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第三章 离散时间傅立叶变换

第三章 离散时间傅立叶变换. 离散时间的傅立叶变换 DTFT 定理 离散时间序列的能量谱密度 离散时间系统的频响. 连续时间傅立叶变换 (CTFT). 定义 连续时间信号 x a (t) 的频域表示由 CTFT 给出：. X a (j Ω ) ：傅立叶谱，连续时间的信号谱 逆变换：傅立叶积分. 幅度谱和相位谱. 幅度谱. 相位谱. 可进行 CTFT 的条件. 狄里赫莱条件： 在任何一个有限区间里，信号具有有限个不连续点，且极值数目有限 信号绝对可积. P94 例 3.1. 离散时间傅立叶变换.

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第三章 离散时间傅立叶变换

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Presentation Transcript

  1. 第三章 离散时间傅立叶变换 离散时间的傅立叶变换 DTFT定理 离散时间序列的能量谱密度 离散时间系统的频响

  2. 连续时间傅立叶变换(CTFT) • 定义 连续时间信号xa(t)的频域表示由CTFT给出： • Xa(jΩ)：傅立叶谱，连续时间的信号谱 • 逆变换：傅立叶积分

  3. 幅度谱和相位谱 • 幅度谱 • 相位谱

  4. 可进行CTFT的条件 • 狄里赫莱条件： • 在任何一个有限区间里，信号具有有限个不连续点，且极值数目有限 • 信号绝对可积 • P94 例3.1

  5. 离散时间傅立叶变换 • 序列x[n]的DTFT X(ejω)定义如下： • 例3.5 • 收敛性：对于绝大多数常用的离散时间序列，它们的FT可以用收敛的几何级数形式表示，如果收敛，级数的累加则可表示为简单的形式

  6. DTFT的特点 • X(ejω)是ω的连续函数 • X(ejω)是周期为2π的周期函数 • 如何证明一个周期函数？

  7. 逆变换 • 正变换：序列  连续函数 • 逆变换：连续函数 序列 • 积分区域可以选任意一个2π的区域 • 理解：

  8. 分析与综合 • 正变换：分析式---分析出在原始信号中存在多少复指数信号成分 • 逆变换：综合式---从任意信号的复指数信号分量中综合出原信号 • 符号表示： • 正变换：F{ x[n] } • 逆变换：F-1{ X(ejω) }

  9. 幅度函数 相位函数 基本性质 • 傅立叶变换的复数形式 • 极坐标形式 • 傅立叶谱 幅度谱 相位谱

  10. 坐标形式转换 • 两种傅立叶变换的坐标形式转换：

  11. 相位谱的不唯一 • θ(ω)可以用θ(ω)+2πk代替 • 为了唯一确定相位谱,定义主值区间： -π<=θ(ω)<=π

  12. 对称关系 • 对称性的FT性质

  13. 实序列 • 实序列的DTFT是共轭对称函数 • 即： • 一个实序列的DTFT的实部Xre(ejω)是ω的偶函数 • 一个实序列的DTFT的虚部Xim(ejω)是ω的奇函数 • |X(e-jω)| = |X(ejω)|，是偶函数 • tan(-θ) = -tan(θ)，是奇函数 • 对于实信号有： |X(ejω)|2 = X(ejω) X(e-jω)

  14. 总结：P104 表3.2

  15. DTFT定理

  16. 卷积定理 • 要计算两个序列的线性卷积，有如下两个方法： • 直接利用卷积公式求解 • 利用DTFT： • 分别计算出两个序列的DTFT • 结果相乘 • 乘积进行DTFT逆变换 • 在某些应用场合，常利用DTFT的方法进行卷积计算

  17. 调制定理 • 两个序列乘积的DTFT与原乘积的关系 • 为什么称为加窗定理？ • 利用双边带的IIR线性相位滤波器来生成FIR线性相位滤波器

  18. 帕斯瓦尔关系 • 两个复序列的相应样本的乘积的累加和，可以用它们的DTFT的乘积的积分来表示 • 与能量的计算相关

  19. 离散时间序列的能量密度谱 • 由帕斯瓦尔关系可知，有限能量序列g[n]的总能量为： • 则定于能量密度谱为：

  20. 带限离散时间信号 • 离散时间信号的频谱是关于ω的周期为2π的函数 • 带限信号：频谱被限制在[-π,π]中的一部分 • 理想的带限信号不存在，实际中只能保证在带限之外的能量很小 • 低通信号：- π<-ωp<= ω<= ωp< π • 只取正频率范围的一半： ωp称为带宽

  21. 带限离散时间信号 • 高通信号： ωp<= |ω| < π • 此时带宽为： π- ωp • 带通信号： 0<ωL<=|ω|<=ωH<π • 此时带宽为：ωH- ωL • 窄带信号：带宽远小于(ωH+ωL)/2

  22. 用matlab计算DTFT • freqz：数字滤波器的频率响应 • abs：取模 • angle：取相位 • unwrap：展开相位角 • P115 例3.16

  23. LTI离散时间系统的频率响应 • 特征函数：特定的输入信号，输出信号由输入信号乘以复常数得到 • 若输入信号为复指数序列x[n]=ejωn 则输出：y[n]=H(ejω) ejωn 此时： • 观察： • 输出包含了与输入相同频率的复正弦序列，并乘以权重H(ejω) • H(ejω)正好是冲激响应h[n]的DTFT • H(ejω)称为LTI离散时间系统的频率响应

  24. 频率响应 • H(ejω)一般也是周期为2π的函数 • 也可按照实部/虚部或极坐标的方式表示 • 在极坐标方式下：幅度响应和相位响应 • 增益函数： • 注意事项 • 幅度函数和相位函数是实函数 • 频率响应函数是复函数 • 幅度函数是偶函数，相位函数是奇函数

  25. LTI离散时间系统的频域特征 • 若Y(ejω) 和X(ejω) 分别表示输出和输入序列的FT，则根据卷积定理有： Y(ejω) = H(ejω) X(ejω) • 系统的频率响应可表示为输出的FT与输入的FT的比值 • 输出不可能含有输入和系统中没有出现过的频率的正弦分量 • 若有新的频率分量产生，则系统或是非线性的，或是时变的

  26. 用FT计算卷积和 • 步骤： • 分别求须卷积序列的DTFT • 将两傅立叶谱相乘，得到卷积结果的DTFT • 做傅立叶逆变换 • P118 例3.17

  27. LTI离散时间系统频率响应 • FIR，由输入输出的卷积公式推出系统频率响应H(ejω)的表达式为： • IIR，由线性常系数差分方程来描述，推出系统频率响应H(ejω)的表达式为：

  28. 用matlab计算频率响应 • freqz(h, w)：计算指定冲激响应h在一系列给定频率点w上的频率响应值 • 例3.18

  29. 稳态响应和瞬态响应 • 因果LTI系统的齐次解： yc[n]=α1λ1n+ α2λ2n+ …+αNλNn 当n趋于无穷时齐次解衰减为0 齐次解对应的是瞬态响应 • 因果稳定LTI系统的特解： 当输入序列的振幅持续为常量时，系统的输出也趋于稳定，特解对应于系统的稳态响应 • 输出的初始样本由瞬态响应和稳态响应共同构成

  30. 滤波的概念 • 数字滤波器：让输入序列的某些频率分量没有任何失真的通过，同时阻止其他频率分量的通过。 • 一个简单数字滤波器的设计：例3.20 • 程序3_3

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