Slovní úlohy

1. Slovní úlohy (řešené pomocí rovnic) Obr. 1 Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.

2. Jak při řešení rovnic postupovat? 1. Pozorně si přečti text úlohy (raději několikrát). 2. Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. 3. Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu. 4. Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy a na jejím základě sestav rovnici a vyřeš ji. 5. Proveď zkoušku, kterou ověříš, že získané výsledky vyhovují všem podmínkám úlohy. 6. Napiš odpovědi na otázky zadané úlohy. Obr. 2

3. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Ukázka zadání takové úlohy: Obr. 3 Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda?

4. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem. Krok č. 1: Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. Krok č. 2: První den snědl jednu čtvrtinu. Krok č. 3: Druhý den polovinu zbytku. Krok č. 4: A na třetí den mu zůstalo 75 gramů čokolády. Na třetí den zůstalo 75 gramů čokolády, což dle obrázku odpovídá 3/8 čokolády. 3/8 čokolády …….. 75 gramů 1/8 čokolády …….. 75 : 3 = 25 gramů 8/8 čokolády (celá čokoláda) …….. 25 . 8 = 200 gramů Celá čokoláda tedy vážila 200 gramů.

5. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Pokusíme se nejdříve vyřešit úlohu logickým myšlenkovým postupem. Krok č. 1: Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. Tak to byl postup po „logické linii“. Nyní se pokusíme tutéž úlohu vyřešit pomocí rovnice. Krok č. 2: První den snědl jednu čtvrtinu. Krok č. 3: Druhý den polovinu zbytku. Krok č. 4: A na třetí den mu zůstalo 75 gramů čokolády. Na třetí den zůstalo 75 gramů čokolády, což dle obrázku odpovídá 3/8 čokolády. 3/8 čokolády …….. 75 gramů 1/8 čokolády …….. 75 : 3 = 25 gramů 8/8 čokolády (celá čokoláda) …….. 25 . 8 = 200 gramů Celá čokoláda tedy vážila 200 gramů.

6. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Hmotnost celé čokolády …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda Myšleno: část čokolády snědená 1. den, část čokolády snědená 2. den…

7. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Hmotnost celé čokolády …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. ¼ . x Protože 1. den Petr snědl jednu čtvrtinu čokolády a čokoládu jsme si označili jako x. To znamená, že snědl jednu čtvrtinu z „x“ (čokolády). Proč takto?

8. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Hmotnost celé čokolády …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. A proč teď takto? Protože 2. den Petr snědl jednu polovinu ze zbytku čokolády. Tedy po snědení jedné čtvrtiny ze zbývajících tří čtvrtin. To znamená, že snědl jednu polovinu ze tří čtvrtin „x“ (čokolády). 1. den …….. ¼ . x 2. den …….. ½ . ¾ . x

9. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Hmotnost celé čokolády …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. ¼ . x 2. den …….. ½ . ¾ . x Třetí den již Petr snědl přesně a jasně daných 75 gramů… a bylo po čokoládě. 3. den …….. 75 g

10. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? Mezi neznámými údaji zvol jeden, o kterém nevíš vůbec nic, jako neznámou. Hmotnost celé čokolády …….. x Vyjádři logickou rovnost plynoucí z textu úlohy. 1. den + 2. den + 3. den = celá čokoláda Pomocí zvolené neznámé a zadaných podmínek vyjádři všechny ostatní údaje z textu vystupující v logické rovnosti. 1. den …….. ¼ . x 2. den …….. ½ . ¾ . x 3. den …….. 75 g Na základě výše uvedené logické rovnosti a vyjádřených údajů sestavíme rovnici. ¼ . x + ½ . ¾ . x + 75 = x

11. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? ¼ . x + ½ . ¾ . x + 75 = x Vyřešíme sestavenou rovnici. / . 8 1/4 . x + 3/8 . x + 75 = x 2 . x + 3 . x + 600 = 8 . x 5 . x + 600 = 8 . x / – (8 . x) 5 . x + 600 – 8 . x = 0 / – 600 / : (−3) −3 . x = −600 x = −600 : (−3) x = 200 g

12. Slovní úlohy řešené pomocí rovnic Petr dostal k narozeninám velkou čokoládu. První den snědl jednu čtvrtinu. Druhý den polovinu zbytku a na třetí den mu zůstalo 75 g čokolády. Kolik gramů vážila celá čokoláda? x = 200 g Provedeme zkoušku, kterou ověříme, že získaný výsledek vyhovuje podmínkám úlohy. 1. den snědl jednu čtvrtinu … 200 : 4 = 50 g Na další dny zbylo … 200 – 50 = 150 g 2. den snědl polovinu ze zbytku … 150 : 2 = 75 g Na třetí den zbylo … 150 – 75 = 75 g … což odpovídá třetí podmínce zadání! Napíšeme odpověď na zadanou otázku. Celá čokoláda vážila 200 gramů.

13. Příklad: Turisté ušli za tři dny 45 km. Druhý den ušli dvakrát více než první den. Třetí den ušli o 5 km méně než druhý den. Kolik ušli turisté první, druhý a třetí den?

14. Příklad: Turisté ušli za tři dny 45 km. Druhý den ušli dvakrát více než první den. Třetí den ušli o 5 km méně než druhý den. Kolik ušli turisté první, druhý a třetí den? 1. den (turisté ušli) … x 2. den (turisté ušli) … dvakrát více než 1. den … 2 . x 3. den (turisté ušli) … o pět km méně než druhý den … 2 . x − 5 Všechny tři dny dohromady … 45 km Zkouška (sečteme trasy ušlé v jednotlivých dnech): 10 + 20 + + 15 = 45 km Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: 1. den + 2. den + 3. den = 45 km x + 2 . x + 2 . x – 5 = 45 5 . x – 5 = 45 5 . x = 45 + 5 5 . x = 50 x = 50 : 5 x = 10 km … 1. den 2. den … 2 . 10 = 20 km 3. den … 20 – 5 = 15 km První den ušli turisté 10 km, druhý den 20 km a třetí den 15 km.

15. Příklad: Na skládku teplárny přivezli koks. Hned první den spotřebovali polovinu z dovezeného množství, druhý den tři čtvrtiny ze zbytku a na třetí den zbylo 120 t. Kolik koksu na skládku přivezli?

16. Příklad: Na skládku teplárny přivezli koks. Hned první den spotřebovali polovinu z dovezeného množství, druhý den tři čtvrtiny ze zbytku a na třetí den zbylo 120 t. Kolik koksu na skládku přivezli? Celkem (koksu na skládce) … x 1. den (spotřebovali koksu) … polovinu celkového množství … ½ . x 2. den (spotřebovali) … tři čtvrtiny ze zbytku … ¾ . ½ . x 3. den (zbylo) … 120 t Zkouška (vypočítáme a sečteme spotřebu v jednotlivých dnech dle podmínek zadání): 480 + 360 + 120 = 960 t Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: 1. den + 2. den + 3. den = celková spotřeba ½ . x + ¾ . ½ . x + 120 = x ½ . x + 3/8 . x + 120 = x 4 . x + 3 . x + 960 = 8 . x −x = −960 x = 960 t 1. den … 960 : 2 = 480 t 2. den … ¾ . 480 = 360 t 3. den … 120 t Na skládku přivezli 960 tun koksu.

17. Příklad: Zahrádkář chtěl porýt zahradu o výměře 300 m2. První den poryl o polovinu méně než druhý den, třetí den o polovinu více než druhý den. Kolik m2 poryl zahrádkář každý den?

18. Příklad: Zahrádkář chtěl porýt zahradu o výměře 300 m2. První den poryl o polovinu méně než druhý den, třetí den o polovinu více než druhý den. Kolik m2 poryl zahrádkář každý den? 2. den (poryl) … x 1. den (poryl) … o polovinu méně než druhý den … ½ . x 3. den (poryl) … o polovinu více než 2. den … x + ½ . x = 3/2 . x Všechny tři dny dohromady … 300 m2 Zkouška (sečteme poryté m2 za jednotlivé dny): 100 + 50 + 150 = 300 m2 Logická rovnost plynoucí z textu úlohy: 1. den + 2. den + 3. den = 300 m2 x + ½ . x + 3/2 . x = 300 3 . x = 300 x = 300 : 3 x = 100 m2… 2. den 1. den … ½ . 100 = 50 m2 3. den … 3/2 . 100 = 150 m2 První den poryl zahrádkář 100 m2, druhý den 50 m2 a třetí den 150 m2.

19. Použité obrázky: Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010–25–06]. Dostupné pod licencí Creative Commons na WWW: Obrázek na pozadí: <http://www.clker.com/clipart-blackboard.html> Obr. 1: <http://www.clker.com/clipart-notepad-1.html> Obr. 2: <http://www.clker.com/clipart-25039.html> Obr. 3: <http://www.clker.com/clipart-4117.html> Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Radomír Macháň. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR. Provozováno Výzkumným ústavem pedagogickým v Praze.