slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Granica funkcji PowerPoint Presentation
Download Presentation
Granica funkcji

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 11

Granica funkcji - PowerPoint PPT Presentation


  • 300 Views
  • Uploaded on

Granica funkcji. a wykres. Asymptoty. Postaraj się przewidzieć. co pojawi się w następnym polu tekstowym. Ucząc się szkolnej matematyki, poznaliśmy kilkanaście funkcji ,. a w przyszłości poznamy dalsze. W związku z tym nasuwa się pytanie :.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Granica funkcji' - shannon-mcleod


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Granica funkcji

a wykres.

Asymptoty

Postaraj się przewidzieć

co pojawi się w następnym polu tekstowym.

slide2

Ucząc się szkolnej matematyki, poznaliśmy kilkanaście funkcji,

a w przyszłości poznamy dalsze.

W związku z tym nasuwa się pytanie :

czy własności tych funkcji trzeba „ wkuwać na blachę ?”

Odpowiedź jest oczywista.

Nie.

Wystarczy „ widzieć” wykresy

i umieć własności funkcji odczytać z wykresu.

Gdy padnie pytanie o własności najprostszej funkcji homograficznej,

wystarczy wiedza, którą mogą mieć uczniowie szkoły podstawowej.

Niektórzy zdziwią się.

Gdzie funkcja homograficzna w podstawówce ?

.

Obliczając pola prostokątów,

mamy narysować możliwie

dużo prostokątów o polu 12

12

Boki prostokata oznaczmy

symbolami x , y .

Zatem

umieszczonych jak na rysunku.

x , y - wielkości

Ile jest takich prostokątów ?

.

odwrotnie proporcjonalne

Nieskończenie wiele.

6

funkcja

homograficzna

Wierzchołki prostokątów

.

4

nie leżących na osiach,

.

połączmy linią krzywą.

.

2

.

I mamy jedną gałąź

hiperboli

i jej asymptoty.

4

6

12

2

slide3

Jak algebraicznie znaleźć asymptoty wykresu funkcji ?

O tym dowiemy się w tej prezentacji.

y

b

x

a

Na układzie widzimy proste , które są szczególnie położone względem

Jak wiemy , takie proste nazywamy

asymptotami .

Na układzie widzimy asymptotę poziomą ,

wykresu funkcji .

pionową

i ukośną .

Teraz pozostaje zdefiniować co to znaczy , że prosta jest asymptotą .

Z taką sytuacją , niektórzy spotkali się już w szkole podstawowej ,

Znając pojęcie granicy funkcji , umowy same się narzucają .

gdy poznali krzywą zwaną

hiperbolą .

jest asymptotą poziomą wykresu

Popatrzmy jak na

animacji zmieniają się wartości funkcji ,

Zapiszmy to symbolicznie .

gdy argumenty dążą do

Rzędne punktów wykresu dążą do

Popatrzmy , jak na

jest asymptotą pionową wykresu

animacji zmieniają się wartości funkcji

gdy argumenty dążą do

Rzędne punktów dążą do lub

Zapiszmy to symbolicznie .

slide4

y

b

x

a

jest asymptotą ukośnąwykresu

Przybliża się do asymptoty .

Co dzieje się z wykresem funkcji ?

Czyli , gdy argument rośnie do nieskończoności ,

odległość punktów wykresu od asymptoty dąży do

zera.

Ponieważ obliczanie tej odległości jest niewygodne,

lepiej jest

wyznaczyć długość tego odcinka.

Jego długość, która wynosi

też dąży do zera.

Co zapisujemy

slide5

Sformułowaliśmy więc definicję asymptoty ukośnej.

jest asymptotą ukośną wykresu

Po określeniu asymptot, zapytajmy, jak te asymptoty znaleźć.

Asymptoty poziome wyznaczamy obliczając granice w

Jak zbadać gdzie i czy są asymptoty pionowe ?

Pamiętając, że podstawowe funkcje są ciągłe w swoich dziedzinach,

asymptot pionowych należy szukać w punktach

nieokreśloności

obliczając granice ( najczęściej jednostronne ) w tych punktach.

Gdy nie ma asymptot poziomych, wtedy mogą być asymptoty

ukośne.

Jak je znaleźć ?

Niestety,

definicja nic o tym nie mówi.

Wiemy jaki warunek ta asymptota musi spełniać, ale nie wiemy

jak tej prostej poszukać.

Prawdę powiedziawszy, to nic nowego.

Takich sytuacji było niemało.

Od określenia stycznej do okręgu w szkole podstawowej,

do ostatnio sformułowanych definicji granicy ciągu czy funkcji.

slide6

Musimy poszukać sposobu znajdywania tych asymptot.

Wiemy, że musi zachodzić warunek

Z niego być może zdołamy wyznaczyć

typu

Mamy po jednej stronie granicę

a po drugiej stronie 0.

Pomysł co zrobić, by pozbyć się nasuwa się natychmiast.

Obie strony równości „ podzielić ” przez ,

czyli przez

z twierdzeń

o granicach f.

bo

Gdy znamy , z warunku definicyjnego, łatwo znajdziemy

Znaleźliśmy sposób wyznaczenia asymptoty ukośnej.

Zdobytą wiedzę zastosujmy w zadaniach.

slide7

Zad. 1

Znajdź asymptoty wykresu funkcji

Wyznaczamy dziedzinę.

Wykres funkcji nie ma asymptoty poziomej.

Czy ma asymptotę pionową?

Wykres funkcji posiada asymptotę

pionową

obustronną.

Badamy, czy są asymptoty ukośne.

Wykres funkcji ma asymptotę ukośną

lewostronną

slide8

Analogicznie obliczamy

Wykres funkcji ma asymptotę ukośną prawostronną

* * *

Zad. 2

Znajdź asymptoty wykresu funkcji

Wyznaczamy dziedzinę.

Wykres funkcji nie ma asymptoty poziomej.

Obliczając granice w punktach nieokreśloności, dowiemy się,

czy są asymtoty pionowe.

+

+

-

-

nie istnieje

Wykres mianownika

Istnieją granice

jednostronne.

Wykres ma dwie asymptoty pionowe:

slide9

Badamy, czy są asymptoty ukośne.

Wykres funkcji niema asymptoty ukośnej.

* * *

Mam nadzieję, że śledzący tą prezentację nie będą zdziwieni faktem,

że asymptota przecina wykres funkcji, co było widać na animacji.

W konsekwencji, warto postawić pytanie, czy wykres funkcji,

może mieć z asymptotą

nieskończenie wiele punktów.

Definicja nico tym nie mówi.

Czy istnieje taka krzywa ?

Ruch drgający zanikający.

Istnieje.

Trzeba uruchomić wyobraźnię .

……….

Zgodnie z definicją asymptoty

odległość punktów krzywej od prostej

dąży do zera,

czyli jest asymptotą.

slide10

Czy wszyscy muszą się uznać pokazaną prostą za asymptotę ?

Jeżeli zgodzili się na naszą definicję to

tak.

Jeżeli nie, to musi iść do innej piaskownicy i tam bawić się z tymi,

którzy mają inną definicję asymptoty.

Przyponijmy nasze definicje asymptot :

jest asymptotą poziomą wykresu

jest asymptotąpionową wykresu

jest asymptotą ukośną wykresu

Granica funkcji okazała się konieczna do wykazania ważnej własności,

jaką jest asymptotyczna zbieżność funkcji.

slide11

Znajdywanie asymptot wykresów jest wstępem do badania przebiegu

zmienności funkcji za pomocą pojęć analizy matematycznej.

Badając monotoniczność funkcji z rozczarowaniem stwierdziliśmy,

że definicja nie wystarcza by wykazać ją dla wielu funkcji

o nawet prostej postaci.

A chcielibyśmy znaleźć ekstrema funkcji, punkty przegięcia,

wypukłości wykresu funkcji.

Przed nami zatem, daleka droga by skonstruować narzędzia,

które pozwolą zbadać interesujące

własności funkcji.

Opr. WWW. i-lo. tarnów.

Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji

i przekazanie uwag,

by po korekcie,

można było ją uznać za poprawną.

Z góry dziękuję.

belferwww.one.pl

Koniec prezentacji