曲线和曲面上的积分

1. 曲线和曲面上的积分 曲线积分 2.曲线积分

2. 第一型线积分原型 • 基本问题：曲线上的纯量计算(例如: 曲线形物体的质量, 电量) • 计算的想法： • 分小段-近似-极限: Riemann积分 • 引入Lebesgue测度: Lebesgue积分

3. 正则曲线上的Lebesgue测度 • 可测集：设CRn(n>1)为正则曲线, 其长度 为l, : [0,l] Rn是其自然表示. EC,若j-1(E) 为[0,l] 的可测集, 称E为C的可测集. • 可测集的测度: |E|=|j-1(E)| • 不难验证如此定义的测度满足测度的性质： • 单调性 • 可数可加性 留作习题#

4. 第一型线积分定义 • 设CRn(n>1)为正则曲线,其长度为l, : [0,l] Rn是其自然表示. 对于h: C  R.如果h0 L([0,l]), 就说h在C上可积, 称h0在[0, l]上的积分为h在C上的第一型线积分, 记为 • 第一型线积分的定义以自然地推广到分段正则曲线

5. 第一型线积分的计算 • 设CRn(n>1)为正则曲线, : [a,b] Rn是其正则表示. 对于h: C  R.如果h0 L([a,b]). 则h在C上的第一型线积分存在, 并且 • 证明: 由C的弧长函数s=s(t): [a,b]  [0,l]作变量替换, (s)=(t(s))是C的一个自然表示(t(s)是弧长函数的反函数). 由一元变量替换

6. 第一型线积分的值与曲线方向的取法无关 • 只要讨论曲线的自然表示就可以了, 的反向表达式为y(t)=j(l-t),由变量替换得到

7. 第一型线积分例1 • 设C为平面上的上半单位圆:x2＋y2＝1, y0 计算线积分 • 解: 取C的正则表示(t)=(cos t,sin t), t[0,] ,则, |(t)|=1

8. 第一型线积分与质量 • 设C是一根物质棒, 假设它的粗细与其长度相比小得可以不计, 也就是把它看成是一条正则曲线, 假设它的密度函数r(x)是C上的连续函数, 那么这根物质棒的总质量M是r(x)在C上的第一型线积分

9. 推导公式(*)的微元法 • 微元法：分块-近似-求和-取极限 • 分块: 将曲线C分成m段分点依次为P0,P1,…, Pm, 记DSk为Pk-1和Pk之间的曲线段 (k=1,…,m) • 近似: 取xkDSk, 用r(xk)|DSk|近似在DSk上的质量(在使用中也简写成r(xk)ds) • 求和: 把各段的近似加起来S r(xk)DSk • 取极限: 令最大弧段长趋于零, 极限定义为总质量 • 微元法应用的理论基础: Riemann积分 • 微元法提供了应用的形象化手段

10. 微元法推导曲线棒质心 • 设C是一根物质棒, 其密度函数r(x). 计算其质心P. • 解: 已知有限个质点(Pk,mk) (k=1,…,r,)质心的计算公式P=SmkPk/Smk • 物质棒质心的计算: • 分块-近似: xkr(xk)ds,r(xk)ds • 近似质心: Sxkr(xk)ds/Sr(xk)ds • 取极限得到质心公式:

11. 质心公式解释 • 公式分量形式

12. 第二型线积分 • 场的概念 • 第二型线积分的定义 • 第二型线积分与功 • 积分与路径无关—有势场(原函数)

13. 场的概念 • 定义 设WRn.W上的数值函数称为W上的数量场; W上到Rn的变换称为W上的一个向量场 • 对场理解上的特点：设F是W上的一个场, 我们把W上点和在这个点上的场的值联系起来理解, 犹如两者粘在一起了. 例如, 温度场合重力场

14. 第二型线积分的定义 • 设CRn(n>1)为正则曲线,其长度为l, : [0,l] Rn是其自然表示. F为C上的向量场.如果(F0)  L([0,l]),就其积分定义为向量场F沿C的第二型线积分, 记为 • 第二型线积分的定义以自然地推广到分段光滑曲线 • 称w=F dx= F 1dx1 +…+ Fndxn为微分1-形式, 上述积分也叫微分1-形式w沿C的积分 • 注意: 第二型线积分与C的方向有关

15. 第二型线积分的计算 • 设CRn (n>1)为正则曲线, : [a,b] Rn是其正则表示. F为C上的向量场.如果(F0 )   L([a,b]) 则F在C上的第二型线积分为 • 证明: 由C的弧长函数s=s(t): [a,b]  [0,l]作变量替换, (s)=(t(s))是C的一个自然表示(t(s)是弧长函数的反函数). 由一元变量替换

16. 第二型线积分与曲线方向的关系 • 只要讨论曲线的自然表示就可以了, 的反向表达式为y(t)=j(l-t),由变量替换得到

17. 第二型线积分例1 • 设F为常值向量场, C为直线段: x=x0+tv, t[a,b], 计算F沿C的第二型线积分. • 解: x(t)=v, Fdx=F(x(t))x(t)dt=F vdt, 所以

18. 第二型线积分例2 • 设C是R3中柱面x2+y2=1和平面x+y+z=0的交线, 其方向与z轴的方向满足右手螺旋法则, 计算向量场F=(y-z,z-x,x-y) 沿C的积分 • 解: 取C的表示式: • (t)=(cos t, sin t,-cos t-sin t), t[0,2p] •  (t)=(-sin t, cos t,sin t-cos t) • F((t))=(cos t+2sin t,-2cos t-sin t, cos t-sin t) • F((t)) (t)=-3

19. 第二型线积分例3 • 考虑Rn\{0}中的向量场F(x)=-x/|x|3, A, B为Rn\{0}内的两点.证明: F沿Rn\{0}中任何由A到B的光滑曲线的积分与曲线的选择无关. • 证明: 任取连接A,B的曲线C, :[a,b]Rn\{0}满足(a)=A, (b)=B. 由

20. 第二型线积分例3(续) • 所以 也就是仅与A,B有关.#

21. 第二型线积分与功 • 下面用微元法导出力场沿曲线路径作功的第二型线积分表达式. • 设C是R3中的一条光滑曲线, F是R3中的一个力场,计算一个质点在F的作用下沿曲线C由其上A点到B点所作的功 • 分段：在曲线上由A至B, 依次取点A=P0,P1,…, Pm=B

22. 第二型线积分与功(续) • 近似: 取曲线C上在Pk-1,Pk间的一个点xk, 用 近似质点沿C由Pk-1至Pk力场F所作的功 • 求和取极限就得到F所作的功为

23. 积分与路径无关—有势场 • 设W是Rn中连通开区域, F是W上的一个连续向量场, 则F在W中沿任何光滑曲线的积分仅与初始点和终点有关当且仅当F是W上一个数值函数的导数. • 证明: 条件的充分性可以由例3的方法证明; • 下面证明条件的必要性, 取定W中一点x, 定 函数

24. 积分与路径无关(续) • 任取yW, k{1,…,n}, hR不为零,则 取连接y和y+hek的曲线为连接两点的直线段, 则 由此就得到结论#

25. 有势场 • 满足上述条件的向量场, 以其为导数的数值函数称为这个向量场的势函数