第五章 有限长离散变换 Finite-Length discrete Transforms

1. 第五章有限长离散变换Finite-Length discrete Transforms

2. 本章主要内容 • 离散傅立叶变换定义 • 离散傅立叶变换性质 （与DTFT的关系，圆周移位和圆周卷积，DFT的对称性，DFT定理） • DFT的应用（实序列的DFT计算，用DFT计算线性卷积） • 离散余弦变换

3. 设 是基本序列，长度为N。则其满足： 称 为正交序列。 5.1 正交变换 • 对信号的分析思路是：找一个正交的函数集，从而将任意信号分解为该函数集上各个元素的线性组合。

4. 5.1 正交变换 正交变换对的一般形式： 综合式 分析式 将要讨论的离散傅立叶变换是正交变换的一种。

5. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) • DTFT是离散时间信号的傅里叶变换，时域离散，频域连续，周期为2。 • 由于计算机只能处理数字信号，而不能处理连续信号，所以必须把信号连续的频谱离散化。

6. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 时域频域 连续，非周期 FT  连续，非周期 连续，周期 FST  离散，非周期 离散，非周期 DTFT  周期，连续 离散周期 DFS  离散周期 补充DFS内容

7. δT(t) ω0δω0(ω) -2ω0 -2T -T - ω0 0 0 T 2T ω0 2ω0 t ω 已知周期冲激函数的傅立叶变换： ω0 = 2π/T 

8. x(t) x[nT] P(t) Q(jω) q(t) Q(jω) X(jω) X(jω) P(jω) … … … … … … Ω0=2π/T Ω0=2π/T ω0=2π/Ts Ts Ω0 Ω0 T ω0 周期化，离散化信号 FT DTFT DFS

9. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) DFT的定义 时域中N点的序列x[n]的DFT

10. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) DFT定义中引入一个常用的符号 证明IDFT表达式： 证明：在两边同乘以 WNln，从 n = 0到n=N-1作

11. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 其中有：

12. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 例 5.1有限长单点非零样本的DFT计算 其N点的 DFT ：

13. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 例 5.1有限长单点非零样本的DFT计算 其N点 DFT 为：

14. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 例 5.2有限长正弦序列的DFT计算 解：

15. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) 例 5.2有限长正弦序列的DFT计算

16. DFT的定义 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) DFT的矩阵关系 可以重写为：

17. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) DFT的矩阵关系

18. 5.2 离散傅里叶变换Discrete Fourier Transform (DFT) DFT的矩阵关系 类似的, IDFT 关系也可以表示为：

19. 5.2.3 用Matlab计算DFTDFT Computation Using MATLAB 在matlab中有四个用来计算DFT和IDFT的内置函数： fft(x), fft(x,M), ifft(X), ifft(X,M) 在matlab信号处理工具箱中的函数dftmtx(N)用来计算NN阶DFT矩阵DN 例 5.3用matlab计算如下N点序列的M点DFT

20. % Program 5_1 % Illustration of DFT Computation %Read in the length N of sequence and the % desired length M of the DFT N = input('Type in the length of the sequence = '); M = input('Type in the length of the DFT = '); % Generate the length-N time-domain sequence u = [ones(1,N)]; % Compute its M-point DFT U = fft(u,M); % Plot the time-domain sequence and its DFT t = 0:1:N-1; stem(t,u)

21. title('Original time-domain sequence') xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude') pause subplot(2,1,1) k = 0:1:M-1; stem(k,abs(U)) title('Magnitude of the DFT samples') xlabel('Frequency index k'); ylabel('Magnitude') subplot(2,1,2) stem(k,angle(U)) title('Phase of the DFT samples') xlabel('Frequency index k'); ylabel('Phase')

23. 例 5.4用matlab计算IDFT % Program 5_2 % Illustration of IDFT Computation % Read in the length K of the DFT and the desired % length N of the IDFT K = input('Type in the length of the DFT = '); N = input('Type in the length of the IDFT = '); % Generate the length-K DFT sequence k = 0:K-1; V = k/K; % Compute its N-point IDFT v = ifft(V,N);

24. % Plot the DFT and its IDFT stem(k,V) xlabel('Frequency index k'); ylabel('Amplitude') title('Original DFT samples') pause subplot(2,1,1) n = 0:N-1; stem(n,real(v)) title('Real part of the time-domain samples') xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude') subplot(2,1,2) stem(n,imag(v)) title('Imaginary part of the time-domain samples') xlabel('Time index n'); ylabel('Amplitude')

26. 长度为N的序列 的DTFT为： 5. 3 FT与DFT之间的关系 一. DFT与DTFT之间的关系 在= [0，2]对X(ej)进行的N点等间隔采样：

27. 说明： • x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆 上的N点等间隔采样。 • X(k)为x(n)的傅立叶变换X(ej )在区间 [0，2]上的N点等间隔采样。

28. 已知 ,其傅立叶变换为 希望以频率间隔 来估计 ，其中 5. 3 FT与DFT之间的关系 二. 使用DFT进行傅立叶变换的数值计算 解： 定义新序列

29. 5. 3 FT与DFT之间的关系 二. 使用DFT进行傅立叶变换的数值计算 则： 上式是M点序列xe[n]的M点DFT序列Xe[k]

30. 5. 3 FT与DFT之间的关系 二. 使用DFT进行傅立叶变换的数值计算 例 5.5使用matlab计算DTFT 程序5_3.m % Program 5_3 % Numerical Computation of Fourier transform Using DFT k = 0:15; w = 0:511; x = cos(2*pi*k*3/16); % Generate the length-16 sinusoidal sequence

31. 例 5.5使用matlab计算DTFT 程序5_3.m % Compute its 16-point DFT X = fft(x); % Compute its 512-point DFT XE = fft(x,512); % Plot the frequency response and the 16-%point DFT samples plot(k/16,abs(X),'o', w/512,abs(XE)) xlabel('\omega/\pi'); ylabel('Magnitude')

32. 5. 3 FT与DFT之间的关系 二. 使用DFT进行傅立叶变换的数值计算 • 例 - 5_3.m 如下所示：

33. ，其N点DFT序列 给定 通过 唯一地确定 5. 3 FT与DFT之间的关系 三. 通过插值由DFT获得傅立叶变换

34. 所以：

35. 0 5. 3 FT与DFT之间的关系 四. 傅立叶变换的抽样——频域采样定理 • 为了便于计算机计算,一般采取在频率域采样 的方法,来计算有限长序列的傅立叶变换。 • 那么,是否任何一个序列的频谱（或任何一个 频率 特性）都能用频率抽样的方法去逼近呢? 其限制条件是什么?

36. 对 在 上的N个均分点采样,则得到 频域采样定理 推导过程: 设任意序列 x[n]存在傅立叶变换 问题在于这样采样以后是否能恢复出原序列x[n]

37. 说明： 在的N点等间隔采样X[k] 的 IDFT 为：原序列x[n]以N为周期的周期延拓序列的主值序列. 频域抽样造成时域信号的周期延拓,其延拓周期为采样点数N. 若x[n]不是有限长的,则延拓后必然造成混迭现象,若x[n]是有限长的, 长度为M, 当抽样点数不够密时(N<M),也会造成混迭现象. 经推导得

38. 频域抽样定理 如果序列x[n]的长度为M,则只有当频域抽样点数N满足 才有 即可由X[k]恢复出原序列x[n]

39. 时域抽样与频域抽样的比较 造成频域函数的周期延拓，周期为 • 时域抽样 造成时域函数的周期延拓，周期为 • 频域抽样

40. n 0 n 0 n 0 n 0 长为M序列x[n]的周期延拓: 当N>=M

41. n n 0 n -8 0 n 0 8 n 0 n 当N<=M 0

42. 若希望对 移位 ，该序 • 列仍在区间0≤n≤N-1内。这种移位称为圆 • 周移位（或循环移位）。 • 圆周移位可以通过模运算实现。 若令 则 其中 使 在[0,N-1]之间 5. 4 有限长序列的运算 5.4.1 序列的圆周移位

43. 5.4.1 序列的圆周移位 Circular Shift of a Sequence 圆周移位定义为: 当n0>0 (则它是一个右圆周移位), 上式可以写为：

44. 5.4.1 序列的圆周移位 Circular Shift of a Sequence • 一个有限长序列的圆周移位图示 • 向右圆周移位 n0个抽样周期等效于向左圆周移位N-n0个抽样周期

45. x[n] x[n-1] 5.4.1 序列的圆周移位 Circular Shift of a Sequence 没圆周移位 圆周移位

46. n n n n n 循环移位的过程示意图

47. 5.4.2 圆周卷积 Circular Convolution 圆周卷积与线性卷积： • 考虑两个长度N的序列 g[n] 和h[n]它们的线性卷积是长度为(2N-1)的序列 yL[n] ： g[n] 和h[n]的圆周卷积是长度为N的序列yc[n]

48. N 5.4.2 圆周卷积 Circular Convolution • 上面的运算通常称之为N 点圆周卷积，表示为：

49. N 5.4.2 圆周卷积 Circular Convolution 计算圆周卷积

50. m m m m 圆周卷积的计算