1 / 20

Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych. I Metoda bisekcji II Metoda siecznych III Metoda stycznych ( Newtona).

sef
Download Presentation

Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych • I Metoda bisekcji • II Metoda siecznych • III Metoda stycznych ( Newtona) Zakładają one, że funkcja jest ciągła na przedziale, w którym znajduje się pierwiastek pojedynczy (przedział izolacji pierwiastka), a rozwiązanie polega na poprawianiu kolejnych przybliżeń pierwiastka. Metody te stosuje się najczęściej, gdy przedział izolacji pierwiastka jest znany.

  2. Przybliżone metody rozwiązywania równań nieliniowych Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ ego Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b] i To między punktami a i b znajduje się co najmniej jeden pierwiastek równania Twierdzenie o przedziale izolacji pierwiastka Jeżeli w przedziale [a,b] są spełnione założenia twierdzenia Bolzano-Cauchy’ego i dodatkowo sgn f’(x)=const dla , to przedział ten jest przedziałem izolacji pierwiastka równania f(x)=0.

  3. Przebieg funkcji w przedziale [a,b] – ustalanie przedziału izolacji pierwiastka równania nieliniowego f(x)=0 • Sprawdzić, czy podany przedział [a,b] jest przedziałem izolacji jednego pierwiastka równania f(x)=0 • Co najmniej jeden pierwiastek gdy f(a)*f(b)<0 ? • Czy funkcja f’(x) ma stały znak?

  4. I Metoda bisekcji (połowienia) Przedział izolacji pierwiastka [a,b] dla równania . Kolejne przybliżenia: Liczba iteracji k powinna być dobierana tak, aby:

  5. I Metoda bisekcji (połowienia) Dokładność i-tego przybliżenia: Przykład: dla d1=0 i d2=7 oblicz pierwiastek równania f(d)=0 Pochodna funkcji f(d) w przedziale jest ujemna czyli ma stały znak

  6. Metoda bisekcji – zbieżność metody Kolejne punkty należą do przedziału izolacji pierwiastka oraz zachodzi: Metoda bisekcji jest metodą zbieżną. • Metoda bisekcji jest zbieżna liniowo z wykładnikiem lokalnej zbieżności ρ=1 • Zbieżność ma miejsce dla rzeczywistych funkcji ciągłych w przedziale [a,b], dla których Interpretacja geometryczna metody bisekcji

  7. Metoda siecznych (metoda cięciw) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsczerowych cięciw (siecznych) poprowadzonych między punktamistanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji. Założenie: funkcja f(x) klasy C2 w przedziale izolacji pierwiastka. Ciąg miejsc zerowych cięciw, poprowadzonych między punktami i stanowiącymi końce kolejnych przedziałów izolacji

  8. Metoda siecznych – metoda zbieżna Wstawiając y=0 i x=xiwyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego Punkt, w którym wartość funkcji f(x) ma taki sam znak jak i druga pochodna funkcji: f”(x) – pozostaje nieruchomy. Przypadki: ciąg rosnący ciąg malejący

  9. Zbieżność metody siecznych Ciąg {xi} jest monotoniczny i ograniczony, zatem posiada granicę g. zatem Z granicy wynika Współczynnik lokalnej zbieżności ρ1,618

  10. Oszacowanie pierwiastka z niedomiarem

  11. Oszacowanie pierwiastka z nadmiarem

  12. Metoda siecznych – metoda zbieżna Błąd bezwzględny przybliżenia xi C jest zawarte w przedziale o końcach xi i α. Ponieważ f(α)=0 Gdzie: Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka αmożna aproksymować:

  13. Metoda siecznych - przykład Wykorzystując metodę siecznych znaleźć pierwiastek równania Jako punkt nieruchomy – punkt Jako przybliżenie zerowe x0 punkt Wyniki obliczeń: Przykładowo dla drugiej iteracji Uproszczone wersje metody siecznych: reguła falsi i metoda Steffensena posiadają złe własności numeryczne i aktualnie są rzadko stosowane.

  14. Metoda stycznych (metoda Newtona) – metoda zbieżna Rozwiązanie równania f(x) = 0 jest przybliżone ciągiem miejsczerowych stycznych do funkcji f(x) w przedziale izolacji pierwiastka [a,b]. Założenie: funkcja f(x) klasy C2 w przedziale izolacji pierwiastka. Równanie stycznej w punkcie o odciętej xi-1 Wstawiając y=0 i x=xiwyznaczamy i-te przybliżenia pierwiastka równania nieliniowego

  15. Twierdzenie o stycznych • Jeżeli dany jest przedział <a,b> taki, że: • wartości f(a) i f(b) mają przeciwne znaki, • funkcja f”(x) jest ciągła i nie zmienia znaku na <a,b> • Styczne do krzywej y=f(x) poprowadzone w punktach o odciętych a i b przecinają oś X wewnątrz przedziału <a,b>, wówczas równanie • Ma dokładnie jeden pierwiastek α w przedziale <a,b> i metoda Newtona jest zbieżna do α dla dowolnego punktu startowego

  16. Metoda Newtona (stycznych) – metoda zbieżnaRozwinięcie w szereg Taylora wokół przybliżonego pierwiastka równania Oszacowanie błędu w niewielkim otoczeniu pierwiastka αmożna aproksymować:

  17. Metoda stycznych cd. Wybór pierwszego przybliżenia x1 zapewniający zbieżność metody Metoda Newtona jest lokalnie zbieżna kwadratowo (ρ=2) ze współczynnikiem C Proces iteracyjny metody Newtona może być rozbieżny, jeżeli druga pochodna nie ma stałego znaku w przedziale izolacji.

  18. Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych

  19. Wybór pierwszego przybliżenia w metodzie stycznych cd.

  20. Metoda stycznych wariant uproszczony Przyjęto stały współczynnik kierunkowy obliczony dla pierwszej stycznej: • Kolejne iteracje zbiegają wolniej do punktu x* • Kryteria doboru punktu startowegosą takie same

More Related