slide1 l.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Sveu?ilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009 PowerPoint Presentation
Download Presentation
Sveu?ilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 203

Sveu?ilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009 - PowerPoint PPT Presentation


  • 1151 Views
  • Uploaded on

STATISTIKA ZA PRAVNIKE. Prof.dr.sc. Nihada Mujić Mr.sc. Jelena Legčević Mr.sc. Martina Mikrut. Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009. STATISTIKA ZA PRAVNIKE. Autori: Prof.dr.sc. Nihada Mujić Mr.sc. Jelena Legčević Mr.sc. Martina Mikrut

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Sveu?ilište Josipa Jurja Strossmayera Pravni fakultet u Osijeku Godina 2009' - sandra_john


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

STATISTIKA ZA

PRAVNIKE

Prof.dr.sc. Nihada Mujić

Mr.sc. Jelena Legčević

Mr.sc.Martina Mikrut

Sveučilište Josipa Jurja Strossmayera

Pravni fakultet u Osijeku

Godina 2009

statistika za pravnike
STATISTIKA ZA PRAVNIKE

Autori:

Prof.dr.sc. Nihada Mujić

Mr.sc. Jelena Legčević

Mr.sc. Martina Mikrut

Recenzenti:

Prof.dr.sc. Ivana Barković

Prof.dr.sc. Jasna Horvat

Lektorica:

Nataša Balaban, prof.

ISBN978-953-6072-47-7

slide3

Pojam i predmet proučavanja statistike

Izvori podataka i metode prikupljanja podataka

Faze rada statističke metode

Statističko tabeliranje

Grafičko prikazivanje nominalnih i redoslijednih nizova

Relativni brojevi kvalitativnih nizova

Numerički nizovi

Grafičko prikazivanje numeričkih nizova

Srednje vrijednosti

Aritmetička sredina

Medijan

Mod

Mjere disperzije

Standardizirano obilježje

Analiza vremenskih nizova

Indeksna metoda

Individualni indeksi stalne baze

Verižni indeksi

Preračunavanje individualnih indeksa

Srednje vrijednosti vremenskih nizova

Skupni indeksi

Linearni trend

Regresija i korelacija

Metoda uzoraka

Sadržaj

slide5

“Statistički način mišljenja jednog će

dana za svakodnevni život građana postati jednako neophodan

kao znanje čitanja i pisanja.”

H.G.Wells (1866. – 1946.)

definicija statistike
Definicija statistike
  • Preko 100 definicija pojma “statistika”
  • “Nijedna definicija ne znači mnogo tako dugo dok nismo proučili ono na čemu radimo – a tada je svaka definicija gotovo nepotrebna”;

Mainland

  • Statistika je znanstvena disciplina koja se bavi prikupljanjem, analizom i tumačenjem podataka masovnih pojava
  • U svakodnevnom govoru, riječ statistika koristi se i za već prikupljenje i uređene podatke, brojčane pokazatelje, koji su objavljeni u obliku tablica, grafikona i sl.
statistika u svakodnevnom ivotu
Statistika u svakodnevnom životu

Pojam statistike ne odnosi se isključivo na

statističke podatke, već uz način proučavanja

pojava koje nas okružuju, a u svakodnevnom

životu susrećemo se s njom kroz:

Prosjek ocjena

Stopu inflacije

Postotak porasta nezaposlenih

Prosječnu starost stanovnika RH

...

podjela statistike
Podjela statistike
  • Deskriptivna statistika

Temelji se na potpunom obuhvatu statističkog skupa, koristi brojčane (numeričke) i grafičke metode kako bi opisala populaciju (N)

      • mjere centralne tendencije, mjere disperzije, mjere asimetrije, mjere zaobljenosti...
  • Inferencijalna statistika

Temelji se na dijelu (uzorku (n)) jedinica izabranih iz statističkog skupa, radi donošenja zaključaka o parametrima populacije

      • procjene parametara, testiranje hipoteza, neparametrijski testovi (hi-kvadrat test)...
slide9

Predmet proučavanja statistike

  • Varijacije (različitost, promjenjivost)i kovarijacije (sličnost, povezanost, međuovisnost) podataka koji prikazuju različite pojave u prirodi i društvu ili su rezultat mjerenja
  • Zakonitosti koje se javljaju u masovnim pojavama
  • Masovne pojave su skupine istovrsnih, ali ujedno i varijabilnih elemenata koje imaju jedno ili više zajedničkih svojstavai nazivamo ih statističkom masom ili statističkim skupom
slide10
Statistički skup potrebno je definirati:

ŠTO:Pojmovno

GDJE:Prostorno

KADA:Vremenski

u jednom trenutku

u intervalu

Opseg statističkog skupa je broj njegovih elemenata

Skup može biti konačan (jer ima konačan opseg) i beskonačan (jer ima beskonačno mnogo članova)

Definiranje statističkog skupa

slide11

Elementi statističkog skupa

  • Sastav statističkog skupa ovisi o pojedinačnom slučaju – ovisi o pojavama koje se istražuju

STATISTIČKA

JEDINICA

STATISTIČKA

MASA

1.) osoba

2.) stvar

3.) ustanove i poduzeća

4.) usluge

5.) događaji

6.) djelovanje

1.) stanovništvo, studenti

2.) knjige,vozila

3.) bolnice, sudovi, škole

4.) u zdravstvu,

5.) rođenje, nezgode

6.) krivična djela,

djela socijalne zaštite

statisti ko obilje je
Statističko obilježje
  • Svojstvo po kojemu jedinice statističkog skupa međusobno nalikuju i međusobno se razlikuju (npr. spol, dob, visina, ocjene...)
  • Statističko obilježje naziva se i varijabla
  • Pojavljuje se u različitim oblicima ili stupnjevima
  • Obilježja mogu biti:
    • KVALITATIVNA(izražavaju se opisno)
    • KVANTITATIVNA(izražavaju se brojčano)
slide13
Kvalitativna obilježja mogu biti:

Nominalna

Atributivna (spol, zanimanje)

Geografska (mjesto rođenja, mjesto studiranja)

Redoslijedna(ocjena, školska sprema, stupanj zadovoljstva studiranjem)

Kvantitativna (numerička) obilježja

mogu biti:

Prekidna ili diskontinuirana (broj studenata na godini, broj počinjenih kaznenih djela)

Neprekidna ili kontinuirana (visina, težina, duljina, cijena)

Statističko obilježje

slide15

Podaci prema izvoru

  • Podaci su osnova svake statističke analize
  • Pribavljanje podataka ovisi o cilju i predmetu istraživanja, prirodi pojava, raspoloživim resursima...

Prema izvoru, podatke dijelimo na:

    • Sekundarni podaci:podaci prikupljeni u skladu s nekim ciljem i na određen način, opseg i vrsta ne izviru neposredno iz potreba danog istraživanja
    • Primarni podaci:podaci koji se prikupljaju u skladu s ciljem istraživanja, za sve članove skupa ili dio njih
slide16

Sekundarni podaci

  • Sekundarni podaci su u pravilu lako dostupni, a njihovo pribavljanje nije povezano uz velike troškove, no ponekad su nedovoljni
  • Mogu biti interni i eksterni:

EKSTERNI PODACI

INTERNI PODACI

  • Računovodstvo
  • Referada
  • Knjižnica
  • ...
  • Statistički uredi
  • Zavodi za istraživanje tržišta
  • Državne institucije
  • ...
primarni podaci
Primarni podaci
  • Metode prikupljanja podataka dijele se na:
    • Osobno– F2F (uz pomoć papirnatog upitnika PAPI ili računala CAPI)
    • Telefonsko (uz pomoć računala CATI)
    • Poštansko (klasična pošta ili fax)
    • Internet (web, mail, chat, …)
    • Opažanja (mjerenje)
  • Ili ovisno o tome gdje se anketira npr.
    • Upitnicima u kućanstvu
    • Anketiranje na centralnoj lokaciji...
  • Za sve metode i mjesta postoje prednosti i nedostatci, potreban je odabir metode s najpovoljnijim odnosom uloženog i dobivenog
faze rada statisti ke metode
Faze rada statističke metode
  • Statističko promatranje
  • Grupiranje ili klasifikacija
  • Statistička analiza
  • Tumačenje rezultata
slide20
S obzirom na vrijeme:

Periodično

Jednokratno

Tekuće

S obzirom na obuhvat:

Sveobuhvatno (iscrpno)

Reprezentativno (uzorak)

Statističko promatranje

grupiranje ili klasifikacija
Grupiranje ili klasifikacija
  • Uređivanje izvornih podataka na temelju utvrđenog pravila
  • Veliki broj podataka uređuje se grupiranjem prema određenom pravilu razvrstavanja podataka
  • Broj podataka u jednoj grupi naziva se frekvencijom grupe, koja može biti apsolutna ili relativna
  • Zbroj svih frekvencija čini opseg skupa
slide22
Formiranje grupa:

Iscrpno

Isključivo

Raspoređivanje podataka u grupe ili razrede koji mogu biti:

Jednaki ili nejednaki

Zatvoreni ili otvoreni

Grupiranje ili klasifikacija

statisti ka analiza
Statistička analiza
  • Uređivanjem izvornih podataka na temelju utvrđenog pravila kreira se statistički niz
  • Statistički niz= suma frekvencija svih grupa statističkog skupa,čine ga grupe poredane po određenom principu...
slide24

Negrupirani statistički niz- podaci su zapisani slijedom kojim su i prikupljaniXi: X1, X2, X3,...., XNstudenti prema ocjeni iz statistike: 5, 5, 5, 5, ..., 5

Vrste statičkih nizova s obzirom na grupiranje:

NEGRUPIRANI Xi: X1, X2, X3,..., XN

GRUPIRANI statističke tablice

Vrste statističkih nizova (skupova):

grupirani statisti ki niz podaci se prikazuju u tablicama distribucije frekvencija
Grupirani statistički nizpodaci se prikazuju u tablicama distribucije frekvencija

STATISTIČKE SKUPINE

- modaliteti obilježja (redovi)

FREKVENCIJE

- broj jedinica modaliteta obilježja

(stupci)

statisti ki nizovi
Vrste statičkih nizova s obzirom na obilježje:Statistički nizovi
  • NOMINALNI NIZ - prema veličini frekvencija, abecedno,nomenklaturno
  • REDOSLIJEDNI NIZ – prema intenzitetu
  • NUMERIČKI NIZ– prema vrijednosti num. obilježja
  • VREMENSKI NIZ– kronološki
tuma enje rezultata
Tumačenje rezultata
  • Statistički ispravno
  • U skladu s pravilima struke
  • Nužno izbjeći manipulaciju rezultatima
statisti ko tabeliranje
Statističko tabeliranje
  • Postupak svrstavanja podataka u tablice

prema određenom pravilu

  • Cilj tabeliranja je olakšati praćenje i analizu podataka
  • Tablice mogu biti izvještajne (veliki broj redova i stupaca, kao tablice DZS-a) i analitičke (u pravilu manjih dimenzija)
slide30

Elementi statističketablice

Naslov tablice:

Z A G L A V LJ E

P

R

E

T

S

T

U

P

A

C

  • Brojčani dio tablice:
  • prosjek
  • … ne raspolaže se
  • nema podatka
  • ( ) nepotpun podatak
  • * ispravljen podatak

Z

B

I

R

N

I

S

T

U

P

A

C

ZBIRNI RED (sume stupaca)

Izvor:

vrste statisti kih tablica
Vrste statističkih tablica
  • Vrste statističkih tablica su
    • Jednostavne tablice:samo jedna pojava, jedan statistički niz kada je grupiranje provedeno prema jednom obilježju
    • Skupne ili složene tablice:dva ili više statističkih nizova grupiranih prema jednom obilježju
    • Kombinirane tablice:jedan statistički niz promatran prema dva ili više obilježja. Sadrži i zbirni red i zbirni stupac
grafi ko prikazivanje
Grafički prikazani statistički podaci razumljiviji su i pregledniji u odnosu na njihovo predstavljanje tablicom

Veća preglednost grafičkog prikaza i snaga prvog vizualnog utiska o karakteristikama promatrane pojave prednosti su grafičkih prikaza

Danas se grafički prikazi konstruiraju pomoću računalnih programa koji

u sebi sadrže predefinirana

načela opisne statistike

Grafičko prikazivanje
skupine grafi kih prikaza
Skupine grafičkih prikaza
  • Grafički je moguće prikazati jedan ili više kvalitativnih nizova
  • Skupine grafičkih prikaza:
      • Površinski grafikoni
      • Linijski grafikoni
      • Kartogrami
slide35

Površinski grafikoni

  • podaci se prikazuju površinama geometrijskih likova, površine likova suupravno razmjernebrojevima koji se tim površinama prikazuju
    • Jednostavni stupci (P = a * b)
    • Razdijeljeni (strukturni) stupci
    • Dvostruki stupci
    • Površina kvadrata (P = a²)
slide36

Površinski grafikoni

  • Površina kruga (P = r²π)
  • Površina polukruga
  • Varzarov znak ( RBK ili RBS )
  • (baza= nazivnik odnosa , visina= rel. broj)
  • Histogram
slide37

Linijski grafikoni

  • Koriste se za prikazivanje nizova

a) NUMERIČKIH (kontinuirani i diskontinuirani)

b) VREMENSKIH (trenutačni i intervalni)

  • Apscisa - A.M. za obilježje
  • Ordinata - A.M. za frekvenciju
slide38

Kartogrami

  • Grupiranje jedinica prema geografskom obilježju gdje sve grupe zajedno predstavljaju cjelovito geografsko područje
  • VRSTE:
      • Dijagramske karte
      • Piktogrami
      • Statističke karte
grafi ko prikazivanje redoslijednih nizova
Grafičko prikazivanje redoslijednih nizova
  • Grupiranje se vrši na isti način kao i grupiranje prema nominalnom obilježju s tim da je redoslijed modaliteta ili grupa uvijek određen rangom intenziteta obilježja koji pojedina grupa predstavlja, i to polazeći od najnižeg prema najvišem ili obratno
relativni brojevi
Relativni brojevi
  • RELATIVNI BROJ je logičan izraz mjerenja kada se neka veličina mjeri drugom veličinom (nazivnik=baza usporedbe)
  • Ova posljednja veličina postaje time mjera za veličinu koja se uspoređuje (mjeri)
  • Zadatak relativnih brojeva je:
    • Brojčano izraziti odnose među pojavama
    • Omogućiti i olakšati usporedbu
slide42

Vrste relativnih brojeva

  • Relativni brojevi strukture (D/C)
        • proporcije, postoci, promili (p, %, ‰)
  • Relativni brojevi dinamike (indeksi)
        • bazni, verižni
        • individualni, skupni
  • 3. Relativni brojevi koordinacije (RBK)
slide43
Ako se stavi u odnos broj elemenata dijela skupa prema broju elemenata u skupu, dobiva se relativan broj koji se zove PROPORCIJA tog dijela u skupu

Proporciju označavamo s p

Budući da je dio uvijek manji od cjeline, onda je: 0 < p < 1

Relativna frekvencija modaliteta ai je omjer apsolutne frekvencije fi tog modaliteta i zbroja apsolutnih frekvencija N:

Relativni brojevi strukture

slide44

Svojstva

  • Relativne frekvencije su upravno proporcionalne apsolutnim frekvencijama
  • Relativne frekvencije se radi lakšeg tumačenja množe sa sto (%) ili sa tisuću (‰)
      • 0 < fi < N ... fi=N
      • 0 < pi <N ... pi=1
      • 0 < Pi <N ... Pi=100
  • Ekstremni slučajevi:
      • Dio pojave koji se uspoređuje = 0, tada je i p=0
      • Dio pojave koji se uspoređuje = C (cjelina), tada je p=1
slide45

Kutno sto, vodoravno sto, okomito sto

  • Analiziranje podataka u kombiniranoj tablici

relativnim brojevima strukture:

vodoravno 100, okomito 100, kutno 100

Primjer 1.

Upisani studenti na stručni i sveučilišni studij prema spolu i načinu strudiranja u ak. g. 2008./2009

Izvor:Statistički ljetopis 2009., str.467

slide46

Kutno sto

stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema ukupnoj statističkoj masi

+

+

slide47

Vodoravno sto

stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog stupca

+

slide48

Okomito sto

stavljanje u odnos svih brojeva u tablici prema vrijednostima iz zbirnog reda

+

relativni brojevi dinamike
Relativni brojevi dinamike
  • Nazivaju se INDEKSI
  • Pokazuju odnos između stanja jedne te iste pojave ili skupine pojava na različitim mjestima ili u različitim vremenskim razdobljima
  • Vrste indeksa:
    • individualni(dinamika jedne pojave)
    • skupni(odnosi stanja heterogene skupine pojava)
relativni brojevi koordinacije
Relativni brojevi koordinacije

Koristi se za uspoređivanje dvije pojave (P1 i P2), npr. broja studenata prema broju nastavnika, broj optuženih u odnosu na broj prijavljenih ...

Izračunavaju se stavljanjem u odnos frekvencije pojave koja se uspoređuje, s frekvencijom pojave prema kojoj se provodi usporedba

RBK se grafički prikazuje površinskim grafikonom Varzarovim znakom

P1

1

P2

RBK=

=

P2

RBK

P1

numeri ki niz
Numerički niz
  • Numerički nizovi konstruiraju se uređenjem vrijednosti kvantitativnih varijabli
  • Vrste:

- NUMERIČKIKONTINUIRANINIZOVI

- NUMERIČKIDISKONTINUIRANINIZOVI

  • GRUPIRANJE – raščlanjivanje statističkog skupa prema modalitetima obilježja
  • Grupiranje podataka:
      • ISKLJUČIVO
      • ISCRPNO
slide53

k

fi=N

i=1

Numerički niz

DISTRIBUCIJA FREKVENCIJA =

skup: (xi,fi) gdje je

N - broj jedinica statističkog skupa

i=1,2,...,k

k – broj modaliteta obilježja

xi – vrijednosti modaliteta obilježja

  • f(i) APSOLUTNA FREKVENCIJA
  • p(i) RELATIVNA FREKVENCIJA
slide54

Numerički niz

  • Pojedinačni par u distribuciji frekvencija predstavlja NUMERIČKU GRUPU, tj. broj jednakih vrijednosti modaliteta obilježja varijable x

Distribucija

frekvencije

(x1, f1)

(x2, f2)

...

(Xk, fk)

Modaliteti

obilježja

sturgesovo pravilo

Xmax-Xmin

RV

=

ΔX =

k

k

Sturgesovo pravilo
  • za određivanje broja razreda k za N podataka

k  1 + 3,3 log N

  • Uobičajeni broj k numeričkih grupa kreće se od 5 do 15 (maximalno 25)
  • Ako su razredi jednaki, širina im se aproksimativno određuje diobom raspona varijacija i broja razreda:
granice razreda
Granice razreda

1.) NOMINALNE GRANICE(zadane)

  • za izračunavanje parametara diskontinuiranog numerickog niza

2.) PRAVE GRANICE (“popravljene”)

  • za izračunavanja parametara kontinuiranog numerickog niza
  • crtanje kontinuiranog numerickog niza

3.) PRECIZNE GRANICE

  • samo za crtanje diskontinuiranih numerickih nizova
formiranje razreda kod kontinuiranog n o
Formiranje razreda kod kontinuiranog n.o.
  • PRAVILO:

Gornja granica prethodnog razreda jednaka je donjoj granici idućeg razreda

Formiranje razreda kod diskontinuiranog n.o.

  • PRAVILO:
  • Donja granica idućeg razreda za 1 jedinicu je veća od gornje granice prethodnog razreda
veli ina razreda
Veličina razreda
  • Oznaka za veličinu razreda je “i”
  • i = L1i +1 – L1i i = 1,2,...k
  • VELIČINA RAZREDA – od donje granice idućeg razreda oduzmemo donju granicu prethodnog razreda
razredna sredina

L1i+L2i

xi=

2

Razredna sredina
  • za kontinuirane i diskontinuirane nizove
  • RAZREDNA SREDINA – jednaka je poluzbroju donje (L1) i gornje (L2) prave granice i-tog razreda
korigirane frekvencije
Korigirane frekvencije

Ako su veličine razreda međusobno različite, podijeliti originalne frekvencije pripadajućim veličinama razreda ili njima proporcionalnim vrijednostima

Frekvencije se obavezno korigiraju:

za crtanje poligona frekvencija

za crtanje histograma

pri izračunavanju moda

korigirane frekvencije61
Korigirane frekvencije

Fc = apsolutne korigirane frekvencije

Pc = relativne korigirane frekvencije

fi

fc=

i

pi

pc=

i

grafi ko prikazivanje numeri kih nizova
Grafičko prikazivanje numeričkih nizova

Numerički nizovi prikazuju se slijedećim

vrstama grafikona:

  • LINIJSKIM GRAFIKONOM
          • poligon frekvencija
  • specifičnim vrstama POVRŠINSKOG GRAFIKONA
          • Histogram
          • S-L dijagram
1 linijski grafikon
1. Linijski grafikon

POLIGON FREKVENCIJA

(MNOGOKUTNIK)

- distribucija frekvencija (ili kretanje neke pojave) se prikazuje linijama

- ako je prethodno nacrtan histogram: polovice vrhova stupaca (tj. sredine razreda Xi) spojiti linijama

- ucrtana linija:

oblik distribucije frekvencija

- površina ispod linije:

ukupan broj elemenata statističkog skupa ili opseg stat. skupa

slide65
os X – vrijednost numeričkog obilježja izraženog sredinom razreda (xi )

os Y – frekvencija:

- apsolutna (fi),

- relativna (pi),

za razrede nejednakih veličina:

- korigirati frekvencije!

aps. korigirana (fc)

rel. korigirana (pc)

2 povr inski grafikon
2. Površinski grafikon
  • grafikon kontura stupaca
  • stupci se crtaju bez razmaka
  • visina pravokutnika – frekvencija

( fi, fc, pi, pc )

  • baza pravokutnika – veličina razreda
  • površina svih pravokutnika jednaka je zbroju apsolutnih frekvencija, tj. relativnih frekvencija (1 ili 100 ili 1000)
grafi ko prikazivanje kumulativnih nizova
Grafičko prikazivanje kumulativnih nizova
  • Kumulativni nizovi se UVIJEK tvore od originalnih vrijednosti
  • KN “manje od”

X : gornja granica promatranog razreda

Y: frekvencija kumulativnog niza

  • KN “više od”

X: donja granica promatranog razreda

Y: frekvencija kumulativnog niza

vrste srednjih vrijednosti
Vrste srednjih vrijednosti

Srednje vrijednosti ili mjere centralne tendencije

Vrste srednjih vrijednosti:

POTPUNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

POLOŽAJNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

SPECIFIČNE SREDNJE VRIJEDNOSTI

potpune srednje vrijednosti
Potpune srednje vrijednosti

Aritmetička sredina – ( A.S.) X

aritmetička sredina relativnih brojeva strukture – P

aritmetička sredina relativnih brojeva koordinacije – R

Harmonijska sredina – H

Geometrijska sredina – G

Aritmetička sredina aritmetičkih sredina X

slide71
medijan – Me (ordinalni niz)

mod - Mo (nominalni niz, ordinalni niz)

Položajne srednje vrijednosti

Specifične srednje vrijednosti

  • momenti distribucije frekvencija
osnovne zna ajke srednjih vrijednosti
Osnovne značajke srednjih vrijednosti
  • Utjecaj ekstremnih obilježja na srednje vrijednosti
  • Utjecaj frekvencija u distribuciji frekvencija na srednje vrijednosti
  • Utjecaj svih obilježja koja su različita od srednje vrijednosti na tu srednju vrijednost
  • Odnos promatrane srednje vrijednosti i drugih obilježja
zahtjevi srednjih vrijednosti
Zahtjevi srednjih vrijednosti
  • Mogućnost utvrđivanja srednje vrijednosti objektivnim računskim pravilom na jedinstven način
  • Srednja vrijednost mora biti sadržana između najmanje i najveće vrijednosti obilježja
  • Ako su sve srednje vrijednosti obilježja jednake, i srednja vrijednost mora biti jednaka toj vrijednosti
aritmeti ka sredina mean x x
Aritmetička sredina (MEAN), X, x
  • prosjek
  • N-ti dio totala
  • vrijednosti N.O. osnovnog skupa

(N – broj jedinica osnovnog skupa)

X1,X2,Xi,...XN i=1,2,...,N

  • vrijednosti N.O. uzorka

(n – broj jedinica uzorka)

x1,x2,xi,...xn i=1,2,...n

aritmeti ka sredina osnovnog skupa
Aritmetička sredina osnovnog skupa

suma vrijednosti num.

obilježja osnovnog skupa

Total

X=

=

broj jedinica osnovnog skupa

N

suma vrijednosti num.

obilježja uzorka

total

x=

=

broj jedinica uzorka

n

Aritmetička sredina uzorka

jednostavna aritmeti ka sredina

X1+X2+X3+...+Xk

X=

=

N

N

Jednostavna aritmetička sredina
  • Jednostavna, neponderirana A.S. osnovnog skupa
  • Koristi se za negrupirani niz podataka

Ako obiježje X od N elemenata ima vrijednosti

mjerene na svakom elementu:

X: X1,X2,X3,...XN

ponderirana vagana aritmeti ka sredina
A.S. vagana frekvencijama

Koristi se za grupirani niz podataka

Ako je zabilježeno k modaliteta obilježja,

podaci predstavljaju distribuciju frekvencija

sa:

Ponderirana, vagana aritmetička sredina

f1X1+ f2X2+ f3X3+ ... + fkXk

X=

=

f1 + f2 + f3 + ... + fk

ponderirana aritmeti ka sredina relativnih frekvencija
Relativne i apsolutne frekvencije su upravno proporcionalne!

X: X1,X2,Xi, ... , Xk

i= 1,2, ..., k

p: p1,p2, pi, ..., pk

i=1,2, ..., k

Ponderirana aritmetička sredina relativnih frekvencija

p1X1 + p2X2 + piXi+ ... +pkXk

X=

=

f1 + f2 + f3 + ... + fk

svojstva aritmeti ke sredine
Svojstva aritmetičke sredine

1. svojstvo

Algebarski zbroj odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je nuli

Σ(Xi – X) = 0

2. svojstvo

Zbroj kvadrata odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine jednak je minimumu

Σ(Xi – X)2 = min.

slide81

3. svojstvo

Aritmetička sredina uvijek se nalazi između najmanje i najveće vrijednosti numeričkog obilježja varijable Xi

Xmin  X  Xmax

4.svojstvo

Ako je vrijednost numeričke varijable Xi jednaka konstanti c, aritmetička sredina te varijable jednaka je konstanti c.

X = c

X1 = X2 = ... = Xk = c

5. svojstvo

Aritmetička sredina je sklona ekstremima

slide83

Medijan

  • Medijan (Me) je srednja pozicijska vrijednostnumeričkog obilježja ili redoslijednog obilježja
  • Medijan je srednja vrijednost redoslijednog ili numeričkog obilježja koja elemente osnovnog skupa (statističkog niza) dijeli na dva jednaka dijela, tako da se u jednom dijelu nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja manju ili jednaku Me ,a u drugom dijelu se nalaze elementi koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od Me
slide84
Određivanje medijana moguće je kod:

Individualnog numeričkog obilježja

Redoslijednog numeričkog obilježja

Diskontinuiranog numeričkog obilježja i=1

Određivanje medijana

Izračunavanje medijana

Medijan se izračunava kod:

  • Kontinuiranog numeričkog obilježja
  • Diskontinuiranog numeričkog obilježja gdje su razredi različiti od 1

Grafičko određivanje medijana

Medijan se može grafički odrediti uz pomoć:

  • Kumulativnog niza “manje od”
  • Kumulativnog niza “manje od” i kumulativnog niza “više od”
odre ivanje medijana za individualne vrijednosti
Određivanje medijana za individualne vrijednosti

Ako je broj elemenata u skupu:

  • NEPARANN=(2k+1) onda je Me=k+1
  • PARAN N=2k onda je Me= polusuma dva srednja elementa

POSTUPAK:

  • vrijednosti obilježja poredati po veličini
  • odrediti centralnu jedinicu
izra unavane me kod grupiranih vrijednosti
Izračunavane Me kod grupiranih vrijednosti
  • Medijan se ne može odrediti nego se mora izračunati prilikom:
    • Kontinuiranog numeričkog obilježja
    • Diskontinuiranog numeričkog obilježja

kada je i>1

  • jer nije poznata vrijednost NO za svaki element, odnosno statističku jedinicu

POSTUPAK:

KORAK 1:Formirati kumulativni niz

KORAK 2:Naći N/2

KORAK 3:Odrediti medijalni razred

korak 4a uvrstiti podatke u formulu za kori tenje kumulativnog niza manje od
KORAK 4a: Uvrstiti podatke u formulu zakorištenje kumulativnog niza “manje od”

N/2 - fi

Me= l1

+

*i

fmed

l1– donja granica medijalnog razreda

fi– zbroj frekvencija odozgo prema dolje do medijalnog razreda

i– veličina medijalnog razreda

fmed– originalna frekvencija medijalnog razreda

slide88

N/2 - fi

Me= l2

-

*i

fmed

KORAK 4b: Uvrstiti podatke u formulu zakorištenje kumulativnog niza “više od”

l2– gornja granica medijalnog razreda

fi– zbroj frekvencija odozgo prema dolje do medijalnog razreda

i– veličina medijalnog razreda

fmed– originalna frekvencija medijalnog razreda

grafi ko odre ivanje medijana

N/2

Me

Grafičko određivanje medijana

Aritmetičko mjerilo za frekvencije

Aritmetičko mjerilo za obilježje

uporaba medijana
Uporaba medijana
  • Kod redoslijednog obilježja medijan je prihvatljivija mjera od aritmetičke sredine
  • Za vrlo asimetrične distribucije, te distribucije s ekstremno visokim i/ili niskim krajnjim vrijednostima
  • Za distribucije s otvorenim razredima gdje procjena donje odnosno gornje granice bitno utječe na aritmetičku sredinu
mod mo
MOD (Mo)
  • Mod je vrijednost redoslijednog ili numeričkog obilježja koja se najčešće javlja u statističkom nizu
  • Mod je vrijednost obilježja oko koje se elementi statističkog skupa najgušće gomilaju
  • Mod dijeli distribuciju frekvencija na lijevu (rastuću-uzlaznu) i desnu (opadajuću-silaznu) stranu
utvr ivanje moda
Utvrđivanje moda
  • Mod se utvrđuje ako su jedinice numeričkog obilježja grupirane u razrede veličine 1, tada je modalna vrijednost, vrijednost razreda koji ima najveću frekvenciju
  • Primjer:
izra unavanje moda

fi

fc=

i

Izračunavanje moda
  • Mod se izračunava kada su elementi statističkog skupa (niza) grupirani prema:
    • diskontinuirnom numeričkom obilježju s razredima i>1
    • kontinuiranom numeričkom obilježju
  • Kod distribucija koje su grupirane u razrede nejednakih veličina, izračunavanju moda prethodi korigiranje frekvencija:
slide95

Na temelju određenog Mo razreda (b) te dva susjedna razreda: lijevog (a) i desnog (c), izračunava se vrijednost Mo

l1 –donja granica modalnog razreda

b –frekvencija modalnog razreda (najveća

frekvencija)

a –frekvencija razreda ispred Mo razreda

c –frekvencija razreda iza Mo razreda

i –veličina modalnog razreda

slide96
U distribuciji frekvencija može postojati:
  • jedna Mo vrijednost - UNIMODALNA DISTRIBUCIJA
  • dvije Mo vrijednosti - BIMODALNA DISTRIBUCIJA
  • više Mo vrijednosti - MULTIMODALNA DISTRIBUCIJA
  • Grafički se Mo može odrediti kada se na krivulji distribucije frekvencija (poligon frekvencija) pronađe najveća ordinata (ili tjeme) iz kojeg se spušta okomica na apscisu, gdje se potom pročita vrijednost Mo
nedostaci i prednosti mo
Nedostaci i prednosti Mo
  • NEDOSTACI
  • ovisan je načinu formiranja razreda
  • nema smisla ako se distribucija približava pravokutnoj
  • sporan je kod bimodalne ili multimodalne distribucije
  • PREDNOSTI
  • kod distribucija s ekstremno malim ili velikim vrijednostima NO Me i x imaju težnju njihovom približavanju, pri čemu će primicanje Me biti značajno manje od primicanja x
  • Moneće imati tu tendenciju jer ga određuje najveća frekvencija
mjere disperzije
Mjere disperzije
  • Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izražavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obilježja
  • Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI
mjere disperzije100
Mjere disperzije

Osim značajke distribucije frekvencija dane u srednjoj vrijednosti, nastaje potreba za drugom značajkom distribucije frekvencija koja će izražavati stupanj varijabilnosti vrijednosti obilježja

Ta se značajka zove MJERA DISPERZIJE ili MJERA RASPRŠENOSTI

slide101
Mjere disperzije mogu biti:
    • apsolutne (istorodne distribucije)
    • relativne (raznorodne distribucije)
apsolutne mjere disperzije
Apsolutne mjere disperzije

prikladne za uspoređivanje disperzije

samo istorodnih distribucija

Raspon varijacija

Interkvartil

Kvartilna devijacija

Srednje apsolutno odstupanje

Varijanca

Standardna devijacija

1 raspon varijacije r
1. Raspon varijacije (R)
  • ili raspon disperzije je gruba informacija o veličini disperzije između najveće i najmanje vrijednosti numeričkog obilježja

R= Xmax- Xmin

  • Raspon varijacije za distribucije frekvencija s razredima određuje se kao razlika gornje granice posljednjeg i donje granice prvog razreda, ili izračunavanjem razlike razrednih sredina posljednjeg i prvog razreda
  • Nepouzdana mjera disperzije jer promatra razliku između ekstremnih vrijednosti, a ne uzima u obzir raspoređivanje ostalih podataka
2 interkvartil iq
2. Interkvartil (Iq)

KVANTILI – vrijednosti NO koje niz uređen po veličini dijele na q jednakih dijelova

KVARTILI – niz uređen po veličini dijele na 4 jednaka dijela

Q1 – prvi ili donji kvartil

Me – drugi kvartil ili medijan

Q3 – treći ili gornji kvartil

slide105
Donji kvartil (Q1)– je vrijednost redosljednog ili numeričkog obilježja, koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¼ (25%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili manju od vrijednosti donjeg kvartila i na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od donjeg kvartila

Gornji kvartil(Q3)– je vrijednost redosljednog ili numeričkog obilježja koja sve elemente u distribuciji frekvencija dijeli na ¾ (75%) elemenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili manju od gornjeg kvartila i na ¼ (25%) elelmenata koji imaju vrijednost obilježja jednaku ili veću od gornjeg kvartila

slide106

25% 25%

Q1 Me Q3

N/4 N/2 3N/4

50% elemenata

  • Iq predstavlja raspon između Q3 i Q1

IQ = Q3-Q1

  • Izražen je u jedinicama u kojima je izraženo i obilježje
  • Što je interkvartil brojčano manji to će polovica svih elemenata statističkog skupa biti više nagomilana oko Me, a to znači da će disperzija biti manja i obratno
q1 i q3 za grupirane vrijednosti izra unavaju se prema formulama
Q1 i Q3 za grupirane vrijednosti izračunavaju se prema formulama:
  • Prvi kvartil Q1
  • Treći kvartil Q3

N – ukupan broj elemenata

L1 – donja granica kvartilnog razreda

fi – suma frekvencija KN “m.o.” do kvartilnog razreda

fQ – originalna frekvencija kvartilnog razreda

i – veličina kvartilnog razreda

slide108

3. Kvartilna devijacija

  • Rang polu-interkvartila

4. Srednje apsolutno odstupanje

  • prosječna veličina odstupanja pojedinačnih rezultata (bez obzira na smjer odstupanja)

Za negrupirane vrijednosti

Za grupirane vrijednosti

slide109

5. Varijanca (ơ²)

  • je aritmetička sredina kvadrata odstupanja vrijednosti numeričkog obilježja od x za...

Za individualne vrijednosti:

X: x1, x2, ...,xN

Za grupirane vrijednosti:

X: x1, x2, ...,xN

f: f1, f2, ..., fN

slide110

6. Standardna devijacija (ơ)

  • je drugi korijen iz varijance, standardno odstupanje od prosjeka
relativne mjere disperzije
Relativne mjere disperzije
  • prikladne i za uspoređivanje disperzije

raznorodnih distribucija

    • Koeficijent varijacije
    • Koeficijent kvartilne devijacije
slide112

1. Koeficijent varijacije

  • relativna mjera disperzije i služi za uspoređivanje varijabilnosti različitih pojava i svojstava
  • Postotni omjer standardne devijacije i aritmetičke sredine
slide113

2. Koeficijent kvartilne devijacije

  • Disperzija središnjih 50% jedinica
  • Može biti u intervalu od 0 do 1
standardizirano obilje je
Standardizirano obilježje
  • Odstupanja originalnih vrijednosti numeričkog obilježja od aritmetičke sredine u raznorodnim distribucijama frekvencija izračunavaju se s pomoću standardiziranog obilježja:
  • Izračunata odstupanja vrijednosti num. obilježja od aritmetičke sredine su izražena u jedinicama standardnih devijacija, te je na taj način osigurana mogućnost usporedbe za raznorodne distribucije
svojstva standardiziranog obilje ja
Svojstva standardiziranog obilježja

aritmetička sredina standardiziranog obilježja jednaka je nuli

standardna devijacija standardiziranog obilježja je jednaka 1

Pravilo Čebiševa

Standardizirana varijabla može poprimiti i pozitivne i negativne vrijednosti

One će rijetko odstupati od aritmetičke sredine za više od +3

-3

-2

-

2

3

116

pravilo ebi eva
Pravilo Čebiševa

Za zvonolike distribucije

(posebice normalne distribucije):

+1 približno 68% podataka,

+2 približno 95% podataka (najmanje 75% svih podataka),

+3 približno 99,7% podataka (najmanje 88,89% svih podataka).

oko

oko

oko

slide118

Analiza

vremenskih

nizova

vremenski nizovi
Vremenski nizovi

su nizovi istovrsnih podataka prikupljenih u uzastopnim vremenskim razmacima ili trenucima

namjena analize VN je promatrativremenski razvoj pojava, tražiti zakonitostipojava ipredviđati dalji razvoj pojava

ZADATAK DINAMIČKE ANALIZE:

ispitati promjene pojava kao funkciju vremena

y = f(t)

slide120
PROBLEM:

utvrđivanje homogenosti podataka tijekom promatranog razdoblja

KOMPONENTE:

trend komponenta

ciklička komponenta

sezonska komponenta

slučajna komponenta

sistematske, determinističke komp. – kovarijacije pojave koje se daju izraziti nekom funkcijom vremena

formiranje vremenskih nizova
Formiranje vremenskih nizova

Vremenski niz je skup kronološki uređenih veličina koje su odraz razine intenziteta neke pojave u izabranimvremenskim točkama ili intervalima

Dvijevrste vremenskih nizova:

INTERVALNI i TRENUTAČNI

intervalni vremenski niz
Intervalni vremenski niz

Pojave s jednim smjerom kretanja

Intervalno promatranje čijim grupiranjem nastajeINTERVALNI NIZOVI

Intervali promatranja: godina, mjesec, tjedan, dan, sezona, školska (akademska) godina, kazališna ili športska sezona i sl.

Vremenski intervalni nizovi imaju svojstvo kumulativnosti

trenuta ni vremenski niz
Trenutačni vremenski niz

Pojave s dva smjera kretanja

Promatraju se u presjeku vremena ili određenom trenutku ("kritičnom trenutku"), a nizanjem rezultata takvih promatranja formirat će se TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ

Frekvencije trenutačnog vremenskog niza nemaju svojstvo kumulativnsti

slide124
Pojmovna i prostorna definicija ne smiju se mijenjati

Jednakost intervala vremena promatranja

Ako su vremenska razdoblja različita, potrebno je korigirati frekvencije prije uspoređivanja

Kod trenutačnih vremenskih nizova razmaci između vremenskih točaka promatranja nisu bitni za usporedbu frekvencija

Usporedivost frekvencija vremenskoga niza

grafi ko prikazivanje vremenskih nizova
Grafičko prikazivanje vremenskih nizova

INTERVALNI

Površinski

grafikon

Linijski

grafikon

TRENUTAČNI

Linijski

grafikon

intervalni vremenski niz126
Intervalni vremenski niz

a) površinski (pomoću stupaca)

izgledom i konstrukcijom nalikuje histogramu

na X-osi se nanosi vremensko razdoblje svakog člana vremenskog niza

na Y-osi se unosi član vremenskog niza za određeno razdoblje (uz napomenu da mjerilo na ordinati mora UVIJEK započinjati s 0)

NAPOMENA:ako razdoblja nisu jednaka potrebno ih je svesti na zajedničko razdoblje, a na ordinatu nanositi korigirane vrijednosti članova vremenskog niza

slide127
b) linijski

na X-osi se ucrtava sredina vremenskog razdoblja

na Y-osi se unosi određena vrijednost pripadajućeg člana vremenskog niza, odnosno korigirana vrijednost ako se radi o različitim razdobljima

linijski grafikon pokazuje SMJER i INTENZITET promjene pojave u jednom rasponu vremena

postupnim zbrajanjem članova vremenskog INTERVALNOG NIZA odozgo prema dolje, nastaje kumulativni vremenski niz

trenuta ni vremenski niz128
Trenutačni vremenski niz

samoLINIJSKIM GRAFIKONOM

na X-os - trenutak promatranja

na Y-os - pripadajući član vremenskog niza (frekvenciju- koja je UVIJEK originalna)

podizanje ordinate na onom mjestu apscise koje odgovara trenutku promatranja pojave

jakost apsolutne promjene – strmina lin.graf.

razlika dvije susjedne ordinate- apsolutna promjena pojave u dva trenutka promatranja

mogući prekidi (i vodoravni i okomiti) aritmetičkog mjerila

grafi ko uspore ivanje vremenskih nizova
Grafičko uspoređivanje vremenskih nizova

Dva se VN mogu usporediti linijskim grafikonom s aritmetičkim mjerilom samo ako su:

izražena u istim jedinicama mjere

približnih brojčanih vrijednosti

odnose se na isto vremensko razdoblje

slide130

Indeksna

metoda

indeksi
Indeksi
  • relativni brojevi dinamike koji pokazuju relativan odnos između dva ili više stanja jedne te iste pojave na dva različita mjesta ili u dva različita vremenska intervala
  • pomoću indeksnih brojeva mogu se analizirati i trenutačni i intervalni vremenski nizovi
podjela indeksa
Podjela indeksa
  • Prema obuhvatu promatranih pojava:

a) individualni indeksi

      • S obzirom na bazu usporedbe:

a) indeksi stalne i

b) indeksi promjenjive baze

b) skupni ili grupni indeksi

a) indeksi cijena

b) indeksi količina

c) indeksi vrijednosti

slide133

Individualni

indeksi stalne baze

individualni indeksi stalne baze
Individualni indeksi stalne baze
  • Dinamika samo jedne pojave pomoću indeksnih brojeva kroz nekoliko vremenskih razdoblja
  • Baznim indeksima izražavaju se relativne varijacije između dva stanja istog VN, od kojih je jedna pojava bazna veličina

Yt

It =

Yb

  • Vrijednost kvocjenta pokazuje koliko jedinica uspoređenih pojava odgovara svakoj jedinici baznog stanja
slide135
POSTUPAK:

1. Izabiranje baze usporedbe:

Jedan član vremenskog niza

kod određivanja stalne baze, treba izabrati reprezentativan član (npr. najčešći član u nizu), a ne najnižu ili najvišu vrijednost u nizu

Neka druga vrijednost:

Veličina promatrane pojave iz proteklog vremenskog razdoblja koje nije obuhvaćeno intervalom promatranja

AS vrijednosti pojave kada su varijacije pojave znatne (u oba smjera); baza usporedbe – prosjek varijacija vremenskog niza

2. Svi članovi originalnog VN se stavljaju u odnos prema izabranoj bazi usporedbe

3. Kvocjente pomnožiti sa 100 (radi tumačenja)

pokazatelji
Pokazatelji

Yt

Yt

Yb

Yb

*100

= It

  • Koeficijent promjene
  • Indeks promjene

It – 100 = St

  • Stopa promjene

(+ rast, - pad)

ako je
Ako je:
  • Yt = Yb It=100
  • Yt > Yb It>100
  • Yt < Yb It<100
  • It je uvijek pozitivan
individualni indeksi na bazi srednje vrijednosti promatrane pojave
Individualni indeksi na bazi srednje vrijednosti promatrane pojave

uspoređivanje dva ili više VN mjerenih raznorodnim obilježjima

grafički se prikazuju i površinskim i linijskim grafikonima

baza usporedbe – srednja vrijednost promatrane pojave

Yi

=

I yi

*100

Y

i=1,2,...,N

pravila za indekse na stalnoj bazi
Pravila za indekse na stalnoj bazi
  • Niz originalnih vrijednosti VN upravno je proporcionalan nizu indeksa na stalnoj bazi
  • Prikazuju se uglavnom površinskim grafikonima (ordinata-indeksi u artm. mjerilu; ishodište = 100 na ordinati)
  • Grafikon se čita u odnosu na bazu
  • Usporedba varijacija različitih VN, ako svi VN imaju jednaku bazu
  • Izražavaju relativne promjene VN, neovisne o sustavima i brojčanim razinama mjerenja u kojima su izražene originalne vrijednosti originalnih VN
veri ni ili lan ani indeksi
Verižni ili lančani indeksi
  • ako Y1, Y2, Y3, ... Yn, predstavljaju frekvencije nekog vremenskog niza ,i potrebito je saznati kako se pojava mjenjala iz razdoblja u razdoblje, koriste se VERIŽNI ILI LANČANI INDEKSI
  • to su indeksi na PROMJENJIVOJ BAZI ,a dobiju se dijeljenjem svakog člana vremenskog niza prethodnim članom te množenjem dobivenog rezultata sa 100
  • svaka originalna vrijednost javlja se kao:

- tekuća vrijednost koja se uspoređuje

- baza uspoređivanja

  • iznimke: prva i posljednja orig. vrijednost VN

- prva orig. vrij.–samo baza uspoređivanja

- posljednja orig.vrij.–samo kao tekuća vrij.

slide142

Verižni indeksi ne mogu biti negativne veličine, jer su frekvencije vremenskog niza uvijek pozitivneZa verižne indekse vrijede sljedeće relacije:

  • Yt > Y t-1 Vt > 100
  • Yt < Y t-1 Vt < 100
  • Yt = Y t-1 Vt = 100
  • Verižni indeks Vt pokazuje koliko jedinica pojave u vremenu t dolazi na svakih 100 jedinica u vremenu t-1
  • Govori o relativnoj promjeni neke pojave uvijek u odnosu na pojavu iz prethodnog perioda. Intenzitet promjene izražen u postotku dobije se kao razlika indeksa Vt i veličine 100 ( St=Vt-100 )
grafi ko prikazivanje veri nih indeksa
Grafičko prikazivanje verižnih indeksa
  • specifična vrsta linijskog grafikona
  • promjenjiva baza verižnih indeksa zahtjeva prikazivanje svakog verižnog indeksa posebnom linijom
  • ishodište apscise (koja označava vrijeme) je na ordinati označeno vrijednošću 100
  • verižni indeksi >100: od apscise prema vrhu ordinate, unutar ili u sredini intervala jedne godine
  • verižni indeksi < 100: od apscise prema nižim vrijednostima ordinate
  • nagib ucrtane linije – intenzitet relativne promjene
prera unavanje baznih indeksa u veri ne
Preračunavanje baznih indeksa u verižne
  • postupnim dijeljenjem baznih indeksa (*100)
  • kao da je riječ o originalnim frekvencijama VN
slide146

Preračunavanje verižnih u bazne

ako je bazno razdoblje prvo u nizu– postupnim množenjem:

I t-1 * Vt

It =

100

t=2,3,..., N

ako bazno razdoblje nije prvo u nizu

- bazni indeks za razdoblja koja prethode baznom:

I t-1 * Vt

It = ; kada je t > b

100

I t

I t-1 = *100 ; kada je t < b

Vt

I t= 100 ; kada je t = b

srednje vrijednosti vremenskih nizova
Srednje vrijednosti vremenskih nizova
  • neke pojave su statičkog karaktera
  • nemaju opću razvojnu tendenciju
  • analiziraju se statičnim srednjim vrijednostima
  • VRSTE:

- AS intervalnog VN

- kronološka sredina trenutačnog VN

- geometrijska sredina

(upotrebljava se u analizi intervalnog i trenutačnog VN)

kronolo ka sredina
Kronološka sredina
  • Vremenski trenutačni niz je sastavljen od frekvencija čije se vrijednosti u pravilu ne mogu zbrajati te iz toga proizlazi da se za VTN ne bi mogla izračunati srednja vrijednost
  • Stoga se VTN transformira u IVN te se pomoću kronološke sredine računa srednja vrijednost
geometrijska sredina srednja vrijednost veri nih indeksa prosje an tempo promjene
Geometrijska sredina -srednja vrijednost verižnih indeksa(prosječan tempo promjene)

Primjena:

  • u analizi VN negrupiranih i grupiranih podataka (“prosječan tempo promjene”)
  • kao srednja vrijednost numeričkih nizova za nizove sa asimetričnim rasporedom podataka
slide151

Jednostavna, neponderirana geometrijska sredina

Za N individualnih vrijednosti varijable X (numeričkog ili vremenskog niza):

rješava se logaritmiranjem:

Logaritam geometrijske sredine jednak je aritmetičkoj sredini logaritama promatrane varijable, odnosno, aritmetičke sredine logaritama elemenata vremenskog niza ili numeričkog niza.

slide152

Vagana, ponderirana geometrijska sredina

Podaci grupirani u distribuciju frekvencija:

  • ne računa se za nizove koji sadrže vrijednost 0
  • na njenu veličinu utjecati će vrijednost svih elemenata promatranoga niza
  • manja je od aritmetičke sredine istoga niza (osim u slučajevima kada su sve vrijednosti promatranoga niza međusobno jednake)
slide153

Skupni

indeksi

skupni indeksi
Skupni indeksi
  • Skupnim indeksima se mjeri dinamika skupine pojava ili se utvrđuju varijacije heterogene skupine pojava na različitim mjestima (npr. potrošnja, izvoz, uvoz,industrijska proizvodnja )
  • Najčešće se dinamika heterogenih pojava prati kroz vrijednosni način izražavanja
  • Razlikujemo:

-    skupni indeksi količina

-   skupni indeksi cijena

-    skupni indeks vrijednosti

slide155
p0 = cijene baznoga razdoblja

p1 = cijene izvještajnoga razdoblja

q0 = količine baznoga razdoblja

q1 = količine izvještajnoga razdoblja

p0q0 = ponder vrijednosti baznoga

razdoblja

p1q1 = ponder vrijednosti izvještajnoga razdoblja

Simboli

zapamtiti kod izra unavanja skupnih indeksa
Zapamtiti kod izračunavanja skupnih indeksa
  • Sve nizove koji su zadani svesti na istu bazu (stalnu ili promjenjivu)
  • Indekse na stalnoj bazi svesti na isto bazno razdoblje
trend
Trend
  • Ovisno o karakteru čimbenika koji djeluju u vremenu na neku pojavu, vremenski niz čine slijedeće komponente:
  • trend ili osnovna tendencija kretanja neke pojave kroz vrijeme
  • sezonske oscilacije, koje se pojavljuju unutar jedne godine
  • ciklične komponente
  • slučajne komponente, koje čine slučajni, teško predvidivi događaji
slide159

Metode utvrđivanja trenda

  • Za utvrđivanje trenda mogu se primijeniti:
    • neparametrijske i
    • parametrijske metode
neparametrijske metode
Neparametrijske metode

- ne rezultiraju matematičkom jednadžbom trenda.

- dobra prethodnica parametrijskim metodama

  • metoda prostom rukom
  • metoda poluprosjeka
  • metoda pomičnih prosjeka

Prednost: jednostavno izračunavanjeNedostatak: ne postojanje trend vrijednosti za početna i završna razdoblja niza; osjetljivost aritmetičke sredine na ekstremne vrijednosti

slide161
Najčešća: metoda najmanjih kvadrataIzračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka nuli (model linearnog trenda jednak je modelu jednostavne linearne regresije)

Parametrijske metode

metoda najmanjih kvadrata
Metoda najmanjih kvadrata
  • izračunava se jednadžba linije kod koje će suma odstupanja između originalnih vrijednosti vremenskog niza i utvrđenih trend podataka biti jednaka 0
  • Označe li se podaci sa Yi, a trend podatke sa Yci, te primjeni li se metoda najmanjih kvadrata, vrijedi sljedeće:
  • Nadalje vrijedi sljedeće:
slide163

Da bi se uočila tendencija razvoja pojave dobro je:imati što veći vremenski niz (više frekvencija)grafički prikazati pojavu – gdje se iz približnog izgleda nacrtane funkcije donosi sud o mogućem obliku osnovne tendencije razvoja ili tipu trenda

Ako su promatranja po:

osnovna tendencija je linearna,

linearni trend je polinom prvog

stupnja f(x) = a+bx

- jednakim intervalima i

- ako su prve diferencije frekvencija približno

konstantne (u apsolutnom izrazu)

linearni trend
Linearni trend

Jednadžba linearnog trenda je jednadžba

pravca:

Yci=a+bx , i=1,2,...k

gdje su:

Yci– zavisna varijabla (trend vrijednosti)

Xi – oznaka za vrijeme (nezavisna varijabla)

parametar a – vrijednost trenda u ishodištu

parametar b – koeficijent smjera pravca, te kazuje koliko se pojava mijenja u jedinici vremena

slide165
Kada se izračunava linearni trend kojemu je ishodište u prvoj godini vremenskog niza, parametri se izračunavaju na sljedeći način:

parametar b: parametar a:

Suma trend vrijednosti mora biti jednaka

sumi originalnih vrijednosti promatranog

niza

slide166

Izračunavanje parametara a i b za jednadžbu linearnog trenda može se pojednostaviti tako da se ishodište jednadžbe premjesti u sredinu čitavog promatranog razdoblja

  • Formule za izračunavanje parametara a i b su sljedeće:
slide167

Pri preračunavanju godišnje jednadžbe trenda u trend s kraćim vremenskim razdobljima treba paziti da li se radi o trenutačnom ili intervalnom vremenskom nizu

Preračunavanje godišnjih jednadžbi u kraća vremenska razdoblja

Trend se može izračunati i za vremenske nizove u kojima su podaci dati u vremenskim razdobljima koja nisu godišnje vrijednosti – npr. u polugodištima, kvartalima,mjesecima i dr.

slide168

TRENUTAČNI NIZ – preračunavanje godišnje jednadžbe u mjesečnu

  • parametar “a” ostaje jednak godišnjem ukoliko se nije promijenilo ishodište jednadžbe

B) INTERVALNI NIZ –preračunavanje godišnje jednadžbe u mjesečnu

slide169

Regresija

i korelacija

korelacija
Korelacija
  • utvrđivanje međusobne povezanosti pojava koje se proučavaju te na osnovi jedne pojave predviđaju promjene i zbivanja u drugoj pojavi

POVEZANOST MEĐU POJAVAMA

MOŽE BITI

  • uzročno-posljedična

(regresijski model y=a+bx)

  • korelativna

(korelacijski model x=f(y) ili y=f(x))

uzro no posljedi na povezanost
Uzročno - posljedična povezanost
  • jednostavna

- jedan uzrok jedna posljedica

  • složena

- jedan uzrok - više posljedica

- više uzroka - jedna posljedica

- više uzroka i više posljedica

korelativna povezanost
Korelativna povezanost
  • pojava postoji kada promjene u jednoj i drugoj pojavi mogu postojati paralelno ,a da jedno nisu uzrok drugima
  • proučavanjem korelativnih odnosa ne utvrđuju se uzročno-posljedični odnosi ,ali se pridonosi boljem razumjevanju pojava i događaja koje istražujemo i njihovom boljem predviđanju
slide173
indikator povezanosti između pojava je KOEFICIJENT KORELACIJE ili KOEFICIJENT ASOCIJACIJE između varijabli
  • pokazuje smjer i intenzitet povezanosti između promatranih, registriranih i mjerenih pojava
  • koef. korelacije vrlo rijetko ukazuje na uzročno-posljedičnu povezanost,a puno češće ukazuje na korelativni odnos između promatranih pojava
korelacijska analiza
Korelacijska analiza

1. Utvrđivanje postojanja veze između pojava ili varijabli (A i B)

2. Utvrđivanje intenziteta i smjera povezanosti među varijablama

3. Utvrđivanje oblika veze među varijablama - funkcionalna

4. Utvrđivanje jakosti veze među pojavama - stohastička (statistička)

linearna korelacija
Linearna korelacija
  • postoji kada je porast jedne pojave (Y) praćen linearnim porastom ili padom druge pojave
  • DIJAGRAM RASIPANJA (scatter diagram) – pruža informacije o obliku, smjeru i jakosti veze
  • UKUPNA VARIJANCA= PROTUMAČENI DIO + NEPROTUMAČENI DIO
koeficijent determinacije r 2
Koeficijent determinacije (r2)

protumačeni dio odstupanja

Koeficijent determinacije=

ukupna odstupanja

Kako je r2 dan u drugom stupnju češće se koristi PEARSONOV KOEFICIJENT KORELACIJE (r)

r = ± 1

(mjera jakosti samo za LINEARNU korelaciju)

slide177
kod tumačenja koeficijenta korelacije (r) treba imati u vidu da je nastao iz koeficijenta determinacije (r2), te da npr.

r=0,70 znači r2=0,49, da je tek 50 % ukupnih odstupanja objašnjivo s promatrane dvije pojave

krivolinijska
Krivolinijska
  • kada se veza među pojavama najbolje ilustrira krivom linijom
  • prva orjentacija o krivolinijskoj regresiji se dobiva preko dijagrama rasipanja na temelju kojeg se odlučuje koja se matematička krivulja najbolje prilagođuje nacrtanim originalnim vrijednostima.Jakost krivolinijske veze mjeri se INDEKSOM KORELACIJE  (ro)
parcijalna korelacija
Parcijalna korelacija
  • koristi se u slučaju utvrđivanja povezanosti između dviju pojava, eliminirajući utjecaj npr. neke treće zajedničke varijable
  • KORELACIJA RANGA
  • jakost veze između pojava promatranih po redoslijednom obilježju mjeri se koeficijentom korelacije ranga
slide181
Postupak izračunavanja:
  • upare se vrijednosti redoslijednog obilježja za svaku statističku jedinicu
  • jednom obilježju odredi se rang i poreda ga se po redoslijedu – drugo obilježje mu se pridružuje ne rasparujući prethodno stvorene parove
  • ako se u nizu pojavi više jednakih vrijednosti njihovi se rangovi zbroje i podijele s brojem pojavljivanja, te se tako izračunana vrijednost pridružuje jednakim članovima niza
slide182
4) najniži rang pripada najnižoj vrijednosti obilježja, najviši rang najvišoj vrijednoati obilježja

5) izračuna se di=xri – yri kao razlika ranga za svaku statističku jedinicu

6)izračuna se kvadrat razlika di2

nedostaci
Nedostaci:
  • nije osobito precizna mjera
  • primjenom ovog koeficijenta korelacije ne mogu se izračunati ostali pokazatelji kao što su koeficijent regresije, koeficijent determinacije, jednadžba analize varijance, jednadžba regresije.
korelacijsko regresijska analiza
Korelacijsko-regresijska analiza
  • KORELACIJA
  • ispitivanje veze i zavisnosti
  • između dvije pojave ili
  • promjenjive veličine
  • Pokazatelji:
  • koeficijent korelacije
  • koeficijent determinacije
  • koeficijent nedeterminacije
  • REGRESIJA
  • omogućava sagledavanje
  • očekivane vrijednosti zavisno
  • promjenjive veličine na osnovi
  • vrijednosti nezavisno
  • promjenjive veličine
  • Pokazatelji:
  • jednadžba regresije
  • standardna pogreška procjene
  • regresije
analiza regresijskih modela
Analiza regresijskih modela

Osnovicu za analizu reprezentativnosti regresijskih modela čine sljedeći statistički pokazatelji i metode:

  • Rezidualna odstupanja
  • Relativna rezidualna odstupanja
  • Standardizirana odstupanja
  • Koeficijent determinacije
  • Koeficijent korelacije
  • Standardna greška regresije
  • Analiza varijance (ANOVA)
  • Testiranje razine signifikantnosti regresijskih koeficijenata
  • Određivanje intervala povjerenja regresijskih koeficijenata
  • Određivanje intervala povjerenja prognoziranih vrijednosti
  • Testiranje razine signifikantnosti koeficijenta korelacije
koeficijent multiple determinacije r 2 i koeficijent multiple korelacije r
Koeficijent multiple determinacije R2 i koeficijent multiple korelacije R
  • Koristi se prosudbu valjanosti i primjenjivosti modela višestruke regresije
slide188

Metoda

uzoraka

slide189
ORIGINALNE, EMPIRIJSKE, OPAŽENE DISTRIBUCIJEsu formirane grupiranjem opažanja ili elemenata skupa prema nekom obilježju.
  • TEORIJSKE DISTRIBUCIJEočekivane distribucije u skladu s našim iskustvom ili na temelju teorijskih postavki. Pretpostavljamo ih u nekom statističkom modelu ili ih postavljamo kao hipotezu koju treba ispitati.

Pojavljuju se u funkciji distribucije vjerojatnosti

teorijske distribucije diskontinuirane slu ajne varijable
Teorijske distribucije diskontinuirane slučajne varijable
  • 1. BINOMNA DISTRIBUCIJA
  • 2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA
1 binomna distribucija
1. BINOMNA DISTRIBUCIJA
  • najjednostavnija teorijska distribucija
  • distribucija za alternativna obilježja

2. POISSONOVA DISTRIBUCIJA

  • koristi se za opis rijetkih događaja, tj. događaja s malom vjerojatnošću (br. kvarova strojeva:mjesečni (tjedni), broj dolazaka po min. , broj ˇpadovaˇračunala u jednom mjesecu)
teorijske distribucije kontinuirane slu ajne varijable
Teorijske distribucije kontinuirane slučajne varijable
  • najpoznatije:
  • NORMALNA (GAUSSOVA) DISTRIBUCIJA
  • STUDENTOVA (t) DISTRIBUCIJA
  • HI-KVADRAT DISTRIBUCIJA
  • F DISTRIBUCIJA
1 normalna gaussova distribucija
1. Normalna (gaussova) distribucija
  • Ima oblik zvona
  • Unimodalna je
  • Proteže se od - do + 
  • Simetrična je, pa je 3=0
  • Mjera zaobljenosti je 4=3
  • Egzaktan oblik normalne krivulje bit će poznat ako su poznate arit.sred. i stand.devij.
2 studentova t distribucija
2. Studentova (t) distribucija
  • Kod uzoraka koji broje više od 30 jedinica približava se oblikom i svojstvima normalnoj distribuciji
  • Kod n<30 razvučena je po apscisi (u odnosu na normalnu)
3 f distribucija
3. F distribucija
  • Odnos dviju varijanci

4 . Hi-kvadrat distribucija

  • Primjenjuje se kada treba donijeti odluku o signifikantnosti razlika između stvarnih (opaženih) i teorijskih (očekivanih) frekvencija
  • Može zauzeti vrijednosti od 0 do 
osnovni skup i uzorak
Osnovni skup i uzorak
  • Populacija (odluka, koje jedinice sudjeluju u populaciji )
  • Okvir uzorka (popis jedinica, iz kojeg se izabiru jedinice u uzorak npr.popis zaposlenih, lista pretplatnika )
zada a metode uzoraka
Zadaća metode uzoraka
  • Na osnovi uzorka procijene karakteristike osnovnog skupa
  • Na osnovi podataka donosi se odluka o prihvaćanju, odnosno odbacivanju hipoteze koja se odnosi na neku karakteristiku osnovnog skupa
koraci u procesu izabiranja uzorka
Koraci u procesu izabiranja uzorka
  • Određivanje populacije
  • Izabiranje primjerenog okvira uzorka
  • Izabiranje plana uzorka (metode za izbor uzorka )
  • Određivanje potrebne veličine uzorka
vrste planova uzorka
Vrste planova uzorka

1. UZORCI BEZ PRIMJENE VJEROJATNOSTI

  • Prigodni uzorci
  • Namjerni uzorci
  • Kvotni uzorci
slide200
2. UZORCI UZ PRIMJENU VJEROJATNOSTI
  • Jednostavni slučajni uzorak
  • Stratificirani uzorak

proporcionalan

neproporcionalan

  • Uzorak skupina

sustavan

područni

slide202

Literatura:

  • Kazmier, Leonard J.: Business Statistics. McGraw-Hill, 2004.
  • Neufeld, J. L.: Learning Business Statistics with Microsoft Excel, Prentice Hall, New Jersey, 1997.
  • Newbold, Paul / Carlson, William L. / Thorne, Betty M.: Statistics for Business and Economics. Prentice-Hall, 2002.
  • Petz, Boris: Osnovne statističke metode za nematematičare. Slap, Jastrebarsko, 2004.
  • Sekulić, Branko et al.: Primjena matematike za ekonomiste. Informator, Zagreb 1996.
  • Spiegel, Murray R. / Stephens, Larry J.: Statistics. McGraw-Hill, 1999.
  • Studenmund, A. H.: Using Econometrics: A Practical Guide, HarperCollins Publishers Inc., New York, 1996.
  • Šošić, I.: Pregled formula iz statistike, Mikrorad, Zagreb
  • Šošić, Ivan / Serdar, Vladimir: Uvod u statistiku. Školska knjiga, Zagreb, 2002.
  • Šošić, Ivan: Primijenjena statistika. Školska knjiga, Zagreb, 2004.
  • Šošić, Ivan: Zbirka zadataka iz statistike. Mikrorad, Zagreb, 1998.
  • Wonnacott, Thomas H. / Wonnacott, Ronald J.: Introductory Statistics. Wiley, 1990.

Sve tekuće informacije bit će objavljene na

www.pravos.hr

slide203

Literatura:

Internet:

http://www.efos-statistika.com/

HyperStat Online (David M. Lane)

Statistics: Power from Data! (Statistics Canada)

Introductory Statistics: Concepts, Models and Applications (David W. Stockburger)

Introduction to Probability (Charles M. Grinstead, J. Laurie Snell)

Virtual Laboratories in Probability and Statistics

The R Project for Statistical Computing

Sve tekuće informacije bit će objavljene na

www.pravos.hr