Doc. Milo š Steinhart, 06 036, ext. 6029

1. Pokročilá fyzika C803fIIp_13Úvod do moderní fyziky VExkurze do současné astrofyziky a kosmologie http://stein.upce.cz/msfIIp13.html Doc. Miloš Steinhart, 06 036, ext. 6029

2. Hlavní body • Hlavní myšlenky speciální teorie relativity • základní postuláty • odvození pomocí Bondiho k • skládání rychlostí • Lorentzova transformace • relativistická dynamika • Nástin obecné teorie relativity • Současné problémy studia makrosvěta • Jak starý je vesmír a čas? • Je ve vesmíru život?

3. Úvod do teorie relativity • Teorie relativity se zabývá problémem vztažnýchsoustav a jejich případné ekvivalence nebo výjimečnosti • Speciální TR se zabývá soustavami inerciálními • Obecná TR se zabývá soustavami neinerciálními

4. Základní principy STR I • Po strastiplném vývoji fyziky byl jako prvnípostulát relativity přijat principkovariance inerciálních soustav: • pozorovatelé v každé soustavě vidí svět řízený stejnýmifyzikálnímizákony. • žádná inerciální soustava neníobecněvýjimečná a žádným experimentem nelzezjistit, jestli je v klidunebo se rovnoměrněpohybuje • Konkrétní hodnoty fyzikálních veličin ale invariantní nejsou. • Pro každé těleso je ale speciální soustava, vůči níž je v klidu, jeho klidovásoustava. V ní je například nejlehčí a nejdelší. Ve vlastní klidové soustavě plyne čas (běží hodiny)nejrychleji.

5. Základní principy STR II • Dlouho se předpokládala platnost Galileovaprincipu, který stanovil, že “zákony mechaniky mají ve všech soustaváchstejný tvar” a ‘zřejmý fakt’, že čas běží v každé soustavě stejně rychle. • Přesnější experimenty ovšem ukazují, že ”ve všech soustavách je rychlostsvětla konstantní”. A právě tato skutečnost, která ale odporuje principu stejného toku času (!!!), musela být přijata za druhýzákladnípostulát STR.

6. Základní principy STR III • Nutné a často překvapivé důsledky jsou : • v každé inerciální soustavě plyne vlastníčas. • prostorové a časové souřadnice spolu neoddělitelně souvisí a tvoří společné časoprostorové souřadnice. • na další fyzikálníveličiny jakonapříklad délku, hmotnost, hybnost a energii je třeba hledětrelativisticky.

7. Základní principy STR IV • Ukážeme, že souřadnice musíme chápat jako společnéčasoprostorové protože pozorovatelé ze všech inerciálních soustav vidí stejný časoprostorový interval. • Úplnou závislost časoprostorovýchsouřadnic v jedné soustavě na časoprostorových souřadnicích v soustavě druhé popisuje Lorentzova transformace. Odvodíme její speciální tvar pro soustavy, které se navzájem pohybují rovnoměrně ve směru společné osy x. • Užijeme netradiční, alevelmi ilustrativní metody Minkowského grafikonů a Bondiho k. Tuto metodu skvěle zpracoval Přemysl Šedivý z GJKT v HK: fyzikalniolympiada.cz/texty/str2.pdf

8. Časoprostorový interval I • Mějme dvě soustavy, které se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře libovolným směrem. V jistém okamžiku, kdy se jejich počátky právě míjejí v jednom bodě, je z tohoto bodu vyslán světelný signál (kulová EMA vlna) a současně je v každé ze soustav vynulován čas. • Z druhého postulátu plyne, že v obou soustavách musí signál vyhovovat rovnici koule a tedy platí:

9. Časoprostorový interval II • Tento vztah lze chápat ještě obecněji jako rovnost časoprostorovéhointervalu mezi dvěmi událostmi 1 a 2, viděnými z obou soustav. Označíme-li např. : neboplatí : • Jedná se tedy o interval v čtyřrozměrném prostoru, kde : • čas se násobí rychlostí světla c, aby všechny souřadnice měly shodně rozměrdélky. • neplatí Eukleidovská metrika, ale metrikaLorentzova a kvadrát časové souřadnice se totiž nepřičítá, ale odečítá.

10. Časoprostorový interval III • Zavedou-li se pro jednoduchost souřadnice tak, že vzájemnýpohyb se odehrává pouze ve směru společnéosyx, x’, může dojít k relativní změně jen ve směru této osy, takže platí a a tedy : • Již zde je vidět, že časový interval mezi dvěmi událostmi je nejkratší v soustavě, kde se tyto události odehrávají na stejném místě.

11. Bondiho k I • Metoda Bondihok je ilustrativní díky snadné měřitelnosti a ověřitelnosti relativistických efektů. Poprvé ji navrhl Herman Bondi (1919-2005). • Předpokládejme konkrétně, že : • pozorovatel A je trvale v počátku nečárkované soustavy a pozorovatel B je trvale v počátku soustavy čárkované. • čárkovaná soustava se pohybuje vůči nečárkované jistou rychlostí u menší než c ve směru osy x • a tedy nečárkovaná soustava se pohybuje vůči čárkované rychlostí -u ve směru osy x' neboli rychlostí u ve směru osy -x' • v okamžiku, kdy se míjelypočátky obou soustav, byly v obou (kvůli podstatnému zjednodušení popisu)vynulovány hodiny

12. Bondiho k II • Důležité dále je, že : • Pozorovatelé A a B se vůči sobě pohybují podsvětelnou rychlostí, takže se spolu mohou průběžně domlouvat zařízením, které přenáší informaci rychlostí světla c, například pomocí radiových vln nebo světla (laseru) a tento signál vždy za jistou dobu dostihne druhou soustavu. • Pozorovatel A například vyšle signál v čase t1, pozorovatel B jej zaregistruje a současně odrazí v čase t’2 a k pozorovateli A se signál vrátí v čase t3. Ten může signál opět odrazit, aby se k pozorovateli B vrátil v čase t’4 atd. • Každý z pozorovatelů může při odrazu signálu navíc principiálně přidat informaci o času odrazu ve své soustavě, takže lze přímo porovnat časy v obou soustavách!

13. Bondiho k III • Stěžejní myšlenka spočívá v tom, že vzhledem k symetrii a ekvivalenci soustav, které se od sebe vzdalují stejnoukonstantnívzájemnourychlostíu, a faktu, že časy v obou soustavách byly v okamžiku míjení pozorovatelů vynulovány, lze předpokládat i dokázat přímouúměru času vyslání signálu v jedné soustavě a přijetí tohoto signálu v soustavě druhé :t’2 = k.t1ale také t3 = k.t’2, kde k je totožné a tedypo vyloučení t’2 platí téžt3 = k2.t1 • Bondiho k je koeficient této úměrnosti a zřejmě očekáváme k >1. • Zatímco čas t’2 změří pozorovatel B přímo, protože děj se odehrává v počátku jeho čárkované soustavy, může pozorovatel A určit odpovídající čas t2 jen nepřímo jako průměr dob vyslání a přijetí svého signálu. Přirozeně předpokládáme, že do bodu odrazu x2 signál letí stejně dlouho jako zpět :

14. Bondiho k IV • Do boduodrazux2 doputuje počátek čárkované soustavy ve stejný okamžik jako signál : • Díky tomu může pozorovatel A snadno zjistit z časů vyslání signálu a příjmu jeho odrazu vzdálenost x2 i vzájemnourychlost soustav : • Relativistické rychlosti je zvykem vyjadřovat jako β, což je rychlost vztaženou k rychlosti světla c, zde tedy:

15. Bondiho kV • Po jednoduché úpravě tedy naopak pro kplatí : • Kdyby pozorovatel A v čase t3 signál nejen přijal, ale také jej opět odrazil a pozorovatel B jej přijal v čase t’4, můžeme udělat obdobné závěry z hlediska pozorovatele B. • Je tedy zřejmý význam koeficientu k i důvod, proč musí být v obou soustavách stejný.

16. Skládání rychlostí I • Z hlediska Galileovské relativity je překvapivý vztah pro skutečné relativistické skládánírychlostí. Nechť : • Pozorovatel C se pohybuje rychlostí u vůči pozorovateli B a ten se pohybuje rychlostí v vůči stojícímu pozorovateli A. • Všichni tři pozorovatelé se setkali v jednom okamžiku v jednom bodě a vynulovali si hodiny.

17. Skládání rychlostí II • Vzájemná rychlost pozorovatele A a C, čili rychlost w vzniklá složením rychlostí u a v : • Zřejmě, je-li jedna z rychlostí u nebo v rovna c, je i w = c. • To samozřejmě souhlasí s druhým postulátem relativity! • Bude-li např. 1=2=3/4, vyšlo by klasickýmskládáním w,=6/4 > c ! Ale relativisticky vychází w = 24c/25< c, což je OK. Pro důkaz můžeme použít zjednodušený výraz, v němž vystupují rychlosti vyjádřené pomocí .

19. Lorentzova transformace I • Pohybuje-li se čárkovaná soustava vůči nečárkované rychlostí u ve směru osy xpotom : kde používáme Lorentzův faktor :

20. Lorentzova transformace II • Vyřešením předchozích rovnic nebo prostou úvahou, že z hlediska čárkované soustavy je vzájemná rychlost soustav –u (je zvykem, aby obě osy měly stejnou orientaci), je zpětná transformace :

21. Lorentzova transformace III • Při obvyklém použití, jímž je porovnání časoprostorových souřadnic dvouudálostí(např. x’=x’2-x’1 atd.) platí Lorentzovy transformace ve formě intervalové:

22. Lorentzova transformace VI • Pro rychlosti u menší než cca 10% c je   1 a platí téměř přesně Galileovská relativita, tedy x’  x – uta t’ = t . • S přibližováním u k croste do nekonečna a tím se zvětšují i relativistickéefekty. • Zde rozebereme čtyři důležité relativistické jevy: relativitusoučasnostijevů, dilatacičasu, Dopplerův jev a kontrakcidélky.

23. Relativistická kinematika - souhrn • Bondiho k : • Skládání rychlostí : • Lorentzova transformace :

24. Současnost jevů • Uvažujme vztah : • Došlo-li v čárkované (pohyblivé) soustavě ke dvěma současným dějům na dvou různýchmístech, nemohoubýt tyto události v nečárkované soustavě současné : Znaménkem x’ je určeno i znaménko t!

25. Dilatace času I • Porovnáme-li časy jednoho odrazu v obou soustavách, které jsme uvažovali u Minkowského grafikonů, dostáváme např. : • Není-li vzájemná rychlost soustavuzanedbatelná vůči rychlosti světla, přijme pozorovatel B signál dříve než se to jeví pozorovateli A. O tom se může A snadno přesvědčit, připojí-liB k signálu při odrazu informaci o svém čase t’2. • Uvědomme si, že Lorentzovo  je poměr mezi časy jednéudálosti, viděno z jednotlivých soustav, zatímco Bondiho k je poměr mezi časy dvou různých událostí, které jsou ale spolu vázány signálem, šířícím se rychlostí světla!

26. Dopplerův jev I • Bondiho k má přímou souvislost s Dopplerovým jevem: Vysílá-li pozorovatel A pravidelné signály s periodou T0, bude je pozorovatel B zjevně přijímat s periodou : • Vzhledem k reciproké závislost frekvence a periody, platí pro frekvenci signálu, přijímaného pozorovatelem B :

27. Dopplerův jev II • Ke stejnému výsledku samozřejmě dojdeme i v případě, že signály vysílá pozorovatel B a přijímá pozorovatel A. • Pokud se pozorovatelé vzdalují, je : u > 0 a T > T0nebof < f0. • Pokud se pozorovatelé přibližují, je : u < 0 a T < T0 nebof > f0. • Dopplerův jev je důležitou pomůckou k určení rychlosti vzdálených přirozených nebo umělých objektů vůči Zemi. • U přirozených objektů se využívá posunu známých spektrálních čar.Je to vidět například na rudém posuvu při srovnání spektra Slunce a superklastru vzdálených galaxií.

28. Rozdílný tok času I • O rozdílném toku času navzájem se rovnoměrně pohybujících pozorovatelů se lze přesvědčit ještě jinou jednoduchou úvahou: • Pozorovatel B má hodiny, které pracují se světelným paprskem, odrážejícím se střídavě od dvou zrcadel kolmo na směr vzájemného pohybu soustav, např. ve směru osy y’, vzdálenými od sebe Y’=Y. Za vhodnou jednotku času bude B brát například dobu mezi dvěma následujícími odrazy od stejného zrcadla, protože ty se v jeho soustavě odehrávají v místěopřesněstejných souřadnicích. • Stejný paprsek pozoruje i pozorovatel A.Pro něj se ale bod odrazu pohybuje.

29. Rozdílný tok času II • Pozorovatel B naměří čas t’ = 2Y/c a Pozorovatel A naměří čas t = 2L/c. • Protože jezjevně L > Y a rychlost světla c je v obou soustavách stejná, musí být t > t’. • Pomocí Pythagorovy věty dostaneme přesně stejný výsledek jako výše:

30. Rozdílný tok času III • Popsané hodiny byly poněkud zvláštní, ale stejného výsledku musíme dosáhnou i pomocí libovolných jiných hodin. V důsledku principu kovariance totiž musí v určité inerciální soustavě běžet všechny (správné) hodiny stejně rychle. Jinak by se měřením dala tato soustava odlišit od jiných a tím by byla speciální. • Všimněme si, že takzvaný správný čas, tedy ten měřený v soustavě, kde se události odehrávají na stejném místě, je čas nejkratší možný.

31. Dilatace času II • Úplný i když poněkud komplikovanější obraz vyplývá z Lorentzovy transformace : • Došlo-li v čárkované (pohyblivé) soustavě ke dvěma nesoučasným dějům nastejnémmístě, je časový interval mezi nimi v nečárkované soustavě (a každé jiné, kde nedošlo k událostem na stejném místě) delší:

32. Dilatace času III • Čárkovaná soustava není zvláštní tím, že je pohyblivá. Pohyb je relativní a vůči ní se zase pohybuje soustava nečárkovaná. Je ale je zvláštní tím, že se v ní události odehrály na stejném místě! Je pro ně klidová • Kdyby se naopak odehrály na jednom místě v soustavě nečárkované, použijeme pro určení časového intervalu v čárkované soustavě rovnici : a vidíme, že interval je nyní delší v ní :

33. Kontrakce délky I • I kontrakci délky můžeme ilustrativně odvodit pomocí Minkowského grafikonů. • Ekvivalentní odvození můžeme udělat použitím Lorentzovy transformaci. Použijeme vztah : • Budiž je jistá délka, pevná v (pohybující se) čárkované soustavě. V nečárkované (a každé jiné) soustavě má smysl jen délka určená v jednom okamžiku a tedy :

34. Kontrakce délky II • Je nutné si ale opět uvědomit, že čárkovaná soustava je zde speciálnítím, že tyčse v ní nepohybuje. • Jinak jsou popsané efekty samozřejmě vzájemné a z čárkované soustavy se jeví zase předměty pevné v nečárkované (stojící) soustavě jako zkrácené. Pro takový předmět použijeme a ze stejných důvodů, jako při předchozím odvození opět můžeme psát :

35. Kontrakce délky III • Této skutečnosti se například běžně využívá při konstrukcisynchrotronů : • V nich ‘vidíme’ letící částice, jimiž jsou elektrony nebo pozitrony, zkráceny. A naopak ony ‘vidí’ zase zkráceny různé komponenty synchrotronu, například wigglery. Ty potom mohou mít makroskopické a nikoli mikroskopické rozměry, čili jsou mnohem snadněji vyrobitelné. • Relativita neumožňujeporušitkauzalitu : • Jeden děj může být způsoben nebo ovlivněn druhým jen tehdy, stačí-li mezi nimi proběhnout signál, šířící se rychlostí světla c! • V žádné soustavě nemůže nastat příčina před následkem!

36. Relativistiská dynamika I • Relativistická dynamikaukazuje, že hmotnosttělesa, která je ve své soustavě, vůči níž je v klidu, rovna klidové hmotnosti m0, se jeví v soustavě, vůči níž se pohybuje, větší : • Pomocí této tzv. relativistickéhmotnosti lze potom definovat hybnost a celkovouenergii :

37. Relativistiská dynamika II • Novinkou, vyplývající ze STR je, že i v soustavě, vůči níž je těleso v klidu, nemá celkovou energii nulovou, ale musí mít klidovou energii : • Rozdíl celkové a klidové energie je roven energiikinetické : • Souvislost obouenergií a hybnostijevyjádřena :

38. Relativistiská dynamika III • Klidová energie elektronu je : • Elektron urychlený z nulové rychlosti napětím U získá kinetickou energii Ue [eV]. Potom lze například určit jeho rychlost nebo hybnost a tím přes de Broglieho formuli též vlnovou délku. • Například pro urychlovací napětí U = 10 MV je  = 0.99882, p = 5.61.10-21kgm/s a λ= 0.118 pm

39. Relativistiská dynamika IV • Skutečnost, že rychlost, kterou může letět raketa, je omezená na c nám principiálně nebrání dosáhnout libovolné vzdálenosti za libovolně krátkou dobu. Problém ale je, získat na to dostatek energie. Pokud chceme urychlit makroskopické těleso na rychlost blízkou c, musíme jí dodat energii Ekin = (-1)E0. To je například pro předchozí  cca 21*E0. Pokud by raketa na vzdáleném místě měla zabrzdit a potom se vrátit, museli bychom umět tuto energii nějak uložit nebo ji získat ještě znovu na zpáteční cestu.

40. Relativistická dynamika - souhrn • Pohybující se hmotnost : • Hybnost : • Zákon síly : • Energie celková, klidová a kinetická • Souvislost energie a hybnosti :

41. Obecná teorie relativity • Při urychlování tedy rostou kinetická a celková energie a hybnost. Roste i rychlost, ale jen nepatrně a pouze sepřibližujerychlostisvětla. • Obecná TR vychází z postulátu, že fyzikální zákony musí být vyjádřeny v takové formě, která je invariantní v jakkoli se pohybující soustavě. • Pozorovatel nemůže rozlišit, zda je v gravitačnímpoli nebo zrychlenésoustavě. Gravitační pole zakřivuječasoprostor. Světlo, šířící se přímočaře, se ve skutečnosti šíří po křivce. • Experimentální důkazy nepravidelnosti v oběhu Merkura, posun hvězd při zatmění, gravitační čočka …

42. Jak je starý čas? I • Otázkami jestli vesmírvznikl a jestli zanikne a kdy k tomu došlo nebo dojde, se lidé zabývali odnepaměti. Nejvíce ale filosofové a teologové, kteří vytvářeli jisté myšlenkové konstrukce na základech, které se nedají podpořit, ani vyvrátit. • Současně se na tyto otázky snažili odpovědět i vědci, ale na základě pozorování. • Věda pracuje cestou hypotéza-> model-> teorie, např. Koperník -> Kepler -> Newton

43. Jak je starý čas? II • Po staletí lidé prováděli astronomická i jiná fyzikální pozorování a učinili řadu významných objevů. • Ale až ve 20. Století a zvláště na jeho konci se nahromadil dostatek důkazů pro vybudování věrohodných představ (hypotéz)ovývojihvězd a historii a snad i budoucnosti vesmíru. • Jedinou “nectností” těchto představ je, že lidé extrapolují informace, získané v určitém omezeném prostoru a čase.

44. Jak je starý čas? III • Existují ale závažné “polehčující” okolnosti. • Rozborem spekter vzdálených objektů můžeme učinit závěry o fungování fyzikálních a chemických zákonů v obrovské vzdálenosti. Víme například, že tam existují stejné prvky, jako na Zemi a v jejím okolí. • Pohled do vzdáleného vesmíru je díky konečné rychlosti světla také pohledem hluboko do minulosti.

45. Jak je starý čas? IV • Významné objevy : • rudýposuv ve spektrech vzdálených galaxií, který svědčí o tom, že se od sebe vzdalují tím rychleji, čím jsou tyto galaxie dále. Hubbleův zákon : u = Hd, H~ 20 kms-1/Mly… Hubbleova konstanta • reliktnízáření odpovídající teplotě 2.7 K rozpínajícího se vesmíru v teplotní rovnováze. • evolucevesmíru – vzdálené galaxie vypadají jinak • existence primordiálního (které nemohlo vzniklo ve hvězdách)helia

46. Jak je starý čas? V • Vývoj vesmíru od určitého okamžiku popisuje standardní model: • Vesmír začal ze singularity velkýmtřeskem, procesem obráceným ke vzniku černýchděr. • V něm počaly platit současné fyzikální zákony a principiálně nelze zjistit, co předcházelo. • V prvních zlomcích sekundy se od sebe oddělily čtyři (zatím) známé základnísíly: silná, slabá, elektrická a gravitační. • Model nepopisuje úplný začátek a neumí samozřejmě najít své okrajovépodmínky. Existuje např. názor, že náš vesmír s ‘velkým třeskem’ je součástí supervesmíru, který má úplně jiné vlastnosti a neví se, zda to lze byť principiálně ověřit.

47. Jak je starý čas? VI • Zatím se proto neví, další vývoj, zda bude vesmír nadále expandovat nebo se zastaví nebo se bude smršťovat. Každopádně, neměl by zaniknout minimálně dalších20 miliard let a čas bohužel půjde stále dopředu. • Ke studiu je třeba přibrat kvantovou teorii, a tedy i její principneurčitosti. • Kandidátem na lepší model je inflačníkosmologickýmodel, který vysvětluje úplný začátek a musí odpovědět na nejvážnější současné problémy:

48. Jak je starý čas? VII • vysokou homogenitu a izotropnost vesmíru • zároveň jisté existující nehomogenity • plochost vesmíru • poměr mezi jednotlivými složkami hmoty • vznik přebytkuhmoty nad antihmotou • absence pozorovatelných topologických singularit • problém počátečnísingularity

49. Jak je starý čas? IV • Důležité závěry zatím jsou : • vesmír existuje přibližně 13.7 miliard let a rozpíná se a toto rozpínání se zrychluje : • složení je 70% temnáenergie, 25% temnáchladnánebaryonováhmota a 5%baryonováhmota a malá příměs horké temné látky • Kdyby vesmír existoval vždy, musel by být podle 2. věty TD naprosto neuspořádaný a v každém bodě oblohy by byla hvězda a každá ploška oblohy by zářilajakoSlunce. Jediným důvodem, proč tomu tak není, je že hvězdy svítí od určitého okamžiku. Ve statickém vesmíru by k jejich zapnutí nebyl žádný důvod.

50. Život ve vesmíru I • Vzhledem k nesmírné velikosti vesmíru je pravděpodobné, že existují planety s podmínkami vhodnými pro život, jak ho známe. Jsou ale každopádně velmi daleko od sebe. • Tzv. Drakeova rovnice odhaduje existenci 2 – 10 civilizací vnašígalaxii, které existují v současné době a jsou schopny komunikovat. • Předpokládá se, že náš život by se měl v budoucnu rozšířit do vesmíru – antropickýprincip.