoitzarenkalkulua II motakointegrazioeremuak ere definitudaitezke. Hurrengo eratakoakdiraetairudianbiadibideerakustendira:

16. Integral bikoitzarenkalkulua II motakointegrazioeremuetanegindako integral bikoitzahurrengo integral berritu edo iteratuarenbidezkalkulatzen da: non, barrukointegrala (lehendabiziegitendena) x-rekikoa den etakanpokoa y-rekikoa.

17. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

18. Integral bikoitzarenkalkulua

19. Integral bikoitzarenkalkulua

20. Integral bikoitzarenkalkulua Adibidea:

21. Integral bikoitzarenkalkulua

22. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

23. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

24. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

25. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

26. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

27. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

28. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

29. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

30. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

31. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Integral bikoitzarendefinizioanesangenuenberebalioezzela D eremukozatiketa motaren menpekoa, hau da, Dsi, elementuen forma edozein izan zitekeen. Integral bikoitza, integral iteratuarenbidez, x-rekikoeta y-rekiko bi integral sinplebilakatzenzen. Horrela, bolumentotalalortzen da dxdyoinarriinfinitesimaladutenparalelepipedoenbolumenakelkarri batuz (integratuz). Koordenatukartesiarhauekezdirabetisuertatzenegokienak (edo errazenak) integralakkalkulatzeko, etahorregatikdefinitzendira bestekoordenatu-sistema batzuk.

32. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatupolarrak: OXY planokopuntuak deskribatzekobeste sistema da:

33. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatu polar hauek oso egokiakdirahurrengomotakoeremuetanintegralakkalkulatzeko:

34. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan D integrazioeremuarenzatiketaeginzitekeenlauki kartesiar (dA=dxdy) infinitesimalenbidez, edo, hurrengoirudian Erakusten den lauki polar (dA=rdrdq) infinitesimalenbidez:

35. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Adibidea:

36. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Adibidea:

37. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan

38. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Integrazioeremuakkonplexuagoak ere izan daitezke koordenatupolarrekin. Adibidezhurrengoirudikoa:

39. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Edo bestehurrengoirudikoa:

40. Aldagaialdaketa integral bikoitzetan Koordenatukartesiarrekinegitengenuenbezala, integrazio eremuarengainazalakalkulatunahibadugu, f(x,y)=1 funtzioa integratukodugu:

41. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

42. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez Adibidea:

43. Azaleraetabolumenenkalkulua integral bikoitzarenbidez

44. Bestelakoaplikazioak Integral bikoitzak, Zientzian, arlo askotanagertzenzaizkigu. Magnitude batzurenkalkuluak integral bikoitzenbidezeginbehardira. Adibide batzuenlaburpenaaipatukodugu: 1. Xaflamehebatidagozkionhainbatpropietate, besteakbeste, bere masa, berarenkargaelektrikoaetaabarrekoak, kalkuladaitezkebialdagaikofuntzioen integral bikoitzenbidez:

45. Bestelakoaplikazioak

46. Bestelakoaplikazioak Adibidea:

47. Bestelakoaplikazioak 2. Integral bikoitzarenbidez, xafla baten grabitate-zentrua, G, non dagoenkalkuladaiteke ere:

48. Bestelakoaplikazioak Adibidea:

49. Bestelakoaplikazioak

50. Bestelakoaplikazioak