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DTFT （1）. 采样序列与采样信号的频谱之间存在着 DTFT 关系. where. 既然 是周期函数（周期为 ），就可以将它写成级数形式 。. DTFT （2）. 连续信号在时域内进行取样的结果，是频域内频谱的周期延拓。已 取样信号在频域内的表示为 ：. 的付氏变换 为：. 是 付氏 级数的系数. ----- 离散信号的付氏变换. DTFT（3）. 可由 求得。. DTFT（4）. 变换成数字域形式：. ----- 离散信号的付氏变换对. LSI 系统的输入、输出关系为 ：. 其付氏变换为:.
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DTFT （1） • 采样序列与采样信号的频谱之间存在着DTFT关系 where
既然 是周期函数（周期为 ），就可以将它写成级数形式。 DTFT （2） 连续信号在时域内进行取样的结果，是频域内频谱的周期延拓。已取样信号在频域内的表示为：
的付氏变换为： 是 付氏级数的系数 ----- 离散信号的付氏变换 DTFT（3）
可由 求得。 DTFT（4） 变换成数字域形式： ----- 离散信号的付氏变换对
LSI系统的输入、输出关系为： 其付氏变换为: 为系统单位取样响应序列h(n)的付氏变换. LSI系统的频率响应
离散信号的付氏变换的性质 • 离散付氏变换是一个线性变换 • 离散付氏变换的周期性 • 卷积特性 • 离散付氏变换的对称性
离散付氏变换的性质 • 离散付氏变换是一个线性变换，即：
离散付氏变换的周期性 • 序列的付氏变换是ω 的周期函数，周期为2π 证明： 连续信号的付氏变换不是周期函数。
推论： 因此，在我们分析时，只需要知道 的一个周期（即 ，或 ）即可，而不需要在整个 域来分析。 离散付氏变换的周期性 （cont’d）
离散付氏变换的卷积性质 • 卷积映射为乘（卷积特性） • 时域卷积 频域相乘
序列的共轭对称性 共轭对称与反对称： 序列分解：
共轭对称函数 定义为 ： 共轭反对称函数 定义为 ： 离散付氏变换的对称性 若为实函数，共轭对称既为偶函数。 若为实函数，共轭反对称既为奇函数。
其中 离散付氏变换的对称性 任一付氏变换都可以分解为共轭对称和共轭反对称两部分
离散付氏变换的对称性 若为实序列，则其付氏变换有以下性质:
推论： • 要画出 的幅频特性，只需要 半个 • 周期即可，通常在实际中是选择 的部分。 离散付氏变换的对称性
Z变换 • L变换（拉氏变换）：（线性模拟系统）解常系数微分方程的运算方法——变微分方程为代数方程（时域频域） • Z变换：（离散系统）解常系数差分方程的运算方法——变差分方程为代数方程（时域频域）；
Z 变换定义 序列x(n) 的Z变换定义为： 双边Z变换 其中z为复变量,也可记作Z[x(n)] = X(z）
按复变函数的理论，幂级数的收敛域为Z平面上的环状区域 ， 、 是X(z)的极点, 可以取零值， 可取 ∞。如果 < ，说明收敛域不存在，那么 z 变换也不存在。在此域内X(z)是z的解析函数，X(z)的极点在R（收敛域）之外。 Im(z) Z平面 r1 r2 Z 变换的收敛域 Re(z)
右边序列的收敛 例：
Z 变换 • 在本例中的 X(z) 是一个有理函数，即 • 其中 B(z) = z 是一个分子多项式，A(z) = z-a 是一个分母多项式。B(z) 的根称为 X(z) 的零点，A(z) 的根称为 X(z) 的极点。此例中，X(z) 在原点 z=0 处有一个零点，在 z=a 处有一个极点。
左边序列的收敛域 • 例 在此例中，如果b = a，则 X1(z) 和上例中的 X(z) 一样，除了它们相应的收敛域不同外。这表明收敛域是保证 z 变换单值性的区分特性，因而在系统分析中起着重要的作用。
Im(z) 双边序列：既包含有右边序列，又包含有左边序列，其收敛区域为 ，或者不存在。 r1 Re(z) r2 双边序列的收敛域
例：设 求： 若 |b|<|a|，则收敛域是一个空集， 不存在；若 |a|<|b|，则收敛域为|a|< |z|<|b|，且 存在于此区域。 解：
= 右边序列 + 左边序列 （1）由于收敛条件由 |z| 的幅度决定，所以收敛于一个 圆的边界。 （2）对右边序列： 收敛，则比 大的Z的模一定 收敛， 是右边序列的极点。 （3）对左边序列： 收敛，由级数比较判决法，比 小的数一定收敛， 是左边序列的极点。 总结
（4）若不止一个极点，则找与收敛域相重的那个极点。对右（4）若不止一个极点，则找与收敛域相重的那个极点。对右 边序列是最外的极点之外的收敛，对左边序列是最内的 极点之内收敛，收敛域中无极点。 （5）对双边序列，若左右序列的收敛域具有相重部分，则相 重部分为收敛域，必是一个开放的环；若不相重，则不 收敛（Z变换不存在）。 （6）如果存在一个序列，它在 和 时取零值，则 称为有穷序列。这类序列的收敛域是整个 z 平面。若 ，则 不属于收敛域；若 ，则 z=0 也不 属于收敛域。 （7）收敛域是一个连通的区域，即收敛域不可分割。 （8）对于有理函数，其收敛域边界上至少有一个极点。
Z 反变换 • 部分分式分解法 • 幂级数展开法 • 围线积分法
幂级数展开 —— 长除法 右边序列的z反变换 左边序列的z反变换
解： 例：
幂级数展开 —— 长除法 分子除以分母得到一个时间上离散的展开级数。这种方法简单，但不能得到序列严密的表达式。注意分母中多项式的排列顺序。
部分分式法 如果 ，对 X(z) 真有理式部分进行部分分式展开，得： 则：
例：求取 的 z 反变换。 由此可知，X(z) 有两个极点： 及 ,由于收敛域未给定，所以下图给出了三种可能的情况 部分分式法 解：
收敛域 1 (ROC1)：1<|z|<∞，此处的两个极点都在收敛域 1（ROC1） 内部，所以有 和 ，因此得 Im{z} ROC1 Re{z} 0 1/3 1 部分分式法 它是一个右边序列。
收敛域 2： ，此处的两个极点都在收敛域 2的外部，所以有 和 ，因此，得 Im{z} Re{z} 1/3 1 0 ROC2 部分分式法 它是一个左序列。
Im{z} 收敛域 3 ： ，此时极点 在收敛域 3的外部，即 ；而极点 在收敛域 3 的内部，即 。因此，得 Re{z} 1/3 1 0 ROC3 部分分式法 • 它是一个双边序列。
例 • 在收敛域中展成级数：
例 • （假设 x(n) 为右边序列）
在单极点 的留数 在 有K阶极点的留数 留数法 因为C在收敛域内，因此，首先确定收敛域，然后针对每个收敛域内的极点计算Z反变换。
解： （1） 时 例：
解： （2） 时 例：
Z反变换 以上我们了计算Z反变换的三种方法，各有优缺点，而采用第三中方法求Z变化的反变换更带有普遍规律（意义），——严格数学表达式。在实际计算时，多数情况下几者结合到一起。
1. 线性 收敛域 Z变换的性质 某些线性组合引入一些零点，有可能对消一些极点，这时收敛域有可能扩大
收敛域 Z变换的性质 2. 样本的位移性
