L'introduction du programme de 3 ème rappelle que :

1. Notion de probabilité en classe de Troisième «  Les probabilités, c'est d'abord un mode de pensée »(Claudine Schwartz).

2. L'introduction du programme de 3ème rappelle que : « c’est pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle que sont introduits les premiers éléments relatifs à la notion de probabilité. ».

3. Programme de Troisième • « La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes). • Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaisons mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités) ». • Programme 2008 (Rentrée 2009) Les mêmes situations familières fournissent toujours le cadre de l’introduction, mais on précise que « la notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues » (que l’on dispose ou non d’un modèle intuitif).

4. Quel vocabulaire introduire? • Le minimum incontournable : expérience aléatoire, résultat ou issue, événement élémentaire, événement, probabilité, arbre. • événements incompatibles, • événement contraire, • événement certain, • événement impossible. -----------------------------------------------------A partir des exemples traités, quelques éléments de langage et propriétés seront institutionnalisés… • D’autres peuvent être mentionnés à l’occasion d’exercices concrets (situation d’équiprobabilité). • Attention : L’interprétation des événements de manière ensembliste est un objectif de la classe Seconde (Projet). Par exemple : A  B ou

5. Quelques extraits relevés dansdes manuels de troisième

6. Expérience aléatoire 

7. Probabilité d’un événement  

8. Probabilité d’un événement (suite) 

9. Probabilité d’un événement : Quelle définition donner? • « La probabilité d’un événement est définie comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.»

10. Quelles propriétés sont institutionnalisées? • 0  p  1 • P( Non A ) = 1 – P(A) • La probabilité de l’événement certain est 1, celle de l’événement impossible est 0. • Si A et B incompatibles : P(A ou B ) = P(A) + P(B) • Arbre pondéré : Somme des branches, produit (admis)

11. Propriétés – Extraits de manuels

12. Propriétés – Extraits de manuels (suite)

13. Quelles activités ? (1) Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivement : Recommandations : • Donner des exemples simples, proches des préoccupations naturelles des élèves avec un univers dont la description est assez simple. • Choisir des situations équiprobables ou non : lancers de dés ou de pièces, tirage d’une boule dans une urne à la composition donnée, roue de loterie … • Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés tout au long de cette phase d’apprentissage pour contrecarrer certaines idées fausses.

14. Recommandations(suite) • Indiquer nettement ce que sont les résultats (ou issues) de l’expérience considérée; • Des problèmes conduisant à un débat pourront être proposés tout au long de cette phase d’apprentissage pour contrecarrer certaines idées fausses : • Veiller à ce que des expressions comme « 1 chance sur2 » ne sous entendent pas chez les élèves une proportionnalité implicite. • Par exemple, si un même résultat a été obtenu 5 fois de suite, quelle est la probabilité de l’obtenir si on recommence une sixième fois l’expérience ?

15. Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivementModalités de mise en œuvre • Passer d’expressions du type « on a une chance sur deux d’obtenir pile » à « on dira qu’on obtient pile avec la probabilité ½ ». • Sur un exemple simple, faire constater puis admettre dans le cas général que, quand on répète un grand nombre de fois une expérience, la fréquence d’obtention d’un résultat se rapproche de la probabilité d’obtenir ce résultat.

16. Premier temps : Exemples d’expériences à une épreuve où les probabilités des issues sont accessibles intuitivementQuelle trace écrite? A l’issue de chaque activité : • le professeur peut représenter de façon synthétique la situation étudiée à l’aide d’un arbre des résultats • puis, une fois la notion de probabilité introduite, à l’aide d’un arbre pondéré faisant apparaître à la fois les résultats possibles et leurs probabilités. • A ce stade, l’arbre n’est qu’une représentation synthétique commode. Habituer les élèves à ce mode de représentation devrait faciliter le recours à l’arbre pour les expériences à deux épreuves.

17. Quelles activités ? (2) Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement • Le lancer d’une punaise : la punaise peut tomber suivant la position « 1 » ou la position « 0 » (voir activité). • Autres exemples : • Le jeu du franc carreau : on lance un disque sur un quadrillage régulier (carrelage, damier…) ; le diamètre du disque est inférieur au côté des carrés constituant le quadrillage ; on gagne si le disque tombe à l’intérieur d’un carré, on perd sinon. • Le lancer d’un osselet, …

18. Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement. Exemples dans les manuels :

19. Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement Le problème de la punaise (Dimathème)

20. Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement Le jeu du franc carreau

21. Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement Quels objectifs ? • Décrire l’expérience considérée, définir ses issues (i.e. résultats possibles), • Faire percevoir qu’on n’a pas une perception intuitive des probabilités de chaque résultat. • Amener les élèves à réinvestir la démarche fréquentiste mise en œuvre sur un cas plus simple auparavant.

22. Deuxième temps : Exemples d’expériences où les probabilités des issues ne sont pas accessibles intuitivement Modalités de mise en œuvre • Faire expérimenter en classe ou à la maison. • Prolonger l’expérimentation par une simulation tableur exposée par le professeur • Visualiser à nouveau graphiquement l’évolution de la fréquence d’obtention d’une des issues en fonction du nombre de répétitions de l’expérience. • En déduire une valeur approchée de la probabilité cherchée.

23. Quelles activités ? (3) Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) « Cette connaissance n’est pas un objectif du programme et on ne proposera que des exemples très simples dans lesquels un raisonnement permet facilement de trouver les résultats en leur donnant du sens. »

24. Expériences à deux épreuves :Modalités de mise en œuvre : • Les expériences étudiées doivent rester élémentaires. • On se bornera à des expériences conduisant à un petit nombre de résultats (un maximum de 6 cas) • On n’abordera pas les cas de tirages successifs dans une urne, avec ou sans remise. (Document d’accompagnement p. 10)

25. Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) Exemples dans les manuels :

26. Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) Exemples dans les manuels (suite)

27. Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) Quels objectifs ? • Un exemple sera utilisé pour dégager la conjecture du résultat essentiel suivant qui sera ensuite admis: « la probabilité d’un résultat d’une expérience à deux épreuves est égale au produit des probabilités figurant sur la branche de l’arbre conduisant à ce résultat. »

28. Troisième temps : Expériences à deux épreuves (maîtrise non exigible dans le cadre du socle) Quelle trace écrite? • On étendra à ce type d’expériences le principe de la représentation par un arbre, pondéré ou non. • L’arbre non pondéré permet de déterminer méthodiquement les résultats possibles de ce type d’expérience : On peut les noter au bout des branches de l’arbre. • On pourra institutionnaliser la propriété admise sur les produits des probabilités (doc d’acc page 11)