290 likes | 561 Views
Fibonacciho posloupnost. Jakub Töpfer Pavel Zbytovský. Rekurentní vzorec První členy 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946, 17711,28657,46368,75025,121393, 196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465, 14930352,24157817, 39088169.
E N D
Fibonacciho posloupnost Jakub Töpfer Pavel Zbytovský
Rekurentní vzorec • První členy0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040,1346269,2178309,3524578,5702887,9227465,14930352,24157817, 39088169
Vzorec pro n-tý člen • lze odvodit například pomocí vytvořujících funkcí • v praxi se pro výpočet používá spíše vyjádření pomocí matic (přesné)
Zlatý řez • Poměr, pro který platí • Jiná vyjádření • Platí také zajímavý vztah
Souvislost se zlatým řezem • Podíl F(n+1) / F(n) konverguje ke zlatému řezu 1/1 = 1; 2/1 = 2; 3/2 = 1,5; 5/3 = 1,666...; 8/5 = 1,6; 13/8 = 1,625; 21/13 = 1,61538... • Vzorec pro n-tý člen lze upravit
Vlastnosti II. • Dělitelnost 11
Vlastnosti III. • Číslo N je Fibonacciho právě když je 5N2 + 4 nebo 5N2 - 4 úplný čtverec • Každé přirozené číslo n lze právě jedním způsobem zapsat jako součet
Pythagorejské trojúhelníky • Zvolme libovolné čtyři po sobě jdoucí Fibonacciho čísla: a, b, c = a+b, d = a+2b • Pak existuje Pythagorejský trojúhelník s odvěsnami 2bc, ad a přeponou b2+c2 • Příklad: 1, 2, 3, 5. Odvěsny budou 2*2*3 = 12 a 1*5 = 5, přepona 4+9 = 13
Fylotaxe • Pravidelné uspořádání semen nebo šupin tvořící spirály po a proti směru hodinových ručiček. • Počet spirál jdoucích po a proti směru hodinových ručiček jsou často dvě po sobě jdoucí Fibonacciho čísla.
Příklady • Mějme chodbu ve tvaru obdélníka 2 x n. Kolika způsoby ji lze vydláždit pomocí dlaždic o rozměrech 2 x 1? • Kolika způsoby můžeme vyjít schodiště dlouhé n schodů, pokud vynecháváme vždy maximálně jeden schod? • Mějme v řadě Ž židlí. Na každé židli může sedět buď učitel nebo student. Žádní dva učitelé ale nechtějí sedět vedle sebe. Kolika způsoby můžeme lidi usadit? (Máme k dispozici libovolný počet studentů i učitelů.)
Příklady II. • Mějme opět řadu Ž židlí. Kolika způsoby ji můžeme zaplnit pomocí párů (dva lidé vedle sebe)? Některé židle mohou zůstat volné. • Představme si, že do automatu je možné házet pouze 1Kč a 2Kč mince. Kolika způsoby můžeme zaplatit částku Č Kč? (Rozlišujeme pořadí mincí.)
Zdroje informací • http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/ • http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number • http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html • http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/fibonac/index.asp • http://cs.wikipedia.org/wiki/Fibonacciho_posloupnost • http://mks.mff.cuni.cz/ • Lenka Zdebová: Květ slunečnice a Fibonacciova čísla, Rozhledy matematicko-fyzikální, ročník 82, číslo 1