La Mécanique Céleste

1. La Mécanique Céleste Présenté le JJ numéro 2455638 Gérard Debionne Inspiré d’un exposé de Gil…

2. La mécanique céleste, c’est d’abord cela… C’est-à-dire, des calculs qui prédisent l’avenir … des planètes

3. Mais c’est aussi une histoire… Une histoire extraordinaire dont les acteurs ont à jamais leur nom gravé au firmament de l’excellence. Une histoire qui commence dans la Grèce antique … qui survit en orient, grâce aux arabes… et qui fait une longue escale dans la somnolence médiévale de l’Europe. Une histoire enfin qui repart en Europe à la renaissance et qui va faire des progrès fulgurant à partir du 18ème siècle grâce aux découvertes fondamentales d’un savant anglais, Isaac Newton.

4. Une définition La mécanique céleste est l’application des lois de la physique à la prévision des mouvements des corps célestes dans l’univers. Cette science s’est développée dans l’espace restreint dans lequel l’observation précise pouvait confirmer ou infirmer les calculs des géomètres, c’est-à-dire dans notre système solaire. L'histoire de la mécanique céleste est jalonnée de noms illustres qui ont bouleversé nos conceptions du monde au cours des siècles : Hipparque, Copernic, Galilée, Kepler, vont décrire l’univers… Newton, Euler, Lagrange, Halley, Laplace, et enfin Einstein vont « expliquer » les mouvements des corps en établissant des lois mathématiques qui permettent de prévoir les positions passées ou futures des astres à partir des positions présentes.

5. L’antiquité Depuis l'antiquité, le ciel est constitué de la sphère des étoiles fixes, immuable, sur laquelle circulent le Soleil, la Lune et 5 planètes ("astres errants " en grec) : Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne. D'après Platon (Ve siècle av.JC), héritier des courbes parfaites de la philosophie grecque : "Seul le mouvement circulaire uniforme peut rendre compte de la perfection et de l'harmonie de l'univers ". Ce mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position réelle des planètes. A cette époque, la Terre est au centre du système, et on constate très vite que la distance des planètes à la Terre varie au cours de l'année, sans compter la rétrogradation de certaines planètes comme Mars. Hipparque (150 av. JC), s'appuyant sur les idées d'un mathématicien grec (Apollonios de Perga), imagine un système d'épicycles pour expliquer ces variations tout en conservant le mouvement circulaire uniforme comme base. La variation des vitesses du déférent par rapport à l'épicycle permettait de rendre compte du mouvement complexe de chaque planète. Cette idée fut reprise par Ptolémée, 3 siècles plus tard. Il importait moins à l'époque de savoir comment les planètes se déplaçaient que de pouvoir prédire leurs positions à un moment donné.

6. L’héritage de l’antiquité De l’antiquité allait subsister pendant très longtemps le système d ’épicycles… Le Soleil et les planètes tournent autour de la Terre sur des orbites composées d’un cercle principal et de cercles secondaires… Le schéma ci-dessus représente le trajectoire réelle de Mars vue de la Terre. Il justifie assez bien la notion d’épicycle.

7. L’héritage de l’antiquité La même chose pour Jupiter… Le schéma ci-dessus représente le trajectoire de Jupiter vue de la Terre. Il justifie assez bien la notion d’épicycle.

8. La révolution copernicienne . Le monde avant et après Copernic…

9. La révolution copernicienne Quinze siècles plus tard, Copernic remet le Soleil au centre du système des planètes, mais conserve le système d'épicycles qui s'est compliqué au cours des siècles du fait des écarts de plus en plus importants entre la théorie et la réalité. Le mouvement circulaire ne suffit pas à expliquer simplement la position réelle des planètes. A l’époque, l’église est très puissante. Copernic publiera son célèbre ouvrage (de Revolutionibus Orbium Coelestium…) à titre posthume en 1543 en prenant la précaution d’expliquer dans sa préface que ce point de vue révolutionnaire n’est qu’un artifice destiné à simplifier les calculs. . Copernicien convaincu, un disciple de Tycho Brahé, Johanes Kepler (1571-1630) reprend la place d' astronome impérial à Prague en 1601, à la mort de celui-ci.

10. Le rôle de Kepler Ayant une confiance absolue dans les mesures de son maître Tycho Brahe, Kepler ne peut croire que celui-ci ait pu faire des erreurs aussi importantes que celles qui existent entre ses mesures et l'hypothétique mouvement circulaire uniforme. Dès 1602, il comprend que plus la planète se rapproche du Soleil, plus elle va vite. Après avoir reporté les mesures relatives de Mars et de la Terre, il comprend en 1605 que le mouvement de Mars n'est pas un cercle, mais une ellipse. Il essaie sur les autres planètes et ça marche . En 1609, il énonce dans « Astronomia nova »  ses 2 premières lois : (i) Chaque planète décrit une ellipse autour du soleil qui occupe un des 2 foyers. . (ii) Dans le mouvement elliptique des planètes, leur rayon vecteur balaie des aires égales en des temps égaux.

11. Les lois de Kepler En 1609, Kepler est alors âgé de 38 ans. L’ouvrage contient les démonstration ainsi que tous les détails de son cheminement intellectuel. Dans un premier temps, Kepler donnera la loi des aires pour une orbite circulaire avec le centre légèrement décalé. En langage d’aujourd’hui, on dirait que Kepler a fait de la cinématique. Son successeur Newton, fera de la mécanique.

12. La troisième loi de Kepler De nombreuses années vont s’écouler avant que Kepler ne propose sa 3ème loi. Pendant tout ce temps, une idée ne va pas le quitter, celle d’harmonie… L’explication ultime de la nature est simple, c’est Dieu qui l’a créé… Ce qu’il faut savoir c’est qu’elle sorte de règle Dieu a-t-il mis en place pour faire bouger tout cela ? Kepler va tâtonner longtemps, la nouvelle idée qu’il cherche à exploiter est que pour tenir compte du fait qu’une orbite n’est pas caractérisée simplement par un rayon mais par plusieurs paramètres et notamment des vitesses variables, il faut que l’harmonie de la nature apparaisse sous plusieurs formes. A l’époque, on est capable de dresser le tableau suivant : Il manque l’explication de tout cela, Kepler va travailler et trouver!

13. La troisième loi de Kepler  En résumé, Kepler va accomplir deux démarches bien distinctes : (i) Il va reprendre des travaux ébauchés dans le Mysterium dans lequel il cherchait en vain une proportionnalité entre les périodes et les distances au Soleil. La nouveauté est que cette fois il compare les périodes au carré des distances… (ii) Il va calculer des rapports de vitesses des planètes entre aphélie et périhélie (min et max des distances au Soleil) et entre ces mêmes grandeurs pour 2 orbites de planètes consécutives. Pour chacun de ces rapports de vitesses, il trouve un rapport appartenant à la gamme harmonique des musiciens, c’est à dire considéré comme agréable à l’oreille. De ces interminables tâtonnements sort un jour un résultat étonnant :

14. La troisième loi de Kepler Le bon exposant X qu’il faut mettre sur le rapport (A1/A2) des grands axes pour obtenir le rapport (P1/P2) des périodes est tout simplement la moyenne des deux rapports précédemment essayés, à savoir 1,5=3/2, mais ce rapport, c’est surtout celui de la consonance 3/2, la quinte qui convient parfaitement, à la fois parce qu’elle respecte la notion d’harmonie musicale mais aussi et surtout parce qu’elle correspond enfin aux observations. On est encore très loin d’une démarche scientifique moderne… De nos jours, on sait facilement démontrer cette loi dans le cas particulier d'une orbite circulaire. Pour cela, on égale la force centrifuge en m.V²/R à l'attraction gravitationnelle en G.M.m/A² et la troisième loi s'en déduit immédiatement, qui plus est avec la bonne constante de proportionnalité.(ou presque!) Soit aussi…

15. L’apport de Galilée (1564 – 1642) Ce n’est pas pour rien si aujourd’hui on parle de référentiel galiléen pour décrire un référentiel qui n’est soumis à aucune accélération… Galilée est l’expérimentateur infatigable de la mécanique classique (plan incliné…). Il découvrira la loi régissant la chute des corps et le mouvement parabolique. Il s’intéressera aussi au pendule. Le premier, il fit une théorie des marées. (Très simplifiée !!!) En astronomie, il prit part au débat sur le mouvement de la Terre, soutenant les thèses de Copernic, ce qui failli lui couter la vie. Galilée est aussi le premier (1609) à utiliser une lunette astronomique. Sa découverte des 4 satellites de Jupiter militera fortement en faveur de son point de vue sur l’organisation du système solaire autour du Soleil.

16. Newton: naissance de la modernité Utilisant les travaux de Galilée sur la chute des corps, la force d'inertie et les corps en mouvement (la cinématique) et surtout, les lois de Kepler, un physicien anglais : Isaac Newton (1642-1727), réussit à démontrer géométriquement qu'on peut expliquer le mouvement képlérien des planètes autour du Soleil en supposant que les corps s’attirent mutuellement avec une force d'attraction proportionnelle à leur masse et inversement proportionnelle au carré de leur distance. Newton, après avoir précisé les notions de temps et d’espace, résumera ses travaux en plusieurs lois: * La loi de la dynamique : Force = Masse x Accélération (d’usage universel) * La loi d’inertie (Galilée) et l’égalité entre action et réaction. * La loi de la gravitation (en notations modernes). La dernière loi écrite pour 2 points matériels sera étendue à des masses non ponctuelles.

17. La mécanique céleste selon Newton Pour des raisons qui ne sont pas entièrement claires, Newton n'a jamais formellement écrit les lois qui portent son nom. Encore plus curieux, il n'a jamais écrit dans les Principia d'équations différentielles, et par conséquent n'a jamais présenté de solutions analytiques au mouvement des planètes. Cette particularité a contribué au mouvement de contestation des lois de Newton après la publication des Principia. Expliquons-nous : L'un des points les plus contesté des Principia (par Huygens et Bernoulli) est l'idée d'une action à distance et son coté un peu magique qui trouble le monde scientifique de l'époque, qui croit y revoir les explications métaphysiques des anciens. A l'époque, les explications de Descartes avec des "tourbillons à caractère magnétique" présentent l'avantage du concret et sont bien mieux acceptés. La non utilisation de l'outil mathématique (dans ses publications) est d'autant plus troublante que la preuve du caractère elliptique des orbites planétaires repose sur des raisonnements géométriques mais aussi sur une loi en 1/R² énoncée par Newton.

18. Newton: naissance de la modernité Néanmoins, Newton exploite ses lois. Il mesure l'accélération de la pesanteur à la surface de la Terre g=9,81m/s², la masse étant concentrée au centre de gravité. Il en déduit la valeur de MT.G Ces lois ouvraient à l'astronomie des possibilités nouvelles. Elles permirent, entre autres choses, de peser la Terre et le Soleil en déterminant la constante G (ce qui viendra plus tard). Elles permirent aussi de comprendre les effets de marée. Curieusement, dans les décennies qui suivirent, l’Angleterre ne bénéficia pas de l’immense notoriété de Newton. Rappelons pourquoi ? Newton dans ses années de jeunesse (durant la grande peste de Cambridge) a inventé un outil extraordinaire, le calcul intégral. Par la suite, il rejeta cette technique « automatique » de résolution des problèmes au profit de la géométrie des Grecs. L’immense prestige de Newton incita ses collègues et ses successeurs anglais à travailler comme lui. Pendant ce temps, sur le continent, on compris rapidement le parti qu’on pouvais tirer du calcul intégral. Il résultat de cette situation que le premier à écrire les lois de la mécanique telles que nous les connaissons aujourd’hui fut le génial mathématicien Léonard Euler.

19. Newton: naissance de la modernité Si les lois de la gravitation universelle créaient les fondements de la mécanique céleste, elles n'expliquaient pas les causes physiques de ce phénomène. Cette force d'attraction qui agit à distance et que rien n'arrête était loin de faire l'unanimité parmi la communauté scientifique. Huygens combattra ce point de vue qui « sentait le souffre » et la magie. La seule force à laquelle on veut croire à l’époque est le magnétisme. En fait Newton n’a pas donné une véritable explication, mais plutôt un « moyen de calcul ». Néanmoins, les preuves de la mécanique de Newton se sont accumulées au cours des siècles : Halley, à l'aide de ces lois, calcule les orbites de 24 comètes et prédit le retour de la comète qui porte son nom en 1759. Il décédera en 1756 et ne la verra donc pas. Toutes les découvertes de planètes au 19ème siècle et tous les calculs de trajectoires de comètes retrouvées plus tard sont des preuves indirectes de la validité des lois de Newton.

20. La « conquête » de la Lune En marge des progrès réalisés sur la modélisation du mouvement des planètes du système solaire, il faut signaler le « problème roi » de la mécanique céleste, qui a mobilisé tous les grands théoriciens, depuis l’époque de Newton jusqu’au début du 20ème siècle : La théorie du mouvement de la Lune. • Le problème est extraordinairement difficile pour au moins deux raisons : • La proximité de la Lune qui donne aux observations une très grande précision • L’effet du Soleil dont l’énorme masse éloigne l’orbite de la Lune d’une ellipse. Sans entrer dans la technique, il est juste de citer les grands esprits qui ont participé à cette fantastique aventure sur les traces d’Isaac Newton : Au 18ème siècle: Euler, Clairaut D’Alembert Lagrange Laplace Au 19ème siècle: Laplace Delaunay Hansen Hill Brown .

21. Le décollage de la mécanique céleste au 18ème siècle A partir de la fin du 17ème siècle, l’astronomie va faire en Europe des progrès immenses, notamment aux 18ème et 19ème siècles. Le 18ème siècle est le siècle des lumières. C’est aussi le siècle où les grandes nations européennes vont favoriser l’astronomie, à la fois pour des raisons de prestige culturel, mais aussi pour favoriser la navigation hauturière. Les deux grands acteurs des fantastiques progrès que connais la mécanique céleste au 18ème siècle se nomment Euler et Lagrange. Ils ne découvrent pas d’astre nouveau mais développent les puissantes méthodes de calculs qui permettent d’exploiter les lois de Newton. Lagrange met au point une méthode de prévision à long terme du mouvement des planètes. C’est la méthode de variation des constantes, les inconnues dépendant du temps n’étant plus les coordonnées d’un astre mais les 6 éléments de son orbite elliptique qui deviennent variable.. C’est le même Lagrange qui fait la théorie des « figures d’équilibre » du problème à 3 corps, les célèbres points de Lagrange, dont la théorie précède d’un demi siècle l’observation (les Troyens de Jupiter).

22. Le prodigieux 19ème siècle des astronomes Entre le 18ème et 19ème siècle, on trouve la fabuleuse œuvre de Pierre Simon de Laplace. Laplace à fait avancer tous les domaines des mathématiques et de la physique et en particulier la mécanique céleste. Laplace est l’auteur d’un traité de mécanique céleste en 5 volumes qui reprend et complète largement le savoir de ses prédécesseurs. A l’aide des méthodes inventées par Lagrange, il résous un problème d’inégalité inexpliquée sur Jupiter et Saturne. Laplace est le premier à s’interroger sur le caractère instantané de la loi de gravitation universelle Laplace va aussi développer les méthodes de détermination des orbites qui seront reprises et étendues par K.F. Gauss.

23. Le prodigieux 19ème siècle des astronomes Le 19ème siècle commence le 1er janvier 1801 par la découverte de Cérès par Piazzi. Cette découverte sera suivi tout au long du siècle et encore aujourd’hui par la découverte de nombreux petits corps qui orbitent entre Mars et Jupiter. Le 19ème siècle est aussi celui de la découverte de Neptune (Le Verrier 1846) par le calcul (Ainsi que par Adams). Au départ, il s’agissait d’expliquer une erreur persistance sur la modélisation de l’orbite d’Uranus. A la fin du siècle Félix Tisserand reprendra un peu à la manière de Laplace, l’ensemble des théories relatives à la mécanique céleste dans un ouvrage en 5 volumes qui est encore cité aujourd’hui. On peut toutefois regretter qu’aucun de ces grand géomètre n’ai jamais pensé à examiner de plus près les axiomes de Newton, et en particulier celui qui impliquait une attraction instantanée alors qu’à l’époque la notion de propagation était déjà dans les esprits.

24. Le prodigieux 19ème siècle des astronomes A la fin de ce siècle, on verra aussi des astronomes non européens s’intéresser à la mécanique céleste et publier des tables. C’est en particulier le cas de l’américain Simon Newcomb (1835 – 1909) . En 1870, en visite à Paris, il quitte la ville assiégée mais réussit à se procurer des résultats d’observations sur une période bien plus importante que ceux dont il disposait en Amérique. Au congrès de 1896, il est admis par la communauté des astronomes que se sont les constantes élaborées par Newcomb qui sont les meilleures. Ces publications de tables sont accompagnes de progrès sur la plan théorique, notamment avec les travaux de Félix Tisserant pour les planètes et de Hansen et Delaunay pour les théories lunaires. La fin du 19ème siècle voit a la fois le triomphe éclatant des sciences dures telles que la mécanique céleste, mais aussi les premiers questionnements qui conduiront aux lézardes dans l’édifice de la physique et ouvriront la voie à la physique moderne du 20ème siècle à laquelle l’astronomie va prendre une part déterminante.

25. Les fissures de la Physique à la fin du 19ème siècle Dans son mouvement, la Terre s'approche de sources lumineuses. On devrait alors observer des vitesses relatives supérieures à celles de la lumière. On imagina de faire des mesures. La plus célèbre de ces expériences est celle de Michelson et Morley en 1887. Mais toutes les expériences furent unanimes : la vitesse de la lumière dans le vide ne dépend pas de la direction de la source ni de la vitesse de l’observateur. "L'éther" qui a longtemps servi de support et de référence à la lumière ne tient plus face à la réalité. Dans ce contexte, Einstein abandonne les idées classiques de ses prédécesseurs au sujet de l'espace et du temps. Dans l'univers de Newton, les astres se meuvent dans un cadre rigide et absolu : l'espace, et selon une chronologie invariante : le temps Pour Einstein, espace et temps, matière et énergie sont interdépendants. Seule constante de cette scène cosmique mouvante : la vitesse de la lumière, pivot invariant et absolu de ses théories : la relativité, restreinte (1905) puis générale (1916)

26. Le 20ème siècle : Les doutes, Einstein et l’ordinateur Le 20ème siècle est donc caractérisé d’abord par des remises en cause de l’espace et du temps durant le premier quart du siècle. Rapidement, la relativité s’invite dans l’astronomie avec la relativité générale et ses preuves expérimentales. La mécanique d’Einstein sème durablement le trouble dans la communauté scientifique. Il faudra deux succès, la prévision de l’avance du périhélie de Mercure et la déviation des rayons lumineux par une masse importante pour convaincre une grande partie des septiques. Pour la seconde moitié du siècle, c’est l’apparition de calculateur électronique qui va changer le visage de la mécanique céleste. On ne se limite plus aux problèmes qui ont une solution analytique. On calcule ce dont on a besoin. Aujourd’hui, toutes les éphémérides sont calculées numériquement. Le numérique n’a aucune « modestie ». Tout se modélise, le big-bang comme les trous noir ou l’intérieur des étoiles.