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2- SIMPLEX. DEFINICIONES Sea (P) el siguiente problema de programación lineal: (P) Min c T x / Ax = b x  0, donde c  R n , b  R m y A es una matriz de rango completo mxn con n>m.

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Presentation Transcript
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DEFINICIONES
  • Sea (P) el siguiente problema de programación lineal:

(P) Min cTx /

Ax = b

x  0,

donde c  Rn, b  Rm y A es una matriz de rango completo mxn con n>m.

  • Sea la región factible

S = { x  Rn, / Ax = b, x  0 }

y su interior relativo:

S0 = { x  Rn, / Ax = b, x >0 }

slide3
Sea (D) el problema dual asociado a (P):

(D) Max bTw /

ATw +z = c, z  0,

donde las variales z  Rm son las variables de holgura

  • Sea cualquier par (x,z) donde x  S y (w,z) es una solución factible para (D) para algún w  Rm, se define el gap de dualidad () como:

= cTx - bTw = xTz

  • TEO: Un par de soluciones primal (x) y dual (z) factibles son óptimas sii cuando una de estas soluciones factibles tiene una holgura estrictamente positiva, el valor de la variable asociada en el dual es cero, o sea:

xTz = 0 = 

slide4

AB ANB b

0 cTNB-cTBA-1BANB z

T= cTB*A-1B costo reducido= c- TA

  • Forma tableau del SIMPLEX
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Forma tableau:
  • Cálculo de costos reducidos
  • Gap de dualidad
  • Ubicación de la inversa de la base y fórmula recurrente
  • Variables duales en el tableau Simplex, holguras duales como costos reducidos
  • Soluciones primales y duales factibles
  • Interpretación dual
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SIMPLEX REVISTO
  • Sea el problema (P), con una matriz A de mxn, consideremos un paso genérico del simplex, sean:
    • B la base elegida en ese paso
    • XB un vector básico y B la solución dual
    • cB el vector de costos asociado a la base
  • Algoritmo:
    • Calcular XB resolviendo: B.XB=b
    • Calcular B resolviendo B .B= cB
    • Calcular los costos reducidos c’=cj- Taj  j.
    • Si c’j  0  j  fin
    • Encontrar s / c’s < 0 y seleccionar xS para entrar en la base
    • Calcular A’S resolviendo: B.A’S=AS
    • Si A’S < 0  fin
    • Pivoteo: encontrar r = b’r / a’rs= min{b’i / a’is, con a’is >0. Borrar de la base B a r e incluir AS. Ir al comienzo
slide7
NOTAS:
  • Normalmente todos los vectores ‘, se obtienen a partir del correspondiente vector calculado en el paso anterior y actualizándolo.
  • En el método simplex revisto en lugar de calcular B-1 explícitamente, se calcula como el producto de una secuencia de matrices pivot. El inconveniente es que los errores se acumulan y se recomienda que cada un cierto número de iteraciones se calcule B-1 desde el tableau original.
  • Para el cálculo de B-1 desde el tableau original se puede usar la descomposición LU o la factorización de Cholesky.
ejemplo
Ejemplo:

Sea el siguiente PL:

Max x1+2x2 /

-x1+2x2+x3 = 4

-x1+ x2+ x4 = 1

x1- 4x2+ x5 = 4

x1,x2,x3,x4,x50

  • Resolver gráficamente
  • Sea {2,3,5} los índices de la base inicial, encontrar la solución de base inicial correspondiente.
  • Calcular las ganancias marginales, mostrar que la solución de base anterior no es óptima.
  • Resolver por simplex revisto
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x2

Función objetivo (max)

2

1

x1

4

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SIMPLEX DUAL
  • Comienza con una base dual factible, pero primal infactible y recorre soluciones duales factibles adyacentes
  • Criterio de optimalidad: cuando se encuentra una solución primal y dual factible.
  • Algoritmo:

Mientras la solución primal sea no factible:

      • Elegir i/ bi<0
      • Si aij0  j=1..n, entonces problema no factible, fin.
      • Elección de la columna s a entrar en la base: elegir s/

-(c’s/ars)=mínimo{- c’j/arj, j/ a’rj<0}

      • Pivoteo como en el primal

fin mientras

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Resumen comparativo métodos primal y dual:
  • Primal: necesita una base inicial primal factible
  • Dual: necesita una base inicial dual factible
  • Comienza con una base primal factible y el algoritmo trata de alcanzar la factibilidad dual, manteniendo la factibilidad primal.
  • Comienza con una base dual factible y el algoritmo trata de alcanzar la factibilidad primal, manteniendo la factibilidad dual.
  • Criterio de optimalidad: factibilidad dual
  • Criterio de optimalidad: factibilidad primal
  • Fin: o alcanza el óptimo o el primal no acotado (infactibilidad dual)
  • Fin: o alcanza el óptimo o el dual no acotado (infactibilidad primal)
  • Todas las soluciones intermedias son primales factibles y duales infactibles
  • Todas las soluciones intermedias son duales factibles y primales infactibles
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PRIMITIVO- DUAL
  • DEF: Problema restringido asociado al primal, dada una solución dual  :

Min 1Ty /

Ax+y=b, con xi=0  i P

x0, y0

donde P= {i / TAi=ci } = índices de holguras duales nulas

NOTA: Este problema es similar al planteado para resolver la fase 1 del simplex (sólo figuran las columnas de A cuya holgura dual sea nula)

  • TEO: (Optimalidad primal-dual) Sea  una solución factible dual y (x,y=0) factible para el problema restringido asociado al primal, entonces (x, ) son soluciones óptimas para el primal y el dual.
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Algoritmo PRIMITIVO- DUAL

1- Sea  una solución factible dual y z una holgura dual factible (z0), tal que zj=0 para j=1..r y zj>0 para j=r+1..n

2- Construir el problema restringido primal correspondiente a j=1..r y resolverlo con un algortimo fase I, agregando variables artificiales y. Sea w el valor óptimo del problema restringido.

3- Si w=0 entonces fin, se encontró solución óptima.

4- Sea  la solución dual obtenida al final de la fase I. Calcular dj=0- *A.j para j=1..n.

5- Cálculo de una nueva solución dual factible: sea  =  + * con  / z1=cT-(+ *)T*A=c1+ *d 0, c1= c-T*A

Sea  =+ si d0j0 j=r+1..n y

 = Min -c1j/di j=r+1..n / dj <0.

6- Si  =+, primal infactible, fin.

7- Ir a 2 con    + * y z  c-*A / zj=0 para j=1..r y zj>0 para j=r+1..n

slide14
Observaciones:

1-  0

2- El algoritmo se detiene cuando encuentra la primera solución básica factible primal (y dual factible) o el primal es no factible.

3- Si w=0 entonces fin, se encontró solución óptima.

4- Hay un número finito de combinaciones de variables para construir las posibles soluciones básicas y el objetivo dual es creciente de una iteración a otra, entonces, si no hay degeneración, se alcanza el óptimo en un número finito de pasos.

5- Se elige  / haya la máxima cantidad posible de ceros en z1

6- Cómo cambia el conjunto P?: Si xj >0, c1j=0 y z1j=0 entonces salvo que la fase 1 la retire, la variable sigue estando en la base en la iteración siguiente.

7- Uso del método: es eficiente cuando una solución dual factible inicial puede ser calculada fácilmente y cuando un algoritmo eficiente de fase 1 puede ser aplicado al problema restringido. Ejemplo: problema del transporte y flujos en redes.

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DEGENERACION EN EL SIMPLEX PRIMAL
  • Sea una solución básica factible (sbf) de (P).
  • DEF: se dice una sbf es degenerada si el valor de al menos una de las variables básicas es cero.
  • En una bsf degenerada, si hacemos una operación de pivoteo para mejorar la función objetivo, el mínimo cociente entre los b y la columna de A elegida, es cero, con lo cual si bien la operación de pivoteo cambia la base, no mejora la función objetivo.
  • Este efecto se puede encontrar en los sucesivos pasos luego de haber encontrado una bsf degenerada y puede provocar la repetición de bases.
  • Si no hay degeneración, todas las bsf tienen valores positivos, los cocientes entre los b y la columna de A que entra son positivos, con lo cual se asegura un decrecimiento de la función objetivo en cada paso.
  • Los ciclos en la secuencias de bsf se dan únicamente cuando hay degeneración
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Interpretación geométrica
  • DEF: una solución dual es no degenerada si las holguras duales tienen al menos n-m componentes no nulas
  • Problema perturbado: sea b()= b+( ,  2,...  m)T, el problema perturbado (P) correspondiente a (P) es:

(P) Min cTx /

Ax = b(), x  0,

  • TEO 1: dado un vector b  Rm existe un número positivo 1>0 tal que cuando 0<  < 1 el problema perturbado (P) es primal no degenerado
  • TEO 2: Si B es una base factible para (P) cuando  es arbitrariamente pequeño, entonces B es una base factible para (P)
  • DEF: orden lexicográfico positivo( L> 0): un vector se dice lexico positivo si su primera componente no nula es positiva.
  • TEO 3: B es una base factible para (P) para  suficientemente pequeño sii (B-1.b B-1) L>0
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Idea básica: trabajar con (P) en forma implícita (sin poner un valor explícito a  ) desde (P) de forma de asegurarnos que no habrá degeneración en (P).
  • Se elige el pivote para conservar el orden lexicográfico positivo: en la elección del pivote se sustituye el mínimo por el léxico mínimo

REGLA DE PIVOTEO MODIFICADA PARA DEGENERACIÓN:

  • Encontrar i / , si el mínimo es único, entonces i es la fila pivote y fin, si no j=1.
  • Si hay empate, encontrar i / alcanza el

si el mínimo es único, la fila i es el pivote y fin.

  • j=j+1, ir a 2.