Probabilidad

1. Probabilidad

2. Cuando realizamos un experimento, diremos que es: DetermínistIco:dadas unas condiciones iniciales , el resultado es siempre el mismo. Aleatorio:dadas unas condiciones iniciales, conocemos el conjunto de resultados posibles, pero NO el resultado final. SUCESOS DETERMINÍSTICOS Y ALEATORIOS

3. CONCEPCIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD • Un experimento que está sujeto al azar con n posibles resultados equiprobables y mutuamente excluyentes y nA es la cantidad de sucesos que presentan la característica A entonces la probabilidad de que suceda A es: P(A) = nA/n • Ejemplos: • Con un juego de baraja española, al sacar una carta ¿cuál es la probabilidad de sacar un número menor o igual que 3? 12/40 = 3/10 • Al lanzar un dado perfectamente equilibrado, ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar? 3/6 = 1/2

4. CONCEPCIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD La probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa de veces que ocurriría el suceso al realizar un experimento repetidas veces. • P(Normal) = 0,469 • P(Osteopenia) = 0,467 • P(Osteoporosis) = 0,064

5. CONCEPCIÓN SUBJETIVA DE LA PROBABILIDAD • Subjetiva:Grado de certeza que se posee sobre un suceso. Es personal y se puede formular, por ejemplo, en términos de apuestas: Ejemplo: Dos individuos apuestan Bs 5 por el equipo A y Bs 12 por el equipo B, respectivamente, entonces • La probabilidad de que gane A es: 5/(5+12) • La probabilidad de que gane B es: 12/(5+12) En todas las definiciones nos referimos a sucesos. Recordemos qué son y cuáles las operaciones típicas.

6. Ω espacio muestral Ω espacio muestral Ω espacio muestral Ω espacio muestral Ω espacio muestral A A’ A A A B B B Sucesos • Sucesoes cada posible resultado de un experimento aleatorio • El conjunto de todos los resultados posibles es el espacio muestral (Ω) • Se llama suceso a un subconjunto del espacio muestral • Dado un suceso A, el suceso contrario (complementario), A’ (o AC), es el formado por los elementos que no están en A • Se llama suceso unión de A y B, AUB, al formado por los resultados experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos). • Se llama suceso intersección de A y B, A∩B (o simplemente AB), al formado por los elementos que están en A y B Unión Intersección

7. Ejemplo 1: En el experimento aleatorio “lanzar un dado” el espacio muestral es Ω = {1,2,3,4,5,6} Algunos eventos: Sacar un número impar: A = {1,3,5} Sacar un número primo: B = {1,2,3,5} Sacar un número que no sea impar: A’= {2,4,6} Sacar un número primo no impar: B ∩ A’= {2}

8. Ejemplo 2: En el experimento aleatorio “lanzar una moneda y un dado”, el espacio muestral es Ω = {{1,C}, {1,S}, {2,C}, {2,S}, {3,C}, {3,S}, {4,C}, {4,S}, {5,C}, {5,S}, {6,C}, {6,S}} Algunos eventos: • Sacar sello y un número par: A = {{2,S}, {4,S}, {6,S}} • Sacar cara: B ={{1,C}, {2,C}, {3,C}, {4,C}, {5,C}, {6,C}} • Sacar un número par: D = {{2,C}, {2,S}, {4,C}, {4,S}, {6,C}, {6,S}} • Sacar cara o un número par: B U C = {{2,C}, {2,S}, {4,C}, {4,S}, {6,C}, {6,S},{1,C}, {3,C}, {5,C}} • Sacar cara y un número par: B ∩ C = {{2,C}, {4,C}, {6,C}}

9. S espacio muestral S espacio muestral 100% A Definición axiomática de probabilidad • Se llama probabilidad a cualquier función P que asigna a cada suceso A un valor numérico P(A) y que verifica las siguientes reglas (axiomas): • P(S) = 1(S es el evento seguro) • 0 ≤ P(A) ≤ 1 • P(AUB) = P(A)+P(B) si A∩B = Ø • Ø es el conjunto vacío. B

10. Probabilidad condicionada • Se llama probabilidad de A condicionada a B, o probabilidad de A suponiendo que ha sucedido B: S espacio muestral Concepción clásica: ¿casos posibles? ¿casos favorables? A “tamaño” de uno respecto al otro B • Error frecuentísimo: • No confundir probabilidad condicionada con intersección. • En ambos medimos efectivamente la intersección, pero… • En P(A∩B) con respecto a P(S)=1 • En P(A|B) con respecto a P(B)

11. A A B B Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,10 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,08 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B) = 0,8 P(A|B) = 1

12. A A B B Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(A∩B) = 0 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B) = 0 P(A|B) = 0,05

13. Los problemas de probabilidad pueden resolverse a partir de los axiomas, pero es más cómodo si usas algunas reglas de cálculo: • P(A’) = 1 - P(A) • P(S)=1 , P(Ø)=0 • P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B) (Generaliza esta expresión para 3 o más (n) eventos. Utiliza una notación adecuada) • P(A ∩ B) = P(A) P(B|A) = P(B) P(A|B) • P(A∩B∩C) = P(A) P(B|A) P(C|A∩B) (Esta es la regla de la multiplicación. Generaliza esta expresión para 4 o más (n) eventos Utiliza una notación adecuada)

14. Ejemplo: Considerar el siguiente sistema de filtros junto con la probabilidad de que cada el filtro funcione correctamente.Calcular la probabilidad de que el sistema filtre de manera eficaz. P(A) = 0,9 P(B) = 0,8 P(C) = 0,7 P(A U (B∩C)) = P(A)+P(B∩C)-P(A∩B∩C)=P(A)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C) = 0,9 + 0,8 x 0,7 - 0,9 x 0,8 x 0,7 = 0,956 • Ejemplo: Tenemos en un cajón dos tipos de analgésicos: 20 del tipo A y 10 del tipo B. Si cogemos tres analgésicos al azar, ¿cuál es la probabilidad de los tres sean del tipo A? Llamamos Ai = el i-ésimo analgésico extraído es de tipo A. • P(A1∩A2∩A3)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1∩A2) = (20/30)(19/29)(18/28) = 0,28079

15. Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno no añade información sobre el otro. • Aes independiente de B P(A|B) = P(A) P(A ∩ B) = P(A) P(B) Independencia de sucesos

16. Ejemplo (I) • Se ha repetido en 1000 ocasiones el experimento de elegir a una mujer de una población muy grande. El resultado está en la tabla. • ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer tenga osteoporosis? • P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 (6,4%) • Coincide con la noción frecuentista de probabilidad • P(osteoporosis)=P(osteoporosis y menopausia)+P(osteoporosis y No menopausia) • Es la probabilidad marginal (de la osteoporosis. respecto de la menopausia) oprobabilidad total.

17. Ejemplo (II) • ¿Probabilidad de tener osteopenia u osteoporosis? • P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 467/1000+64/1000 = 0,531 • Son sucesos disjuntos • Osteopenia ∩ Osteoporosis = Ø • ¿Probabilidad de tener osteoporosis o menopausia? • P(OsteoporosisUMenopausia) = 64/1000+697/1000 - 58/1000 = 0,703 • No son sucesos disjuntos • ¿Probabilidad de una mujer sin osteoporosis o menopausia? • P(Normal) = 469/1000 = 0,469 • P(Normal) = 1- P(Normal’) = 1- P(OsteopeniaUOsteoporosis) = 1- 10,531= 0,469

18. Ejemplo (III) • Si es menopáusica… ¿probabilidad de osteoporosis? • P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098 • ¿Probabilidad de menopausia y osteoporosis? • P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 • Otra forma:

19. Ejemplo (IV) • ¿Son independientes menopausia y osteoporosis? • Una forma de hacerlo • P(Osteoporosis) = 64/1000 = 0,064 • P(Osteoporosis|Menopausia) = 58/697 = 0,098 • La probabilidad de tener osteoporosis es mayor si ha pasado la menopausia. Añade información extra. No son independientes. • ¿Otra forma? • P(Menop. ∩ Osteoporosis) = 58/1000 = 0,058 • P(Menop.) P(Osteoporosis) = (697/1000) x (64/1000) = 0,045 • La probabilidad de la intersección no es el producto de probabilidades. No son independientes.

20. A1 A2 Sucesoseguro A3 A4 Partición disjunta del espacio muestral Es una colección de sucesos A1, A2, A3,A4… tal que la unión de todos ellos forman el espacio muestral , y sus intersecciones son disjuntas. ¿Recordar cómo formar intervalos en tablas de frecuencias? A2 A1 A3 A4

21. B B A1 B A2 Sucesoseguro A3 B A4 B Divide y vencerás Todo suceso B, puede ser descompuesto en sus componentes respecto de la partición disjunta A2 A1 B = (B∩A1) U (B∩A2) U ( B∩A3) U ( B∩A4) A3 A4 Descomponemos el problema B en subproblemas más simples.

22. B B A1 B A2 Sucesoseguro A3 B A4 B Teorema de la probabilidad total Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A2 A1 P(B|A1) P(A1) P(B|A2) P(A2) A3 A4 P(B|A3) P(A3) P(A4) P(B|A4) P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P(B∩A3) + P( B∩A4) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

23. Ejemplo (I): En esta aula el 70% de los alumnos son mujeres. De ellas el 10% son fumadoras. De los hombres, son fumadores el 20%. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay? • P(F) = P(M∩F) + P(H∩F) = P(M)P(F|M) + P(H)P(F|H)=0,7 x 0,1 + 0,3 x 0,2 = 0,13 (13%) Prob. Total. Hombres y mujeres forman una partición disjunta Mujer Fuma Fuman Hombre 0,1 Mujer 0,9 No fuma 0,7 Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma • Los caminos a través de nodos representan intersecciones. • Las bifurcaciones representan uniones disjuntas.

24. B Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada una de las componentes de una partición disjunta del espacio muestral, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. A2 A1 A3 A4 donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) = P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2)+ P(A3) P(B|A3) + P(A4) P(B|A4)

25. Continuación del ejemplo (I) • Se elije una persona fumadora al azar, ¿qué probabilidad hay de que sea hombre?. Mujer Fuman Fuma Hombre 0,1 Mujer 0,7 0,9 No fuma Estudiante Fuma 0,2 0,3 Hombre 0,8 No fuma