Teoría de Probabilidad

1. Axioma 1. Axioma 2. Axioma 3 Teoría de Probabilidad La definición de probabilidad como henos dada anteriormente es suficiente para trabajar con espacios muestrales finitos Sin embargo para espacios muestrales infinitos numerables, se hace necesario realizar una extensión al axioma 3. En rigor: Axioma 3` Para cualquier sucesión infinita de eventos mutuamente excluyentes, E1, E2, ..., se tiene que

2. 1 5 M-1 . . . 3 M 4 2 Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. En lo que sigue en estos apuntes, y la verdad es que será norma, trabajaremos con problemas concretos para después generalizar. Vamos a entregar una metodología para el cálculo de la cardinalidad de un espacio muestral finito y cardinalidad de eventos asociados a dicho espacio muestral. Supongamos que tenemos una urna con M bolitas numeradas del 1 al M

3. 1 5 M-1 . . . 3 M 4 2 Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Supongamos que extraemos bolitas de la urna de una en una, hasta completar n extracciones. Si este es el caso decimos que hemos extraído una muestra ordenada de tamaño n. Es claro que debemos especificar si al extraer la muestra se devolvían o no las bolitas a la urna. Se dice que la muestra se hizo con reemplazo si después de cada extracción se registra el número de la bolita y se devuelve a la urna. Ahora se dice que la muestra se obtuvo sin reemplazo si la bola extraída no se devuelve a la urna. Nota: si la muestra se obtiene sin reemplazo es claro que n debe ser menor o igual a M. Y si la muestra es con reemplazo no hay restricciones para n

4. 1 5 M-1 . . . 3 M 4 2 Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Cualquiera sea la forma de extracción, con o sin reemplazo, un resultado de la extracción de tamaño n se puede escribir como: Donde zi representa el número de la i-ésima bolita extraida.

5. ... 1 5 M-1 . . . 3 M 4 2 nª 2ª 3ª 1ª Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n sin reemplazo (n menor o igual a M)? Nº resultados para cada extracción M M - 1 M - 2 M – (n – 1) Nº extracción El número de elementos es M (M – 1) (M – 2) ... (M – n + 1)

6. ... 1 5 M-1 . . . 3 M 4 2 nª 2ª 3ª 1ª Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. ¿Cuántos elementos tendrá el espacio de todas las muestras de tamaño n con reemplazo? Nº resultados para cada extracción M M M M Nº extracción El número de elementos es M M M ... M

7. ... N N - 1 N - 2 N – k + 1 1º kº 2º 3º Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. ¿Cuál es el número de subconjuntos de un conjunto? Sea S = {1, 2, 3, ..., N} un conjunto cualquiera ¿Cuántos subconjuntos de cardinalidad k podemos formar a partir de S, para k = 0, 1, 2, ..., N? Cada “cajita”, como antes, indica el número de opciones que puede ser ocupado por un elemento de un determinado subconjunto de S de tamaño k

8. N N - 1 N - 2 N – k + 1 1º kº 2º 3º ... Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El valor N! / (N-k)! nos indica el número de muestras de tamaño k, sin reemplazo, que podemos obtener de N elementos diferentes. Por otro lado, este número se puede obtener de la siguiente forma. Sea a(k) el número de subconjuntos de tamaño k. Luego si para cada subconjunto de tamaño k calculamos todas las posibles permutaciones, que es k!, obtendremos el número de muestras de tamaño k, sin reemplazo, obtenida de N elementos diferentes, esto es

9. Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Veamos con un ejemplo el razonamiento anterior Sea S = {a, b, c, d}, vamos a obtener en número de subconjuntos de S de tamaño k = 3. Sea a(3) el número de subconjuntos de tamaño 3. En particular {a, b, d} es un subconjunto de tamaño 3, y podemos identificar a (a, b, c) como una muestra de tamaño 3 extraída de una urna que contienen a bolitas rotuladas con a, b, c, d. Nota: observe la diferencia conceptual entre {a, b, d} y (a, b, d) Las formar de extraer tres bolitas rotuladas con a, b, d son 3! (tres factorial). De manera que si a(3) es el número de subconjuntos de tamaño 3, se tendrá que a(3) 3! es el número de muestras de tamaño 3 extraídas de 4 objetos diferentes, que es 4!/1!, es decir:

10. Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. De manera entonces que el número de subconjuntos de tamaño k, de un subconjunto de tamaño n es Con esto concluimos que el número de todos los subconjuntos de un conjunto de tamaño n está dado por un evento de tamaño n un evento imposible “n sobre 2” eventos de tamaño 2 n eventos de tamaño 1

11. Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. Otro problema de conteo que nos será útil es el encontar el número de particiones de un conjunto de tamaño N, y en particular del conjunto S = {1, 2, ..., N}. Sea k un entero positivo y sean n1, n2, .., nk enteros positivos tales que n1 + n2 + ... + nk = N. Por una partición de S, con respecto a k y n1, n2, .., nk, nos referimos a una divición de S en k subconjuntos tales que el primer subconjunto tenga tamaño n1, el segundo n2, y así sucesivamente hasta el k – ésimo subconjunto tenga tamaño nk Para resolver este problema nos ayudaremos con N bolitas, donde trataremos de ubicarlas en k cajitas donde la capacidad de la i-ésima caja es ni.

12. . . . n n 1 1 n ( ) ( ) 2 N - n ( ) N - (n + ... +n ) 1 n 1 k-1 k N n n 2 k Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N N bolitas . . . ... + = N + +

13. ... = ... n n ! 1 2 n ! ( ) ( ) N ! 1 N - n ( ) N - (n + ... +n ) 1 1 k-1 N n ! k n n 2 k Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N No resulta complicado demostrar que Que es el número de particiones de un conjunto de tamaño N, en k subconjuntos y donde cada subconjunto tiene tamaño ni, con i = 1, ..., k; y de tal forma que n1 + ... + nk = N

14. Teoría de Probabilidad El espacio probabilístico y el análisis combinatorio. El número de particiones de un conjunto de tamaño N Coeficiente multinomial Son los coeficientes de la expansión multinomial de (a1 + a2 + ... + ak)N